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高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就复习练习题
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行3 万有引力理论的成就复习练习题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，实验题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“科学真是迷人”。天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．在宇宙天体运行中有这样一些卫星，卫星自转周期和绕中央天体公转周期相等，称为同步自转卫星。其形成原因是：中央天体对环绕行天体前后引力作用不同，形成力矩，逐步改变自转周期与绕中央天体公转周期的差距，使原本不相等的自转周期与公转周期趋于相等，达到锁定状态。目前月球就是一颗同步自转卫星，在太阳系中已经有多颗卫星处于锁定状态，形成同步自转卫星，当然这些都是宇宙天体漫长形成，不是几年所能完成。根据以上材料和自己分析，选出正确选项（ ）
A．站在地球上可以看到月球前后面的地理风貌
B．只要时间足够长，地球绕太阳公转最终也会同步自转
C．质量相等的双星不会达到同步自转
D．地球自转周期与月球公转周期相等
3．假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（ ）
A．B．C．D．
4．宇航员在某星球将一物体竖直向上抛出，其运动的图像是如图所示的抛物线，已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度取，设地球质量为M，则该星球的质量为（ ）
A．B．C．D．
5．2022年9月，一个国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的类地新行星，其中一颗可能适合生命生存，被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍，绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天，公转轨道半径约为日、地之间距离的，则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的（ ）
A．B．C．D．
6．已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．月球第一宇宙速度为B．月球密度为
C．月球质量为D．月球表面重力加速度为
7．开普勒行星的直径是地球直径的2.4倍，平均气温为，是可能存在外星生命的星球之一。已知地球的半径为R，表面的重力加速度大小为g，距离开普勒行星表面h高处的重力加速度大小也为g，地球及开普勒行星均可看作均质球体，忽略地球及开普勒行星的自转，开普勒行星表面的重力加速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
8．北京时间2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭将梦天实验舱送上太空，后与空间站天和核心舱顺利对接。假设运载火箭在某段时间内做无动力运动，可近似为如图所示的情景，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，椭圆轨道Ⅱ为运载火箭无动力运行轨道，B点为椭圆轨道Ⅱ的近地点，椭圆轨道Ⅱ与圆形轨道Ⅰ相切于A点，设圆形轨道Ⅰ的半径为r，地球的自转周期为T，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，不考虑大气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运载火箭在轨道Ⅱ上由B点飞到A点机械能逐渐增大
B．空间站在轨道Ⅰ上运行时速度保持不变
C．空间站在轨道Ⅰ上运行的周期与运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为
D．根据题中信息，可求出地球的质量
9．据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，它绕恒星橙矮星运行，被命名为“开普勒438b”。假设该行星绕橙矮星的运动与地球绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳质量的q倍。则该行星与地球的（ ）
A．轨道半径之比为
B．轨道半径之比为
C．线速度大小之比为
D．线速度大小之比为
10．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心、半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，引力常量为G，则（ ）
A．X星球的质量为
B．X星球表面的重力加速度为
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为
11．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
12．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高0.5R处的重力加速度，地球表面下方深0.5R处的重力加速度，则为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．有关重力和万有引力的下列说法中正确的是（ ）
A．重力就是地球对物体的万有引力
B．若考虑地球自转的影响，同一物体在地球两极受到的重力最小在赤道受到的重力最大
C．静止在地球赤道上的物体，所受重力与支持力为一对平衡力
D．静止在北京地面上的物体，所受万有引力和地面对物体作用力的合力充当物体随地球自转的向心力
