数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时训练

这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时训练，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个三棱锥底面和侧面这四个面中（ ）
A．可以都是直角三角形B．最多三个面是直角三角形
C．最多两个面是直角三角形D．最多一个面是直角三角形
2．一个三棱锥每个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面射影一定是底面三角形的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．如图所示，为圆的直径，为圆周上不与点A、C重合的点，圆所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定与的大小关系
5．正方体中作一截面与垂直，且和正方体所有面相交，如图所示．记截面多边形面积为，周长为，则（ ）
A．为定值，不为定值B．不为定值，为定值
C．和均为定值D．和均不为定值
6．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
10．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
11．已知平面平面，，，AB与两平面，所成的角分别为，，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（ ）
A．外心B．内心C．垂心D．重心
13．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（ ）
A．平面ABCDB．平面PBC
C．平面PADD．平面PCD
14．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（ ）
①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；
②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；
③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
A．①②B．②③C．只有③D．只有②
15．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，D是棱的中点，P是AD的延长线与的延长线的交点，若点Q在线段上，则下列结论中正确的是（ ）.
A．当点Q为线段的中点时，平面
B．当点Q为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点Q，使得平面
D．不存在DQ与平面垂直
二、填空题
16．如图，长方体，，，，是棱上的一个动点，若点运动到棱靠近的一个三等分点时，恰有，求此时与平面所成的角__________．
17．已知二面角的平面角是120°，在面内，于，，在面内，于，，，是棱上的一个动点，则的最小值是______.
18．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值是______．
19．点在二面角的平面上，点到平面的距离为，点到棱的距离为，则二面角的大小为______．
三、解答题
20．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知 ，求点到的距离.
21．如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成二面角的余弦值．
22．如图，过圆锥顶点S作截面SAB与底面成60°二面角，且A、B分底面圆周为1∶2两段弧，已知截面SAB面积为，求底面圆心到平面SAB的距离.
参考答案：
1．A
【分析】将三棱锥放入正方体中，利用底面ABD，平面，判断，，，，即可判断侧面与底面均为直角三角形.
【详解】
将三棱锥中放入正方体中，如图：
三棱锥中，底面ABD，故，，即，是直角三角形，又平面，则，，即，是直角三角形，故有4个直角三角形.
故选:A
2．B
【分析】三棱锥中，作底面，垂足为，作，垂足为，连接OD，作，垂足为，连接OE，作，垂足为，连接OF，找出二面角的平面角，结合三角形的内心的定义，即可得出结论．
【详解】三棱锥中，作底面，垂足为，
作，垂足为，连接OD，作，垂足为，连接OE，作，垂足为，连接OF，如图．
∵底面，底面，∴，
又，，面，∴底面，
∵面，∴，同理可得，
可得为侧面与底面所成角的平面角，为侧面与底面所成角的平面角，为侧面与底面所成角的平面角，
又，，
所以，即为的内心．
故选：B．
3．D
【分析】由线面垂直的性质以及判定得出，，进而得出图中直角三角形的个数.
【详解】因为圆所在的平面，所以，即,为直角三角形.又，
所以由线面垂直的判定可知，平面，即，即,为直角三角形.
故图中直角三角形的个数是4.
故选：D
4．A
【分析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比较大小.
【详解】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图，
因为，，所以，
因为，，，平面，
所以AB面CDF，平面，所以，
在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形DEF中，，
由知，
故选：A
5．B
【分析】先证明平面，平面，进而得到截面与平面和平面均平行且介于两平行平面之间，如图中的六边形，再设，，根据几何关系讨论周长与面积即可.
【详解】解：如图，由正方体的性质得平面，
因为平面，为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
同理可证明，
因为平面，所以平面，
同理可证明平面，
所以，所求截面与平面和平面均平行，如图中的六边形，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，同理可得，，，，，
设，，则
因为，，
所以，，
因为
所以，
同理， ，，
所以，截面多边形的周长为为（为正方体边长），故为定值；
当时，该截面多边形由六边形变为正三角形，此时面积为；
当时，该截面多边形为正六边形，此时面积为；
所以，该截面多边形的面积在变换，故不为定值.
综上，不为定值，为定值.
故选：B
6．C
【分析】取中点，则所求线面角为，利用勾股定理求得，作比可求得结果.
【详解】取中点，连接
为侧面的中心，平面，
与平面所成角即为，
设正方体棱长为，
则，，，
，
即与平面所成角的余弦值为.
故选：C.
7．B
【分析】AD可举出反例，B选项，由线面垂直的判定定理得；C选项，可得到；
【详解】A选项，与相交、平行或，
如图1，当时，与相交，故A错误；
B选项，因为，，所以，
因为，则由线面垂直的判定定理得，故B正确；
C选项，因为，，所以，
因为，所以，故C错误；
D选项，若，，，则与相交、平行或异面，
如图2，满足，，，而与异面，
故D错误．
故选：B．
8．C
【分析】利用线面垂直得到平面平面，平面平面，平面平面，得到答案.
【详解】平面平面，平面平面，
，平面，故平面，平面，故平面平面；
，平面，故平面，平面，故平面平面；
综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；
故选：C
9．D
【分析】根据面面垂直的性质可证明平面ABD，从而可判断①；证明平面ACD可判断②③．
【详解】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
10．B
【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得.
