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福建省龙岩市2023届高三三月教学质量检测数学试题
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这是一份福建省龙岩市2023届高三三月教学质量检测数学试题，文件包含福建省龙岩市2023届高三三月教学质量检测数学试题原卷版docx、福建省龙岩市2023届高三三月教学质量检测数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则（ ）
A. 3B. 5C. D.
2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
8. 正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B. 经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C. 数据的方差为，则数据的方差为
D. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
10. 如图，已知平面，，，为的中点，，则（ ）
A. B.
C. 平面D. 直线与所成角的余弦值为
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A. 为定值
B.
C. 点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D. 存在直线使
12. 已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ）
A. 上单调递增
B. （其中是自然对数的底数）
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的展开式中的系数为21，则________．
14. 写出一个同时满足下列三个性质的函数________．
①的定义域为；②是奇函数；③是偶函数．
15. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则________．
16. 已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若平分线过点，则直线的斜率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：．
18. 在中，内角的对边分别为
（1）求角；
（2）茬是边上的点，且，求的值.
19. 三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
（1）求侧棱的长；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
20. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；
（2）记一共进行的比赛局数为Y，求．
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆内切．
（1）求椭圆K的方程；
（2）过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，与交于点P，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数，．
（1）若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
（2）若，且，证明：．
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z满足，则（ ）
A. 3B. 5C. D.
2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，，，若，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
8. 正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B. 经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位
C. 数据的方差为，则数据的方差为
D. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
10. 如图，已知平面，，，为的中点，，则（ ）
A. B.
C. 平面D. 直线与所成角的余弦值为
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点．直线交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A. 为定值
B.
C. 点P到两条渐近线的距离之和的最小值为
D. 存在直线使
12. 已知函数（）有两个零点，分别记为，（）；对于，存在使，则（ ）
A. 上单调递增
B. （其中是自然对数的底数）
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知的展开式中的系数为21，则________．
14. 写出一个同时满足下列三个性质的函数________．
①的定义域为；②是奇函数；③是偶函数．
15. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则________．
16. 已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若平分线过点，则直线的斜率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：．
18. 在中，内角的对边分别为
（1）求角；
（2）茬是边上的点，且，求的值.
19. 三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
（1）求侧棱的长；
（2）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
20. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；
（2）记一共进行的比赛局数为Y，求．
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆K于M，N两点，以线段为直径的圆C与圆内切．
（1）求椭圆K的方程；
（2）过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，与交于点P，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22. 已知函数，．
（1）若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
（2）若，且，证明：．
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