14．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，若AOA．星球A的质量大于B的质量
B．星球A的向心力大于B的向心力
C．星球A的线速度小于B的线速度
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
15．两颗互不影响的行星、，各有一颗在表面附近的卫星、绕其做匀速圆周运动。两颗行星周围卫星的线速度的二次方（）与轨道半径r的倒数（）的关系如图所示，已知、的线速度大小均为，则（ ）
A．的质量比的小B．的质量比的大
C．的平均密度比的小D．表面的重力加速度比的大
三、填空题
16．三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta=6 h、Tb=24 h、Tc= 12 h，a、b每经过___________ h相遇一次，b、c每经过___________ h相遇一次。
17．探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v，绕行一周所用时间为T，已知引力常量为G，则：
（1）火星表面的重力加速度为______；（2）火星的质量为______。
18．已知一颗人造卫星在某行星表面绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，那么该卫星的环绕周期T＝________，设万有引力常量为G，该行星的质量为M＝________。
19．一质量为的苹果静止在水平地面上时对地面的压力为，则地球表面的重力加速度可以表示为__________；月球绕地球的运动可以看成匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为，月球和地球间的距离为，则月球的向心加速度可表示为__________；地球可以看成质量均匀、半径为的均匀球体，如果我们能验证__________，那我们就证明了地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
四、实验题
20．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材：
A．精确秒表一个 B．已知质量为m的物体一个
C．弹簧测力计一个 D．天平一台附砝码
已知宇航员在绕行时测量了绕行一圈的周期T和着陆后测量了物体重力F，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星质量M。
（1）绕行时和着陆时都不需要的测量器材为___________用序号ABCD表示。
（2）其中___________ ，质量为___________。用序号ABCD表示
A． B． C． D．
五、解答题
21．若已知火星半径为R，2021年2月，我国发射的火星探测器“天问一号”在距火星表面高为R的圆轨道上飞行，周期为T，引力常量为G，不考虑火星的自转，求：
（1）火星表面的重力加速度；
（2）火星的密度；
（3）火星表面的环绕速度。
22．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球自转的影响)
（1）a、b两颗卫星的周期；
（2）a、b两颗卫星的线速度之比；
（3）若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
23．如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，由于存在空腔，该地区重力加速度的大小和方向会与正常值有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”，记作δ，已知引力常量为G，地球的平均密度为ρ，球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点的重力加速度反常δ。
24．如图所示，假定地球为密度均匀分布的球体，忽略地球的自转，已知地球的半径为R。理论和实验证明：质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求：
（1）地面上方高h的山顶A处和地面处重力加速度大小之比；
（2）地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比；
（3）根据上述两问的结论，定性做出重力加速度g随离地心的距离r而变化的函数曲线（下图中R为地球半径，为地球表面处的重力加速度）。
参考答案：
1．A
【详解】AB．在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有
可得月球的质量为
故A正确，B错误；
CD．月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得
其中r表示轨道半径，而R表示月球半径，可得
所以利用月球绕地球运转的周期T能求出地球的质量，而不能求出月球的质量，故C、D错误。
故选A。
2．B
【详解】A．月球自转周期和公转周期相同，故站在地球上只可以看到月球前面的地理风貌，A错误；
B．只要时间足够长，地球绕太阳公转最终也会同步自转，B正确；
C．由同步自转形成的原因可知，质量相等的双星可以达到同步自转，C错误；
D．地球自转周期与月球公转周期不相等，D错误。
故选B。
3．D
【详解】该星球表面“赤道”上的物体相对地心静止，有
行星自转角速度为ω时，有
行星的平均密度
解得
故选D。
4．B
【详解】由图可知，5s时上升的最大位移为50m，可得
解得
在地球表面满足
在某星球表面满足
联立解得
故选B。
5．A
【详解】由万有引力提供向心力得
可得
故
故选A。
6．D
【详解】C．月球对飞船的万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，则有
解得月球质量
C错误；
A．对绕月球表面飞行的卫星
解得月球第一宇宙速度
A错误；
