2023--2024学年人教版八年级数学上册第十五章+分式+寒假复习单元卷（解析版）

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人教版八年级数学上册第十五章 分式 寒假复习单元卷 一、选择题1．若分式1x+1有意义，则x的取值范围是（　　）A．x≠-1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠22．小丽在化简分式∗x2−1=x−1x+1|时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）A．x2−2x+1 B．x2+2x+1 C．x2−1 D．x2−2x−13．照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1u+1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv4．计算 xa+1⋅a2−12x 的结果正确的是（　　） A．a−12 B．a+12 C．a−12x D．a+12a+25．若方程x−3x−2=m2−x无解，则m的值是（　　）A．1 B．2 C．3 D．46．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件．设甲每小时做x个零件，则可列方程为（　　）A．100x−4=80x B．100x=80x−4 C．100x=80x+4 D．100x+4=80x二、填空题7．若关于x的分式方程x−mx−1−3x=1无解，则m的值为　 　．8．分式 |x|−1(x+1)(x−2) 的值为0，则 x=　 　．9．已知1x−1y=3，则分式2x+3xy−2yx−2xy−y的值为　 　．10．若关于x的方程1x−3+x+m3−x=2的解是非负数，则m的取值范围是　 　．11．想让关于x的分式方程2x−4=3+m4−x没有增根，则m的值为　 　(填一个)．三、计算题12．化简求值(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x，其中x=−213．解方程：（1）3x−1=5+3x1−x． （1）5x2+x−1x2−x=0．四、解答题14．若关于x的分式方程1x−2+3=3−k2−x的解为正实数，求k的取值范围.15．先化简，后求值：(1x−1−1)÷x2−4x+4x−1，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值.16．嘉嘉和淇淇一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．（1）嘉嘉组成的分式中值最大的分式是　 　，淇淇组成的分式中值最大的分式是　 　；（2）淇淇说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”．你同意她的说法吗？通过计算说明．17．小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作.6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作.求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．18．诊断与纠错：先化简分式x2−2xx2−1÷(1−2x−1x+1)，再代入一个合适的数求值．请观察以下解答过程，指出其中的错误．并写出正确的解答过程．解：原式=x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x+1x+1−2x−1x+1)①=x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x+1−2x−1x+1)②=x(x−2)(x+1)(x−1)÷−xx+1③=x(x−2)(x+1)(x−1)×x+1−x④=−x−2x−1⑤取x=2，原式=0⑥错误的是 步．请更正：19．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？20．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵分式1x+1有意义，∴x+1≠0，∴x≠−1.故答案为：A.【分析】分式中字母的取值不能使分母为零.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵ ∗x2−1=x−1x+1，∴∗=x−1x+1×x2−1=x−1x+1×x+1x−1=x−12=x2−2x−1.故答案为：A.