江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．方程的解是（ ）
A．B．C．，，D．，
2．如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A．图形的平移B．图形的轴对称C．图形的相似D．图形的旋转
3．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点、都在函数的图象上，则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．如图，不能判定和相似的条件是（ ）
A．B．
C．D．
6．把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是（ ）
A．y=（x+2）2B．y=（x﹣2）2C．y=x2+2D．y=x2﹣2
7．若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，AB是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．某同学将如图所示的三条间距相同的水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条同样间距的竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图象，那么该同学选择作为x轴和y轴的直线分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
10．如图，在正六边形中，，在对角线上取一点P，使得，以P为圆心，长为半径画弧，分别交边于点M、N，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．甲、乙 两同学近四次数学测试成绩的平均分都为80分，且，则成绩比较稳定的是
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13．已知二次函数的图象有最高点，则a的取值范围是 ．
14．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为 ．
15．如图，与相切于点B，连结并延长交于点C，连结．若，则的度数是 ．
16．已知二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ．
17．如图，是一个小型花园，，，花园的中间部分是一个圆形水池，该圆形水池与的三边都相切，花园中的阴影部分为花圃，若从天空飘落下一片树叶．恰好落入花园里，则树叶落入水池的概率为 ．（π的值取3）
18．如图，中，，，，以点为圆心，为半径作圆，在的边上取一点，过点作的切线，切点记为．若，且满足条件的点恰有个，则的取值应满足的条件为 ．
三、解答题
19．解下列方程
(1)；
(2)．
20．某中学开展“校园文化艺术节”文艺汇演活动，现从由2名男生和1名女生所组成的主持候选人小组中，随机选取产生主持人．
(1)若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为__________；
(2)若选取两人担任主持人，求两名主持人恰好为一男一女的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出求解过程）
21．如图，．
(1)与是否相似？请说明理由．
(2)设，，求的值．
22．如图，在中，，⊙O的半径为OB．
(1)请用尺规作图法在圆上确定一点C（点C不与点B重合），使得AC为⊙O的切线，保留作图痕迹并写出作法；
(2)证明你的作图方法是正确的．
23．综合与实践
【问题情境】某校组织九年级800名学生开展体育中考前的“引体向上提升”训练活动．
【实践发现】为了考查训练效果，在进行提升训练前学校先组织全体学生进行了摸底测试，经过提升训练后再进行模拟考试，并用抽样调查的方式从中随机抽取了50名学生提升训练前后的摸底测试和模拟考试的成绩，收集整理后，制成如下表格：
【实践探究】分析数据如下：（单位：个数）
(1)上述表格中，__________，__________；
(2)若考试成绩达到9个以上（含9个）为优秀，请估计该校九年级800名学生经过训练后，模拟考试成绩优秀的人数约有多少人？
24．新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为．
(1)图像数为的二次函数表达式为__________．
(2)求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．
25．如图，在中，，点D在BC上，AD的延长线交的外接圆于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求AD的长．
26．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动：同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时，的面积为；
(2)求四边形面积的最小值．
27．如图1，是的直径，点C是直径上方上一点，的角平分线交于点D．

(1)若，求的长．
(2)如图2，过点C作的切线交DA的延长线于点G，当时，求证：．
(3)如图3，在内取一点Q，使得，，当为直角三角形时，求的度数．
28．如图，抛物线（，）的顶点为，与轴交于，两点，我们发现在轴下方的抛物线的形状很像一口锅，于是我们作如下新的定义：以为弦，在上方作弧，取图中、两点之间的抛物线部分，把，两点之间的抛物线部分与弧所围成的封闭图形称为“锅线”，如图，记为“锅线”，顶点称为“锅底”，点到线段的距离称为“锅深”，弧称为“锅盖”，弧的中点到线段的距离称为“锅盖高”，若为等腰直角三角形，则此“锅线”称为“标准锅线”．
(1)若图中的“锅线”为“标准锅线”，“锅盖高”为，“锅深”为，
求抛物线的解析式．
求弧所在圆的圆心坐标；
(2)在（）的情况下，如图，在“标准锅线”上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)在（）的情况下，将图的“标准锅线”绕点顺时针旋转得到新的“标准锅线”，如图，过点作直线轴交“标准锅线”于点，在线段上取一点，过点作直线交“标准锅线”于点、两点，请直接写出线段的最大值．
摸底测试
成绩（个）
6
7
8
9
10
人数（人）
16
8
9
9
8
模拟考试
成绩（个）
6
7
8
9
10
人数（人）
5
8
6
12
19
中位数
众数
摸底测试
a
6
模拟考试
9
b
参考答案：
1．D
【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程．
直接用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可.