D．对月球表面物体
解得月球表面重力加速度
D正确；
B．月球密度
B错误。
故选D。
7．D
【详解】设地球质量为，地球上一物体质量为，有
设开普勒行星质量为,设一物体质量为，开普勒行星表面重力加速度为，有
解得
故选D。
8．C
【详解】A. 运载火箭在轨道Ⅱ上由B点飞到A点无动力运行，机械能不变，A错误；
B. 空间站在轨道Ⅰ上运行时速度大小保持不变，速度方向变化，B错误；
C. 设空间站在轨道Ⅰ上运行的周期为T1，运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T2，根据开普勒第三定律得
解得
空间站在轨道Ⅰ上运行的周期与运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为，C正确；
D. 根据
解得，地球的质量为
D错误。
故选C。
9．A
【详解】AB．行星公转的向心力由万有引力提供，根据
得
故该行星与地球的轨道半径之比为
故A正确。故B错误；
CD．根据
有
故CD错误。
故选A。
10．D
【详解】A．探测飞船在半径为r1的圆轨道上做圆周运动时，有
解得
故A错误；
B．飞船所在处的重力加速度为
X星球表面的重力加速度小于此值，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，有
解得
所以
故C错误；
D．根据开普勒第三定律有
解得
故D正确。
故选D。
11．A
【详解】A．设组合体质量为m，地球质量为M，组合体轨道处的重力大小等于万有引力大小
黄金代换式为
联立以上解得
故A正确；
B．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
解得
故B错误；
C．根据黄金代换式和密度公式
解得
故C错误；
D．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
等式两边组合体的质量m可以约掉，所以轨道半径与m无关。故D错误。
故选A。
12．D
【详解】设地球的质量为M，密度为，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，根据
在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得
又
联立，可得
故ABC错误；D正确。
故选D。
13．CD
【详解】A．若考虑地球自转的影响，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，故A错误；
B．若考虑地球自转的影响，同一物体在地球两极受到的重力最大，在赤道受到的重力最小，故B错误；
C．静止在地球赤道上的物体，所受重力与支持力为一对平衡力，故C正确；
D．静止在北京地面上的物体，所受万有引力和地面对物体作用力的合力充当物体随地球自转的向心力，故D正确。
故选CD。
14．ACD
【详解】A．设A、B的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，双星间的距离为L，角速度ω相同，满足
整理得
星球A的轨道半径较小，故质量较大，故A正确；
B．向心力为两星球间的万有引力，故A的向心力一定等于B的向心力，故B错误；
C．根据线速度与角速度的关系
可知，A的线速度一定小于B的线速度，故C正确；
D．由
结合A的分析可得
又
进一步可求得
由此可判断，双星的总质量一定，双星之间的距离L越大，其转动周期T越大，故D正确。
故选ACD。
15．BC
【详解】A．根据题中条件无法比较、的大小，故A错误；
B．由牛顿第二定律
故图像的斜率为GM，则的质量比的大，故B正确；
C．由于、的近表面卫星的线速度大小均为，所以它们的第一宇宙速度也均为
平均密度
由图知，的半径比的大，则的平均密度比的小，故C正确；
D．根据
表面的重力加速度
表面的重力加速度比的小，故D错误。
故选BC。
16． 8 8
【详解】[1]a、b转动方向与地球自转方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为，则有
解得
[2]b、c转动方向相反，在相遇一次的过程中，b、c共转一圈，设相遇一次的时间为，则有
解得
17．
【详解】(1)[1]飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据
得
根据万有引力提供向心力，有
得
根据重力等于万有引力得
解得
(2)[2]根据密度公式得火星的密度
则
18． 2πt
【详解】[1]在时间t内，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，则该卫星的环绕周期
T = 2πt
[2] 经过时间t，卫星运动的路程为s，即卫星的线速度
卫星运动的轨道半径
由牛顿第二定律，可得
解得该行星的质量为
19．
【详解】[1]一质量为的苹果静止在水平地面上时对地面的压力为，则地面对苹果的支持力等于F1，由平衡可知
F1=m1g
则
[2]月球的向心加速度可表示为
[3]因为
若能验证
即
那我们就证明了地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
20． D
【详解】(1)[1] 因而需要用计时表测量周期T，用弹簧秤测量物体的重力F，已知质量为m的物体一个，不需要天平；故选D
(2)[2]对于在轨道上的飞船，万有引力等于向心力和重力
故选A。
[3]由题意可知
把R的值代入得
故选D。
21．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）火星探测器距火星表面高为R的圆轨道上飞行，做匀速圆周运动，故
在火星表面，重力等于万有引力，故
联立解得
（2）由
，
可知
火星的密度
（3）火星表面的环绕速度由
可得
22．（1）；；（2）;（3）或。
【详解】（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对地球表面上质量为m的物体，有
对a卫星，有
解得
.
对b卫星，有
解得
.