【详解】连接，，分别是，的中点，
，又由正方体的性质可知，
故就是异面直线与所成的角或所成角的补角
连接，由题可知为正三角形，即
故与所成的角为60°．
故选：B.
11．A
【分析】画出图形，设，根据三角函数及勾股定理求出及，从而得到答案.
【详解】如图所示，，
设，则，
因为为等腰直角三角形，所以，
由勾股定理可知：，
所以.
故选：A
12．C
【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心
【详解】连接OA、OB、OC，
∵，，平面PBC，，∴平面PBC，
∵平面PBC，∴．
由题意，平面ABC，平面ABC，∴，
又平面PAO，，∴平面PAO，
平面PAO，∴，
同理可证，，∴点O是的垂心．
故选：C
13．C
【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.
【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
由四边形ABCD为矩形得，
因为，
所以平面PAD．
又平面PCD，
所以平面平面PAD．
故选：C
14．C
【分析】根据线面垂直的判定定理逐项分析即得.
【详解】过旗杆底部在地面上画一条直线，则旗杆与该直线不一定垂直，所以旗杆与水平地面不一定垂直，故①错误；
过旗杆底部在地面上画两条直线，只有当这两条直线相交，且旗杆与这两条直线都垂直时，才能使旗杆与水平地面垂直，故②错误；
在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．
当旗杆与水平地面垂直时，斜线相等时射影相等；能在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等，则旗杆与水平地面垂直，因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故③正确．
故选：C．
15．D
【分析】依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项ABC；按照点Q为线段的中点和点Q不为线段的中点两种情况利用反证法证明选项D判断正确.
【详解】连接，交于H
在三棱柱中，侧棱底面，，
则四边形为正方形，则
又，即，
又，，面，面
则面，则
又，，面，面
则面，
选项A：当点Q为线段的中点时，又 D是棱的中点，则
若平面，则平面
又面，则面平面，这与矛盾，
故假设不成立，即当点Q为线段的中点时，平面不正确；
选项B：当点Q为线段的三等分点时，又 D是棱的中点，
则不成立，即与为相交直线，
若平面，则
又，与为相交直线，面，面
则面，又面，则面面
这与面面矛盾，
故假设不成立，即当点Q为线段的点三等分时，平面，不正确；
选项C：在线段的延长线上一点Q，又 D是棱的中点，
则不成立，即与为相交直线，
若平面，则
又，与为相交直线，面，面
则面，又面，则面面
这与面面矛盾，
故假设不成立，即在线段的延长线上，存在一点Q，使得平面不正确；
选项D：由选项A可知，点Q为线段的中点时，平面不成立；
假设点Q在线段上，且不是中点，又 D是棱的中点，
则不成立，即与为相交直线，
若平面，则
又，与为相交直线，面，面
则面，又面，则面面
这与面面矛盾，
故假设不成立，即点Q在线段上，且不是中点时，平面不正确；
故不存在DQ与平面垂直.判断正确.
故选：D
16．
【分析】结合长方体的结构特点，可知与平面所成的角为，由及勾股定理可得，进而可求出得出结果.
【详解】长方体中，因为，，
所以，，，
因为底面，平面，所以，
所以与平面所成的角为，
，
由条件可得，解得，
因此，
因为，
所以，与平面所成的角为，
故答案为：
17．
【分析】将二面角平摊开来，在平面内根据两点之间线段最短求解.
【详解】将二面角平摊开来，即为如下图形，
当在一条直线上时有最小值，
最小值为对角线
因为,所以,
故答案为: .
18．
【分析】由正三棱柱结构特征及线面角定义确定其平面角，进而求其正弦值.
【详解】若为中点，连接，
由正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，故，且面，
面，则，，面，
所以面，故为与侧面所成角平面角，
所以.
故答案为：
19．或
【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理分类讨论进行求解即可.
【详解】当二面角为钝角时，如下图所示：
设，连接，
因为，所以，而平面，
所以平面，而平面，所以，
所以是二面角的平面角的补角，
在直角三角形中，，
所以二面角的大小为，
同理当二面角为锐角时，二面角的大小为，
故答案为：或
20．
【分析】过作于，连接，面，得出OP到直线BD的高，然后计算即可.
【详解】
过作于，连接，
直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面
，为所求的距离，
在中， ,
在中，,
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得证；
（2）作出辅助线，找到∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.
【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，
因为，所以⊥AD，
因为PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
因为CFAB，所以CF⊥平面PAD，
因为CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；
（2）连结，过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，
如图，
平面，AD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AC，
因为，，
由勾股定理得：，则∠ADB=30°，
同理可得，∠CDB=30°，
故∠ADC=60°，所以三角形ACD为等边三角形，，
故，，，
在△BCP中，由余弦定理得：，
则，，
在△CDP中，由余弦定理得：，
在△CDE中，，
因为，所以DE⊥PC，
所以∠BED为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：.
22．3
【分析】由分析知截面SAB与底面成60°二面角，即，设表示出，，由截面SAB面积为求得，再利用等体积法求解底面圆心到平面SAB的距离．
【详解】如图，底面直径，设交于点，所以，连接，
因为，为的中点，所以，
所以是底面与平面所成的角，即，
设则，又因为A、B分底面圆周为1∶2两段弧，
所以，则，，
所以截面SAB面积为，解得：，
设底面圆心到平面SAB的距离为，
由得，，
,
所以，所以底面圆心到平面SAB的距离为.