【分析】根据被除数=商×除数，可得∗=x−1x+1×x2−1，再通过分式的约分、整理即可得到答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵1f=1u+1v(v≠f)，∴1u=1f−1ν∴1u=ν−ffν，∴u=fνν−f，故答案为：C．【分析】根据1f=1u+1v(v≠f)可得1u=1f−1ν，再利用分式的减法计算方法求解即可。4．【答案】A【解析】【解答】 xa+1⋅a2−12x = xa+1⋅（a+1)(a−1)2x = a−12 . 故答案为：A.【分析】利用分式的乘除法的性质化简即可。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵方程x−3x−2=m2−x无解 ，∴x=2是增根，把原分式方程去分母化为整式方程：x-3=-m，把x=2代入整式方程：2-3=-m，∴m=1.故答案为：A。【分析】根据分式方程无解，可得出分式方程的增根，然后把分式方程去分母，化成整式方程，只需把分式方程的增根代入整式方程，即可求得m的值。6．【答案】B【解析】【解答】解： 设甲每小时做x个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，根据题意，得：100x=80x−4.故答案为：B。【分析】 设甲每小时做x个零件， 则乙每小时做（x-4）个零件，根据 甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等 ，即可得出方程100x=80x−4。7．【答案】−2或18．【答案】1【解析】【解答】由分式的值为零的条件得 |x| −1=0且(x+1)(x−2)≠0 解得：x=1，故答案为：1.【分析】分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零，即|x| −1=0且(x+1)(x−2)≠0，从中找出符合条件的x的值即可。9．【答案】35【解析】【解答】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，即y−x=3xy，∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xyx−y−2xy=−6xy+3xy−3xy−2xy=35．故答案为：35．【分析】根据1x−1y=3，可得y−x=3xy，再将其代入2x+3xy−2yx−2xy−y计算即可。10．【答案】m≤7且m≠－2【解析】【解答】解： 1x−3+x+m3−x=2，去分母，得：1-（x+m）=2(x-3)，去括号，得：1-x-m=2x-6，移项，合并同类项，得：-3x=m-7，∴x=−m−73.∵关于x的方程1x−3+x+m3−x=2的解是非负数，∴−m−73≥0，且x-3≠0，即−m−73≠3∴m≤7，且m≠-2.故答案为：m≤7，且m≠-2.【分析】首先解关于x的方程，得出方程的解为x=−m−73，然后根据方程的解为非负数，可得出−m−73≥0，且x-3≠0，即−m−73≠3，即可得出m的取值范围。11．【答案】1(答案不唯一)【解析】【解答】解：去分母，得2=3x-12-m，分式的增根是x=4，把x=4代入上面的整式方程，得：2=12-12-m解得：m=-2，即m=-2时，分式有增根，∴想让分式方程没有增根，m不等于-2，取m=1。故答案为：1（答案不唯一）。【分析】先把分式方程转化为整式方程，再确定增根并代入整式方程，求出m=-2，只要m不等于-2，分式方程就没有增根。12．【答案】解：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+11−x原式=[x2x−1−(x−1)2x−1]·1−x(2x−1)2=2x−1x−1·1−x(2x−1)2=−12x−1将x=−2代入得：原式=−12×(−2)−1=15．13．【答案】（1）解：5x2+x−1x2−x=0，原方程变形为：5x(x+1)−1x(x−1)=0，，两边同乘x（x+1）（x﹣1），得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，解得：x＝32，检验：当x＝32时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴原分式方程的解为：x＝32．【解析】【分析】找出分式方程中最简公分母，两边同乘最简公分母得到一元一次方程方程 5（x﹣1）-（x+1）＝0，求解并检验即可.14．【答案】解：1x−2+3=3−k2−x方程两边同乘(x−2)得，1+3(x−2)=k−3，解得：x=k+23，∵k+23≠2且k+23>0，∴k≠4且k>−2∴k的取值范围是k≠4且k>−2．【解析】【分析】本题考查的分式通分及不等式的综合运用的相关知识点。通分：根据分数（式）的基本性质，把几个异分母分数（式）化成与原来分数（式）相等的同分母的分数（式）的过程，叫做通分；如果分式有意义，分母必不为0；能够根据具体中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，求取相关数值的取值范围。