（2）卫星做匀速圆周运动，对a卫星，有
解得
对b卫星，有
解得
所以
（3）设经过时间t，a、b两颗卫星第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，则
解得
若两卫星反向运转，则
解得
23．
【详解】重力加速度正常值g是实际重力加速度和与空腔等大的岩石球引起的重力加速度的合成。就是与g的偏离，因此在竖直方向的投影就是，如图所示
由重力与引力的关系式可得，重力加速度可表示为
设g1与竖直方向夹角为，可得
空腔所引起的Q点的重力加速度反常为
24．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）忽略地球自转，万有引力等于重力
得
（2）B以外的球壳对B处物体的万有引力为零，设地球总质量为M，B以内部分地球的总质量为，均匀球体质量
因此
重力加速度
得
（3）根据以上分析，当离地心的距离r小于等于地球半径时，有
当离地心的距离r大于地球半径时，有
如图所示
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“科学真是迷人”。天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．在宇宙天体运行中有这样一些卫星，卫星自转周期和绕中央天体公转周期相等，称为同步自转卫星。其形成原因是：中央天体对环绕行天体前后引力作用不同，形成力矩，逐步改变自转周期与绕中央天体公转周期的差距，使原本不相等的自转周期与公转周期趋于相等，达到锁定状态。目前月球就是一颗同步自转卫星，在太阳系中已经有多颗卫星处于锁定状态，形成同步自转卫星，当然这些都是宇宙天体漫长形成，不是几年所能完成。根据以上材料和自己分析，选出正确选项（ ）
A．站在地球上可以看到月球前后面的地理风貌
B．只要时间足够长，地球绕太阳公转最终也会同步自转
C．质量相等的双星不会达到同步自转
D．地球自转周期与月球公转周期相等
3．假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（ ）
A．B．C．D．
4．宇航员在某星球将一物体竖直向上抛出，其运动的图像是如图所示的抛物线，已知该星球的半径是地球半径的2倍，地球表面重力加速度取，设地球质量为M，则该星球的质量为（ ）
A．B．C．D．
5．2022年9月，一个国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的类地新行星，其中一颗可能适合生命生存，被称为“超级地球”。“超级地球”的半径约为地球半径的1.5倍，绕一中心天体运动的公转周期约为8.5天，公转轨道半径约为日、地之间距离的，则该行星所围绕的中心天体的质量约为太阳质量的（ ）
A．B．C．D．
6．已知月球半径为R，飞船在距月球表面高度为R的圆轨道上飞行，周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．月球第一宇宙速度为B．月球密度为
C．月球质量为D．月球表面重力加速度为
7．开普勒行星的直径是地球直径的2.4倍，平均气温为，是可能存在外星生命的星球之一。已知地球的半径为R，表面的重力加速度大小为g，距离开普勒行星表面h高处的重力加速度大小也为g，地球及开普勒行星均可看作均质球体，忽略地球及开普勒行星的自转，开普勒行星表面的重力加速度大小为（ ）
A．B．
C．D．
8．北京时间2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭将梦天实验舱送上太空，后与空间站天和核心舱顺利对接。假设运载火箭在某段时间内做无动力运动，可近似为如图所示的情景，圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，椭圆轨道Ⅱ为运载火箭无动力运行轨道，B点为椭圆轨道Ⅱ的近地点，椭圆轨道Ⅱ与圆形轨道Ⅰ相切于A点，设圆形轨道Ⅰ的半径为r，地球的自转周期为T，椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a，不考虑大气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运载火箭在轨道Ⅱ上由B点飞到A点机械能逐渐增大
B．空间站在轨道Ⅰ上运行时速度保持不变
C．空间站在轨道Ⅰ上运行的周期与运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为
D．根据题中信息，可求出地球的质量
9．据英国《卫报》网站2015年1月6日报道，在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，它绕恒星橙矮星运行，被命名为“开普勒438b”。假设该行星绕橙矮星的运动与地球绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，其运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳质量的q倍。则该行星与地球的（ ）
A．轨道半径之比为
B．轨道半径之比为
C．线速度大小之比为
D．线速度大小之比为
10．为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心、半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，引力常量为G，则（ ）
A．X星球的质量为
B．X星球表面的重力加速度为
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为
D．登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为
11．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，目前已与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h（约为400 km），地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．组合体轨道处的重力加速度大小为
B．组合体在轨道上运行的线速度大小为
C．地球的平均密度可表示为
D．组合体加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