【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似.
故选：C.
3．B
【分析】根据比例的性质分别对每一项进行判断即可得出答案．
【详解】A.变成等积式是：，故不符合题意；
B.变成等积式是：，故符合题意；
C.变成等积式是：，故不符合题意；
D.变成等积式是：，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，分别代入和可得的大小关系．
【详解】解：∵二次函数，
∴当时，，
当时，，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解：A.由知，且，所以可判断和相似，故选项A不符合题意；
B.∵，且，所以可判断和相似，故选项B不符合题意；
C.∵，且，所以可判断和相似，故选项C不符合题意；
D.由，缺少条件，无法判断和相似，故选项D不符合题意；
故选：D．
6．A
【分析】根据平移规律“左加右减”可得平移后的抛物线解析式.
【详解】解：把抛物线y=x2向左平移2个单位得到的抛物线是：y=（x+2）2，
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题关键.
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程判别式的应用，由一元二次方程没有实数根得到判别式，解该不等式即可求出m的取值范围．
【详解】解：由题意可知：，，．
判别式，
∵方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，根据圆内接四边形的性质由得到，由AB是的直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∵AB是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键．
本题考查二次函数的图象与性质，由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵，
∴为x轴，
故选：B．
10．B
【分析】如图，连接，连接，交于，则，则，，，，由勾股定理得，，，则，，，由勾股定理得，，由，可得，则，如图，作于，于，则，由勾股定理得，则，由勾股定理得，，则，，由勾股定理得，由对称性可知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，连接，交于，则，
∵正六边形中，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
如图，作于，于，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由对称性可知，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积．熟练掌握正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．
11．乙
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：∵甲同学成绩的方差为S2甲=22，乙同学成绩的方差为S2乙=14，
∴S2甲＞S2乙，
∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．（1，3）
【分析】根据二次函数顶点式的含义可直接得出顶点坐标．
【详解】解：由题中所给解析式y=2 +3中的可知顶点横坐标为1，再由后面常数项可知顶点纵坐标为3，
因此顶点坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点睛】本题考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数顶点式各部分的含义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象有最高点，则图象的开口方向向下，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象有最高点，
∴二次函数的图象开口向下，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．代入数值计算即可作答．
【详解】圆锥的侧面积为：．
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查圆的切线的性质及做辅助线构建直角三角形与等腰三角的知识，由与相切于点B，可连接，根据切线的性质可知，；因为，可得，所以，接下来在中用三角形内角和定理，即可求出的度数.
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点B，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．，
【分析】先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解，即可求解．
【详解】由图象可知，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为1，对称轴为，根据二次函数图象的对称性，可知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
二次函数的图象与x轴的交点即为一元二次方程的解
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的图象与x轴的一个交点与一元二次方程的解的关系，解题的关键是明确函数与方程的联系．
17．
【分析】如图设三角形内切圆为，与三边分别相切于点E、F、G，连接，，，，，得出点A，点O，点F共线，进而得出，，，，设的半径为r，在中，得出，又，得出，从而得出，，最后根据概率公式即可求解.
【详解】解：如图设三角形内切圆为，与三边分别相切于点E、F、G，连接，，，，.
则平分，，，，
又∵，
∴点A，点O，点F共线，
∴，
，，
∴，
设的半径为r，在中，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、等腰三角形想的性质、勾股定理、切线长定理、求随机事件的概率，综合性比较强，熟练掌握各种性质是解题关键.
18．或
【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理解直角三角形，先根据勾股定理求得，分两种情况讨论，当符合题意的点在上时，则，进而勾股定理即可求解；当一点与点重合，在上各一点符合题意，根据切线的性质，勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
依题意，分两种情况讨论，
当符合题意的点在上时，如图所示，
则，
∴
∵
∴；
当一点与点重合，在上各一点符合题意，此时如图所示，
∴
又∵
∴
综上所述，或．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）先移项、然后直接开平方即可求解；
（2）先移项、合并同类项，然后利用因式分解法即可求解.
【详解】（1）解：
∴，；
（2）解：
或
∴，．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查求随机事件的概率：
（1）直接利用概率公式计算；
（2）列表展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：若选取一人担任主持人，则恰好是女生担任主持人的概率为；
故答案为：.
