2023-2024学年浙江省台州市书生中学高二上学期期末模拟数学试题

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1. 已知空间四面体中，对空间内任一点，满足下列条件中能确定点共面是（ ）
A. B. C. D.
2. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
3. 已知双曲线离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A B. C. D.
4. 在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为弦的中点，P为C上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. D. 5
6. 已知正四棱柱的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为，M为BC的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C. 圆C与曲线恰有三条公切线，则
D. 当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点
10. 已知是等差数列，其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（ ）
A. 当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为
B. 当时，四面体的体积为定值
C. 当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分
D. 当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π
12. 已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最小值为4
C. 为定值D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列满足，且，则_____
14. 集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作．否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为__________.
15. 已知数列的各项均为正数，，，则数列前10项的和为___________.
16. 在直四棱柱中，底面为正方形，．点P在侧面内，若平面，则点P到的距离的最小值为________．
四、解答题：
17. 已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18. 已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
19. 江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文､数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理､历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治､地理､化学､生物这4门再选科目中选择2门.已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学､生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲､乙､丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
20. 已知正项数列前项和为，且满足.
（1）求；
（2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
21. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，二面角为直二面角.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
22. 如图，已知椭圆左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）记的面积为S，求S的最大值.