高中数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算同步达标检测题

这是一份高中数学第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知（不共线），则下列说法中正确的是（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
2．如图，，为互相垂直的两个单位向量，则（ ）
A．20B．
C．D．
3．已知，，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．若向量，，满足，且，则（ ）
A．4B．3
C．2D．0
5．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形D．等边三角形
6．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
8．在中，点E、F分别在边AB、AC上，D为BC的中点，满足，，则（ ）．
A．0B．C．D．
9．如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）．
A．B．C．D．
10．已知AB是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影向量为________．
12．已知与垂直，且与垂直，则＝________.
13．已知向量满足，且，则与的夹角为__.
14．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为________．
15．已知在所在平面内，，则是的__心．
三、解答题
16．已知的夹角为，，当实数为何值时，
(1)
(2)
17．已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
18．已知，，.
(1)求 与 的夹角 ；
(2)求 与 的夹角的余弦值．
19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
(1)用向量与表示向量，；
(2)若，求证：三点共线.
参考答案：
1．D
【分析】利用向量共线的充要条件判定即可.
【详解】对于A项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故A错误；
对于B项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故B错误；
对于C项，若三点共线，则有，即，所以，显然不存在满足要求，故C错误；
对于D项，，所以和共线，又和有公共点，即三点共线，故D正确；
故选：D．
2．C
【分析】根据题意可得，，进而求得，进而求解.
【详解】由题意，可知，，
所以，
所以.
故选：C.
3．B
【分析】由题意可得，进而得到，结合即可求解.
【详解】因为关于的方程有实根，
所以，
所以，，
所以，
即与的夹角的取值范围是.
故选：B.
4．D
【分析】由，可得，由，可设代入即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以可设，
则.
故选：D.
5．D
【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.
【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由，可得的角平分线与垂直，
所以为等腰三角形，且，
且，
所以，又，
所以，
所以，
所以三角形为等边三角形．
故选：D．
6．D
【分析】根据平面向量共线定理得存在实数，使，代入条件列式计算即可.
【详解】若向量与向量共线，
则存在实数，使，
，
，
解得.
故选：D.
7．C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
8．D
【分析】根据题意，分别表示出，然后由向量的数量积运算即可得到结果.
【详解】设，，则．
由题意得，
同理．
因为，所以，整理得，
即，解得．
故选:D
9．A
【分析】根据向量的线性运算化简求解即可.
【详解】由题意可知，，
故选：A
10．A
【分析】由平面向量的线性运算法则求解．
【详解】是的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
且，．
故选：A．
11．
【分析】先求出，再代入投影向量公式中求解即可．
【详解】因为与的夹角为，，，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故答案为：．
12．60°##
【分析】根据向量垂直化简数量积，由两式可得且，由向量夹角公式求解即可.
【详解】，
，
两式相减得：，
，
代入上面两个式子中的任意一个，得，
，
又，
.
故答案为：
13．##
【分析】根据向量数量积的定义、运算性质，夹角公式求解.
【详解】，
，
，
又，
.
故答案为：
14．##1.25
【分析】根据平面向量的数量积求解即可.
【详解】由题意，即有，
即，
即，
即，
解得.
故答案为：.
15．垂
【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.
【详解】由得：，即，则，
由同理可得：，
所以是的垂心.
故答案为：垂
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据共线向量定理，建立方程组，可解得结果.
（2）根据向量垂直，数量积为0，解得结果.
【详解】（1）若，得，即，
即解得，．
（2）若，则，
即，得，
，
解得．
17．(1)
(2)3
【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1）点G为的重心，
，，，
，
（2）点G为的重心，
，
，
，
，
，
，
，
与共线，
存在实数，使得，
则，
根据向量相等的定义可得，
消去可得，
两边同除，整理得.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
（2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；
【详解】（1）由已知，得，
因为，所以.
又，
所以cs，
因为，所以.
（2）因为，所以，
因为，所以.
所以.
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由平面向量基本定理即可写出答案；
（2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明三点共线.
【详解】（1）∵，，
∴，
；
（2）证明：∵，
∴与平行，
又∵与有公共点，
∴三点共线.