结合本题进行分析：根据题意：1x−2+3=3−k2−x，进行通分可得：1x−2+3(x−2)x−2=3−k2−x,两边同时乘以（x-2）得，1+3（x-2）=k-3,解得：x=k+23,如果分式成立，需要满足x−2≠0,∴x≠2,即：k+23≠2，解得：k≠4，根据题意，解为正实数，所以x>0,即：k+23>0，解得：k>−2，所以k的取值范围是k≠4且k>−2。15．【答案】解：(1x−1−1)÷x2−4x+4x−1=2−xx−1÷(x−2)2x−1=2−xx−1×x−1(2−x)2=12−x，∵x−1≠0且x−2≠0，∴x≠1且x≠2，∴当x=0时，原式=12.【解析】【分析】根据分式的运算法则进行化简，再选取一个值代入进行计算即可。取值时要特别注意，不能使原式中的任何一个分母为0，不能使除式为0。16．【答案】（1）x+3x−3；x−1x−3（2）解：同意淇淇的说法，理由：∵x+3x−3−x+3x+1=(x−1)(x+1)(x−3)(x+1)−(x+3)(x−3)(x−3)(x+1)=8(x−3)(x+1)当x是大于3的正整数时，x−3>0，x+1>0，∵8(x−3)(x+1)>0， ∴x−1x−3>x+3x+1，所以淇淇说的对．【解析】【解答】解：（1）∵x+1＜x+2＜x+3，∴ 嘉嘉组成的分式中值最大的分式是x+3x+1；∵x-3＜x-2＜x-1，∴ 淇淇组成的分式中值最大的分式是x−1x−3;故答案为：x+3x+1，x−1x−3.（2） 同意淇淇的说法，理由：∵x−1x−3−x+3x+1=(x−1)(x+1)(x−3)(x+1)−(x+3)(x−3)(x−3)(x+1)=8(x−3)(x+1)，当x是大于3的正整数时，x−3>0，x+1>0，∵8(x−3)(x+1)>0，∴x−1x−3>x+3x+1，所以淇淇说的对．【分析】（1）三个式子中组成的分式中，分子最大，分母最小时分式就最大，据此解答即可；（2）比较x+3x+1与x−1x−3的大小即可判断.17．【答案】解：设小杰每小时可以整理x册图书，则小月每小时可以整理1.2x册图书．由题意得：1201.2x−80x=1560，解得：x=80，经检验：x=80是原方程的解，且符合题意，∴1.2x=1.2×80=96，答：小月每小时可以整理96册图书，小杰每小时可以整理80册图书．【解析】【分析】设小杰每小时可以整理x册图书，则小月每小时可以整理1.2x册图书． 根据同时开始工作，结果小杰比小月提15分钟完成工作，15分钟=1560小时，列方程、解方程、检验、作答即可.18．【答案】解：错误是第 ②、⑥步．纠正如下：原式=x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x+1x+1−2x−1x+1)，=x(x−2)(x+1)(x−1)÷(x+1−2x+1x+1)，=x(x−2)(x+1)(x−1)÷2−xx+1，=x(x−2)(x+1)(x−1)×x+12−x，=−xx−1由于x≠±1且x≠2，∴取x=0，原式=0．【解析】【分析】第2步括号内分子相减时作为减数的分子没有变号，故错误，第6步中x=2时除数为0，算式无意义，故错误。 先算括号内，再按分式除法法则算括号外即可计算出正确结果。19．【答案】解：设3月的售价为x元，4月的售价则为0.9x元，根据题意得：2400+10560.9x−2400x=30，解得：x＝48，经检验，x＝48，是原分式方程的解，∴3月份这种商品的售价是48元．【解析】【分析】 设3月的售价为x元，则4月的售价则为0.9x元，因为4月份比3月份销售量增加30件，所以等量关系为4月份销售量-3月份销售量=30，根据等量关系列出方程，求解、检验、作答即可.20．【答案】（1）解：设第一次购进x件文具，则第二次购进2x件．依题意有 1000x+2.5=25002x，解得：x=100经检验知x=100是原方程的解，∴2x=200，即则第二次购进200件．（2）解：由（1）知第一次购进文具的进价为：1000÷100=10（元），第二次购进文具的进价为：10+2.5=12.5（元），∴ 文具店老板在这两笔生意中共盈利：(15−10)×100+(15−12.5)×200=1000（元），答：文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元．【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格乘以数量。设第一次购进x件文具，则第二次购进2x件．得出第一次购进单价为1000x，第二次购进单价为25002x，根据“第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元”列出分式方程求解即可；（2）先分别求出购进的单价，再根据总利润=第一次利润+第二次利润，列出算式进行计算．