高中数学7.2 复数的四则运算课堂检测

这是一份高中数学7.2 复数的四则运算课堂检测，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．在复数范围内，方程的解的个数是( )
A．2B．4C．6D．8
3．下列关于复数的说法中，正确的是（ ）
A．任意两个复数不能比较大小
B．若复数的模为，则
C．两个复数、，若，则
D．设z为复数，则
4．已知、，且，若，则的最大值是（ ）．
A．6B．5C．4D．3
5．在复数范围内，有下列命题：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数是某一元二次方程的根，则一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（ ）
A．3B．2C．0D．1
6．欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）．
A．；
B．；
C．；
D．在复平面内对应的点位于第二象限．
7．已知集合，则下列复数：①；②；③；④，其中属于集合M的为（ ）．
A．①②；B．①③；C．①④；D．①③④．
8．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
9．已知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．的共轭复数对应的点在第三象限
C．的实部为1D．的共轭复数的模为1
10．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线B．是直角三角形
C．是等边三角形D．以上都不对
二、填空题
11．已知复数，，则的最大值为______．
12．设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则______．
13．若关于x的方程有实数根，则锐角______．
14．已知复数，则______．
15．已知，且，则______.
三、解答题
16．（1）已知，，求证：；
（2）求函数的最小值．
17．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
18．对于复数，，称复数是关于的变换．
(1)计算复数关于的变换的结果；
(2)若复数关于的变换在复平面上所对应的点在线段上，求．
19．（1）已知，i是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以z为其中一根的实系数一元二次方程；
（2）求纯虚数的平方根．
参考答案：
1．A
【分析】根据二次方程复数根的性质即可求解.
【详解】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，
故该方程的另一个复数根是.
故选：A.
2．A
【分析】设，代入原方程解出a、b即可．
【详解】设，
则，
即，
则
由②得或，
当时，①化为，
或(舍)，，，
当时，①化为，∵，∴该方程无实数根．
综上，在复数范围内，方程的解为，解的个数为2．
故选：A．
3．D
【分析】取两个复数均为实数可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的模长公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，若这两个复数均为实数，则这两个复数可以比较大小，A错；
对于B选项，取，则，但，B错；
对于C选项，取，，则，但且，C错；
对于D选项，设，则，
所以，，D对.
故选：D.
4．C
【分析】设，得到，，计算得到，根据范围得到最值.
【详解】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.
故选：C
5．D
【分析】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得的平方根，从而得以判断.
【详解】对于①，的平方根有两个，分别为和，故①错误；
对于②，1的平方根是和1，故②错误；
对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，
实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；
对于④，设的平方根为，则，即，
故，解得或，
所以的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故④正确；
综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为.
故选：D.
6．B
【分析】对于A，根据欧拉公式的定义，代入即可判断；
对于B，根据复数的模的计算公式即可判断；
对于C，将代入，联立两个式子解方程组即可判断；
对于D，表示的复数在复平面内对应的点为，从而得以判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确：
对于C，因为，，
所以，故C错误；
对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，
因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误.
故选：B.
7．C
【分析】根据复数的运算法则即可求解．
【详解】
①；
②；③
④
故选：C
8．B
【分析】先利用复数除法化简复数，进而求得复数的虚部
【详解】
则的虚部为
故选：B
9．D
【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC选项，然后求出的共轭复数为，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD选项.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为，故A错误；
的共轭复数为，其对应的点是，在第一象限，故B错误；
的实部为，故C错误；
的共轭复数为，则模长为，故D正确，
故选：D.
10．B
【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可.
【详解】解：设，
则，故，
因为，所以，
所以，
所以或，
故或，
当时，，
当时，，
所以，所以是直角三角形，
故、、三点不共线且不是等边三角形.
故选：B.
11．
【分析】由复数的模的运算性质进行运算求解即可.
【详解】
，
∵，
∴当时，的最大值为.
故答案为：.
12．
【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解.
【详解】由题可知，，
设，a，b∈R，
则，
则．
故答案为：
13．
【分析】先将原方程化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0，列出方程组解出答案即可.
【详解】，
，
若关于x的方程有实数根，
则，解得，
则锐角，
故答案为：.
14．
【分析】由复数运算性质进行计算求解即可.
【详解】，
∴，
∴.
故答案为：.
15．
【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算，结合复数相等列式计算作答.
【详解】，，因此，
所以，解得.
故答案为：
16．（1）证明见解析；（2）5
【分析】（1）使用复数加法的几何意义进行证明即可；
（2）使用第（1）问证明结论，构造两个复数，，，进行证明即可.
【详解】（1）设复平面上的点，是复数，所对应的点，
∴向量，是复数，所对应的向量，∴，，
当，不共线时，平行四边行对角线所成向量（如下图所示），
∴向量，是复数所对应的向量，∴，
∴在中由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”的性质可得，
，
，
∴；
当且仅当，共线且方向相同，即且时，，
当且仅当，共线且方向相反，即且时，，
综上所述，.
（2）∵
∴令，，，
∴由第（1）问证明的不等式，有
则，
当且仅当且，即时，等号成立.
∴时，函数的最小值为.
17．(1)5
(2)7
【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数；
（2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量，
对应的复数为,所以向量，
，
，
，
点对应的复数为5 .
（2），
，
，，
.
故平行四边形面积为7.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目信息计算可得.
（2）求出复数关于的变换在复平面上所对应的点，由纵坐标为，可求得，再根据验证.
【详解】（1）因为 ，
即复数关于的变换的结果为.
（2）
，
因为 .
所以 , .
又因为 满足题意.
故 .
19．（1）（2）当时，纯虚数的平方根为或；当时，纯虚数的平方根为或
【分析】（1）根据复数的四则运算和纯虚数的概念解出复数，即可写出要求的一元二次方程；（2）设复数是的平方根，根据复数相等的概念即可求得结果.
【详解】（1）由题可知，
因为是纯虚数，所以，得，
所以，，
一个以z为其中一根的实系数一元二次方程是.
（2）设复数满足
即，所以，
当时，解得 即或，
当时，解得即或
所以， 当时，纯虚数的平方根为或；
当时，纯虚数的平方根为或