山东省济南市槐荫区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市槐荫区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．－B．±C．－5D．5
2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角B．若，则
C．两边分别相等的两个直角三角形全等D．同旁内角互补，两直线平行
5．如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）

A．B．C．D．
6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．利用因式分解计算
A．1B．2023C．2024D．
8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（ ）
A．B．6C．8D．
10．如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作轴的垂线与三条直线，，相交，其中．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12.5B．25C．12.5D．25
二、填空题
11．分解因式： ．
12．到x轴的距离是 ．
13．如图，在中，，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ．
14．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．时，两架无人机的高度差为 m．
15．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，若直线与的三边有两个公共点，则k的取值范围为 ．
三、解答题
17．解不等式组：
18．如图1所示的圆形盘子，外圆半径是，内圆半径是，现在要给盘子环形部分上釉（图2阴影部分），如果，．
请求出阴影部分的面积．（结果保留）
19．如图，AD是△ABC的高线，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD．求证：AD＝BD．
20．（1）尺规作图：已知一个等腰三角形底边及底边上的高，求作这个等腰三角形．
已知：如图，线段；
求作：，使，且，高．（要求：保留作图的痕迹，写出结论，但不要求写出作法．）
（2）若等腰三角形底边长，底边上的高的长，请求出等腰三角形的腰长为多少．
21．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）求证：AE=AB
22．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
23．阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值
．
，
当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
(3)试说明：无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
24．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
25．如图1，△ABC中，，，．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接，设运动时间为t秒，的面积为y．
(1)请分别求出当时，当时y关于t的函数表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系（如图2）中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，求出的面积为3时t的值．
26．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．

(1)求出直线的函数表达式；
(2)是轴上一点，若，求点的坐标；
(3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3．C
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式加减乘除等运算，根据二次根式混合运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查命题，涉及命题的概念、真假命题等知识，熟记命题的定义，逐项判断即可得到答案，熟记命题概念，结合数学知识准确判断命题真假是解决问题的关键．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
B、若，则或，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
C、两边分别对应相等的两个直角三角形全等，如果一个三角形的斜边与另一个三角形的直角边相等，两个直角三角形不可能全等，原命题错误，不是真命题，不符合题意；
D、根据平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键．
6．C
【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长= 1个长+3个宽，②一个长+一个宽= 80cm，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用二元一次方程组解决实际问题，做题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7．B
【分析】本题考查因式分解计算，涉及提公因式因式分解，根据题意，提公因式即可简化运算求值，熟练掌握因式分解方法是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故选：B．
8．A
【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，，
∵，,
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
9．C
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等．先由等边三角形的性质，得，，，再根据，得，进而得，则，然后在中，由勾股定理求出即可．
【详解】解：为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故选：C．
10．A
【分析】分别把x=1，x=2，x=3，x=4，x=5代入解析式，求出梯形或三角形的边长，根据面积公式求出即可．
【详解】把x=1分别代入y=ax，y=（a+1）x，y=（a+2）x得：AW=a+2，WQ=a+1-a=1，
∴AQ=a+2-（a+1）=1，
同理：BR=RK=2，CH=HP=3，DG=GL=4，EF=FT=5，
2-1=1，3-2=1，4-3=1，5-4=1，
∴图中阴影部分的面积是×1×1+×（1+2）×1+×（2+3）×1+×（3+4）×1+×（4+5）×1=12.5，
故选A.
【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，梯形等知识点的理解和掌握，能根据题意求出各个部分的面积是解此题的关键．
11．
【分析】利用完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．4
【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，求解即可．
【详解】解：到x轴的距离是，
故答案为：4．
13．5
【分析】本题考查中垂线的性质，涉及垂直平分线上一点到线段两个端点距离相等、三角形周长等知识，利用中垂线性质得到，表示出的周长，代值求解即可得到答案，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
和分别垂直平分和，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
14．20
【分析】本题主要考查求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面高度y与无人机上升的时间x之间的函数关系式，当时，分别求出两者的函数值，求出它们的差即可．
【详解】设甲无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为，
当时，，
，解得，
；
设乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为，
当时，；当时，，
，
解得：，
；
当时，，，
，
时，两架无人机的高度差为，
故答案为：20
15．或
【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵为直角三角形，
∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；
②当时，如图2，

