数学必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用综合训练题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合
3．如果锐角的外接圆圆心为，则点到三边的距离之比为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，已知函数（，）的图像与坐标轴交于点、、，且的坐标为，直线交的图像于另一点，原点是的重心，则的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，若，，则形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
6．如图，等腰是BC上一点，、的外接圆半径分别为、，则的值为（ ）．
A．1B．C．D．由D点的位置确定
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
8．在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（ ）
A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．
9．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的最大内角为（ ）．
A．B．C．D．
10．在中，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于________.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为 __．
13．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________
14．在锐角△ABC中，角B所对的边长b=6，△ABC的面积为15，外接圆半径R=5，则△ABC的周长为______.
15．已知,,现有动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,另一动点从开始,沿着与向量相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒,设在时分别在,处,则当时所需的时间为______.
三、解答题
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C的大小；
(2)已知a+b＝8，求△ABC的面积的最大值．
17．在中，内角所对的边长分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求.
18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α．
19．已知岛南偏西38°方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（参考数据）
参考答案：
1．B
【分析】根据三角恒等变换公式得到，确定，根据面积范围得到，得到，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】，
则，即，
故，
，
即，，
整理得到.
设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，
，故，即，
，故，即，
，则，
对选项A：，即，但不一定正确；
对选项B：，即，正确；
对选项C： ，不一定正确；
对选项D： ，不一定正确；
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，三角形面积公式，正弦定理，以此考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角恒等变换公式将条件转化为是解题的关键.
2．B
【分析】分别求出两直线斜率，相乘，利用正弦定理边角互化即可求解.
【详解】由题意可知直线与直线的斜率均存在且不为0，
直线的斜率，
直线的斜率，
由正弦定理可得，
所以两直线垂直，
故选：B
3．B
【分析】设外接圆半径，连接，设点到三边的距离分别为，,再结合正弦定理可求得.
【详解】如图，设外接圆半径，连接，在三角形中，的对角分别为，设点到三边的距离分别为，
由锐角知均为正数，
由外接圆知，所以，
同理: ，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】根据三角函数的对称性可得函数的最小正周期与，代入点可得函数解析式，进而确定点，及，再利用正弦定理确定的外接圆的半径.
【详解】根据三角函数图像的对称性，可知点是的中点，
又原点是的重心，的坐标为，得，即点的坐标为，
于是函数的最小正周期，进而得，
所以.
又由题意得，而，
则，所以.
令，得，即点的坐标为，
于是，得，进而得，
又点是的中点，得点的坐标为，
所以，
设的外接圆的半径为，则，
得.
故选：B.
5．C
【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.
【详解】因为,
所以,
因为
所以，
所以，可得或，
又因为，,
所以
所以，，，
所以为等边三角形.
故选：C.
6．A
【分析】由正弦定理求解即可
【详解】在中，
，
在中，
，
因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：A
7．C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】在三角形中，由正弦定理，得，
若可得，
即是的充要条件，
故选：C．
8．B
【分析】方程有两个相等的实数根，则有，再利用正弦定理边角互化的应用可得，从而可得三角形的形状.
【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根，
，
，再由正弦定理可得，
是直角三角形.
故选：B.
9．C
【分析】先利用已知条件求出的范围，在判断出最大边，利用余弦定理求出最大角即可.
【详解】因为，，为三角形的三边长，
所以
解得：，
由，
所以，
且，
所以，
故三角形最大边为，
由三角形边角关系得，大边对大角，
故三角形最大角为边所对应的角，设为，
由余弦定理可得：
，
由，
所以，
故三角形的最大内角为，
故选：C.
10．D
【分析】利用正弦定理和三角形成立的条件求解.
【详解】由正弦定理知，
所以，
根据三角形成立的条件可知，解得，
故选:D.
11．##
【分析】根据题意，结合向量的加法法则可得四边形为平行四边形，进而利用平行四边形的性质及三角形的面积公式求解即可.
【详解】由题可知，，，
所以，，
由
可得，
由平行四边形法则，可知四边形为平行四边形，
所以，，
所以.
故答案为：.
12．
【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得csA，设AD＝x，由cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．
【详解】因为，
由正弦定理可知：，
又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcsB+csAsinB，
则2csAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，
所以csA，因为A∈(0,π)，所以，
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：cs∠ADB，cs∠ADC，
又由于cs∠ADB+cs∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，
在△ABC中，，即，
因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，
所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），
所以BC边上的中线AD长度的最大值为，
故答案为：．
13．等腰三角形或直角三角形
【分析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可.
【详解】由及正弦定理，得
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形
14．
【分析】先由正弦定理得,进而得,由的面积可得，再由余弦定理求得，即得周长.
【详解】因为，外接圆半径，所以，
因为的面积为15，所以，
因为，
所以
即
故答案为：
15．
【分析】先分别求出、的运动速度大小和方向,再利用表示出、的坐标,带入数量积为,即可求解.
【详解】由题意得,则,与其方向相同的单位向量为,,则,与其方向相同的单位向量为,
如图,
则,,
故,,
又,,
∴,,
,
∴.
∵,
∴,
即,解得.
故当时所需的时间为.
故答案为:2
16．(1)C
(2)．
【分析】（1）先把题给条件化为，再利用余弦定理即可求解C的值．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC的面积的最大值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，∴，
∴csC，
又∵C∈（0，π），∴C．
（2）∵（当且仅当a＝b＝4时取等号），∴ab≤16，
∴S△ABC 的最大值为16×sin．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）由正弦定理得出，再由面积公式求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以
因为为三角形的内角，所以
（2）因为，，，
由正弦定理可得：，所以
因为为三角形的内角，所以
.
18．(1)7 n mile/h
(2)
【分析】(1)根据余弦定理求解；
(2)利用正弦定理即可求解.
【详解】（1）依题意，知
在中，由余弦定理，
得
解得甲船的速度为＝7，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h．
（2）在中，
由正弦定理，得＝，
即.
19．缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用0.5小时能截住该走私船
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】设缉私艇在处截住该走私船，
依题意，
由余弦定理得，
所以缉私艇速度为海里/时，
，为锐角，所以，
所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用0.5小时能截住该走私船.