（2）解：列表为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好为一男一女的结果数为4，所以P（主持人恰好为一男一女）．
21．(1)相似，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质：
（1）相似，由平行线的性质得，结合可证明;
（2）根据相似三角形列式求解即可得出结论．
【详解】（1）解：相似，理由如下：
∵
∴，
又，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交⊙O于点C，连接AC即可；
（2）利用SSS证明，推出，即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交⊙O于点C，连接AC，AC即为⊙O的切线．
（2）解：由（1）中作图方法可知，，，
在和中，
，
，
，
，
AC为⊙O的切线．
【点睛】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，切线的判定等，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
23．(1)8；10
(2)496人
【分析】本题考查统计表，求中位数，众数以及利用样本估计总体．
（1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可；
（2）利用总数乘以样本中考试成绩达到9个以上（含9个）所占的比例，即可得出结果．
【详解】（1）解：共50个数据，将数据进行排序后第25个和第26个数据的平均数即为中位数，由表格可知，第25个和第26个数据均为8，
∴；
摸拟考试的数据中，出现次数最多的数据为10，
∴；
故答案为：8，10；
（2）解：估计该校九年级800名学生经过训练后，模拟考试成绩优秀的人数约有：（人）．
答：模拟考试成绩优秀的人数约有496人．
24．(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：
（1）根据新定义得到二次函数的解析式即可；
（2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证.
【详解】（1）解：图像数为的二次函数表达式为：.
（2）解：“图象数”为的二次函数表达式为：.
当时，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点．
25．(1)见详解；
(2).
【分析】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质：
（1）先证明，再证明，从而得到，即可求证；
（2）在（1）的结论下，利用相似三角形的性质即可求解.
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，即
（2）解：∵
，，
∴
解得：.
26．(1)或时，的面积为；
(2)四边形面积的最小值为．
【分析】（1）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论；
（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得面积的最大值，即得四边形面积的最小值．
【详解】（1）解：由题意得：，，
；
由题意得：，
解得或，
∴或时，的面积为；
（2）解：∵且，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值是．
此时，四边形面积取得最小值，最小值为．
【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出的长是解题关键．
27．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）如图1，连接，则，，由是的直径，可得，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（2）由切线的性质可知，，则，，，，证明是等边三角形，，则，，进而可证；
（3）由（1）可知，，则，由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；①当时，此时重合，不符合要求，舍去；②当时，由勾股定理得，，则，即，由，可得，计算求出满足要求的解为，可得，由，可得；③当时，同理②计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵的角平分线交于点D，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴的长为；
（2）证明：由切线的性质可知，，
由（1）可知，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知，，
∴，
由题意知，当为直角三角形时，分，，，三种情况求解；
①当时，
∵，，
∴重合，不符合要求，舍去；
②当时，
由勾股定理得，，
∴，即，
∵，
∴，整理得，，
解得，或（舍去），
∵，
∴，
∵，
∴；
③当时，
同理②，可得，
解得，或（舍去），
∵，
∴，
∴
∵，
∴；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，角平分线，切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，等腰三角形的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键．
28．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解；②设弧所在圆的圆心为，根据垂径定理以及勾股定理，建立方程，解方程，即可求解．
（2）连接，作等腰直角三角形，使得，，过点作，过点分别作，垂足分别为，延长交“标准锅线”于点，证明，得出，求得直线的解析式为，联立得出；
（3）将图3的“标准锅线”逆时针转如图所示，设交轴于点，则，，得出的解析式为，过点作交于点，设，则得出，根据二次函数的性质求得最大值，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵“锅深”为，
∴，则，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
②∵“锅盖高”为，
∴，
设弧所在圆的圆心为，
则
解得：
∴弧所在圆的圆心为；
（2）解：如图所示，连接，作等腰直角三角形，使得，
过点作，过点分别作，垂足分别为，延长交“标准锅线”于点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
（3）解：依题意，与的夹角为，
将图3的“标准锅线”逆时针转如图所示，
设交轴于点，则，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴的解析式为，
过点作交于点，
设，则，
∴，
，
，
∴的最大值为，
∵，
∴，
又∵轴，
∴，则，
∴，
∴当取得最大值时，取的最大值，
∴的最大为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，解直角三角形，垂径定理，坐标与图形，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
男1
男2
女
男1
男2，男1
女，男1
男2
男1，男2
女，男2
女
男1，女
男2，女