综上可知的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
16．
【分析】由直线与的三边有两公共点，由一次函数图像上点的坐标特征结合直线与的三边有两公共点，即直线与的边有公共点（不包含，两点），即可解答．
【详解】解：∵点、的坐标分别为、，
∴把，代入得：
解得： ，
把，代入得：
解得： ，
∵直线与的三边有两公共点，即直线与的边有公共点（不包含，两点），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将直线与的三边有两公共点，转换成直线与的边有公共点（不包含，两点）是解题的关键．
17．
【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解一元一次不等式的方法步骤等知识，逐个解出不等式组中各个不等式的解集，由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求出不等式组解集即可得到答案，熟记不等式组解集的求法是解决问题的关键
【详解】解：由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
18．剩余阴影部分的面积为
【分析】本题考查圆环面积求法，涉及圆的面积公式、平方差公式因式分解等知识，读懂题意，利用大圆面积减去小圆面积表示出圆环面积，代值求解即可得到答案，熟练掌握圆环面积的求法是解决问题的关键．
【详解】解：，，
阴影部分的面积为：
，
答：剩余阴影部分的面积为cm2．
19．见解析
【分析】根据HL，证Rt△BDF≌Rt△ADC，再根据全等三角形性质可得AD＝BD．
【详解】证明：∵AD是△ABC的高线，，
∴
∵BF=AC，FD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴AD＝BD．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质．解题关键点：运用HL证三角形全等．
20．（1）作图见解析；（2）
【分析】本题考查尺规作图及勾股定理求线段长，涉及尺规作图-中垂线、尺规作图-作相等线段、等腰三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握基本尺规作图及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用尺规作图，先作线段的中垂线，再以点为圆心，以为半径画弧交中垂线于，连接即可得到答案；
（2）利用等腰三角形三线合一及勾股定理求解极可能得到答案．
【详解】解：（1）如图所示：
即为所求，
（2）∵为等腰三角形，，
，
∵在中，则，
，
．
21．见解析
【详解】（1）根据等边三角形的判定证明即可；
（2）利用等边三角形的性质解答即可.
证明：
（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB= 60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABD＝60°，
∴∠ADE=∠ACB＝60°，
∴∠A=∠AED＝∠ADE
∴△ADE是等边三角形；
（2）∵△ADE是等边三角形
∴AD=AE
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC
∵BD平分∠ABC，
∴D是AC的中点（三线合一）
AD=AC＝AB，
∴AE=AB．
22．(1)30海里
(2)有触礁的危险，理由见解析
【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得；
（2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知条件可得：，，，
，
，
，
B处到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：有触礁的危险．理由如下：
过C作交AB的延长线于点D，
，，
，
∵，
若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键．
23．(1)的最小值是3
(2)；大；－2
(3)说明见解析
【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（3）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
，
的最小值是3；
（2）解：
，
当时，y有最大值，这个值是，
故答案为：，大，；
（3）解：
，
，，
，
无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
24．(1)甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元
(2)该校最多可以购买甲种书40本
【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可；
（2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可．
【详解】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
25．(1)①当时，y关于t的函数表达式是，②当时，y关于t的函数表达式是，
(2)画图见解析，当时，函数有最大值为4
(3)t的值为3或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，一次函数的图象及性质，会进行分类讨论时解本题的关键；
（1）分两种情况讨论，由三角形面积公式可得出答案；
（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）令即可得出答案．
【详解】（1）E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动，设运动时间为t秒，
①当时，，
，
当时，y关于t的函数表达式是；
②当时，
，
，
当时，y关于t的函数表达式是，
（2）由（1）得，，
函数图象如图：
该函数的一条性质：当时，函数有最大值为4．（答案不唯一）
（3）的面积为3，即，
将代入中得：
，且符合要求．
将代入得，，且符合要求．
当t的值为3或时，的面积为3．
26．(1)
(2)或
(3)是等腰直角三角形
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数的性质，勾股定理与逆定理，等腰直角三角形的判定等知识．解题的关键是：
（1）先求点A的坐标，然后求点B的坐标，最后把B、D的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）把、函数解析式联立方程组，求出点C的坐标，然后国库三角形面积公式求解即可；
（3）设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，可证，求出点F的坐标，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
把，代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：联立方程组，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或；
（3）解：是等腰直角三角形
理由：设设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，

∵
∴，
对于，当，则，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．