河北省保定市2023届高三二模数学试题

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本试卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在本试卷上无效．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 2020年9月22日，在第75届联合国大会期间，中国提出将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．要实现这个承诺，我国要牢固树立创新、协调、绿色、开放、共享等新发展理念，抓住新一轮科技革命和产业变革的历史性机遇，汇聚各方力量推动经济社会发展转型．2023年2月28日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年全年我国新能源汽车产量达到万辆，如果从2023年起，今后3年我国新能源汽车产量年均增长率为，则2025年全年，我国新能源汽车产量预计能达到约（ ）万辆
A. 1210.12B. 1008.43C. 1452.14D. 1451.52
4. 已知双曲线右焦点为为虚轴上端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 时，关于对称
B. 时，的一个周期为
C. 时，在上单调递增
D. 时，的两个零点为，则
6. 三位同学参加某项体育测试，每人要从跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在长方体中，，，对角线与平面交于点．则与面所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B.
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称
10. 已知函数，则（ ）
A. 在单调递减，则
B. 若，则函数存在2个极值点
C. 若，则有三个零点
D. 若在恒成立，则
11. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，则（ ）
A. B. 存在一点为中点，使得
C. 存在这样的直线使成立D.
12. 如图，正方形的边长为，、分别为边、上的动点，若的周长为定值，则（ ）

A. 的大小为B. 面积的最小值为
C. 长度最小值为D. 点到的距离可以是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知定义在上的函数满足：对于且，①，②.试写出满足以上两个条件的一个函数______．
14. 在中，点在边上，平分，若，，则______．
15. 我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外.当地球和火星与太阳在同一条直线上，这一天文现象称“冲日”，简称“冲”.假设地球和火星都做近似匀速圆周运动，火星绕太阳一周约需天，地球绕太阳一周约需天，则相邻两次“冲日”之间间隔约为______天. （结果精确到个位）
16. 如图，在四面体中，，则四面体体积的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，四棱台底面是菱形，且，平面，，，.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
18. 如图，是平面四边形的一条对角线，已知在中满足．

（1）求；
（2）若，求四边形面积的最大值．
19. 已知数列的前n项和为，，若对任意的正整数n都有
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值.
20. 某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
（1）求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
（2）若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分分布列和期望．
21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭圆经过点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不同于点的两个动点，直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，证明：直线的斜率为定值．
22. 已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程．
（2）若的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．