12．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零。若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转。设地球表面上方高0.5R处的重力加速度，地球表面下方深0.5R处的重力加速度，则为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．有关重力和万有引力的下列说法中正确的是（ ）
A．重力就是地球对物体的万有引力
B．若考虑地球自转的影响，同一物体在地球两极受到的重力最小在赤道受到的重力最大
C．静止在地球赤道上的物体，所受重力与支持力为一对平衡力
D．静止在北京地面上的物体，所受万有引力和地面对物体作用力的合力充当物体随地球自转的向心力
14．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示，若AO
B．星球A的向心力大于B的向心力
C．星球A的线速度小于B的线速度
D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
15．两颗互不影响的行星、，各有一颗在表面附近的卫星、绕其做匀速圆周运动。两颗行星周围卫星的线速度的二次方（）与轨道半径r的倒数（）的关系如图所示，已知、的线速度大小均为，则（ ）
A．的质量比的小B．的质量比的大
C．的平均密度比的小D．表面的重力加速度比的大
三、填空题
16．三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta=6 h、Tb=24 h、Tc= 12 h，a、b每经过___________ h相遇一次，b、c每经过___________ h相遇一次。
17．探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设人类某次利用飞船探测火星的过程中，飞船只在万有引力作用下贴着火星表面绕火星做圆周运动时，测得其绕行速度为v，绕行一周所用时间为T，已知引力常量为G，则：
（1）火星表面的重力加速度为______；（2）火星的质量为______。
18．已知一颗人造卫星在某行星表面绕行星做匀速圆周运动，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，那么该卫星的环绕周期T＝________，设万有引力常量为G，该行星的质量为M＝________。
19．一质量为的苹果静止在水平地面上时对地面的压力为，则地球表面的重力加速度可以表示为__________；月球绕地球的运动可以看成匀速圆周运动，月球绕地球运动的周期为，月球和地球间的距离为，则月球的向心加速度可表示为__________；地球可以看成质量均匀、半径为的均匀球体，如果我们能验证__________，那我们就证明了地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
四、实验题
20．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材：
A．精确秒表一个 B．已知质量为m的物体一个
C．弹簧测力计一个 D．天平一台附砝码
已知宇航员在绕行时测量了绕行一圈的周期T和着陆后测量了物体重力F，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星质量M。
（1）绕行时和着陆时都不需要的测量器材为___________用序号ABCD表示。
（2）其中___________ ，质量为___________。用序号ABCD表示
A． B． C． D．
五、解答题
21．若已知火星半径为R，2021年2月，我国发射的火星探测器“天问一号”在距火星表面高为R的圆轨道上飞行，周期为T，引力常量为G，不考虑火星的自转，求：
（1）火星表面的重力加速度；
（2）火星的密度；
（3）火星表面的环绕速度。
22．a、b两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求：(忽略地球自转的影响)
（1）a、b两颗卫星的周期；
（2）a、b两颗卫星的线速度之比；
（3）若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？
23．如图所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向，由于存在空腔，该地区重力加速度的大小和方向会与正常值有微小偏离，重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”，记作δ，已知引力常量为G，地球的平均密度为ρ，球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点的重力加速度反常δ。
24．如图所示，假定地球为密度均匀分布的球体，忽略地球的自转，已知地球的半径为R。理论和实验证明：质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零。求：
（1）地面上方高h的山顶A处和地面处重力加速度大小之比；
（2）地面下方深h的矿井底B处和地面处重力加速度大小之比；
（3）根据上述两问的结论，定性做出重力加速度g随离地心的距离r而变化的函数曲线（下图中R为地球半径，为地球表面处的重力加速度）。
参考答案：
1．A
【详解】AB．在月球表面，物体的重力与万有引力相等，则有
可得月球的质量为
故A正确，B错误；
CD．月球绕地球做圆周运动时，根据万有引力提供向心力得
其中r表示轨道半径，而R表示月球半径，可得
所以利用月球绕地球运转的周期T能求出地球的质量，而不能求出月球的质量，故C、D错误。
故选A。
2．B
【详解】A．月球自转周期和公转周期相同，故站在地球上只可以看到月球前面的地理风貌，A错误；
B．只要时间足够长，地球绕太阳公转最终也会同步自转，B正确；
C．由同步自转形成的原因可知，质量相等的双星可以达到同步自转，C错误；
D．地球自转周期与月球公转周期不相等，D错误。
故选B。
3．D
【详解】该星球表面“赤道”上的物体相对地心静止，有
行星自转角速度为ω时，有
行星的平均密度
解得
故选D。
4．B
【详解】由图可知，5s时上升的最大位移为50m，可得
解得
在地球表面满足
在某星球表面满足
联立解得
故选B。
5．A
【详解】由万有引力提供向心力得
可得
故
故选A。
6．D
【详解】C．月球对飞船的万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，则有
解得月球质量
C错误；
A．对绕月球表面飞行的卫星
解得月球第一宇宙速度
A错误；
D．对月球表面物体
解得月球表面重力加速度
D正确；
B．月球密度
B错误。
故选D。
7．D
【详解】设地球质量为，地球上一物体质量为，有
设开普勒行星质量为,设一物体质量为，开普勒行星表面重力加速度为，有
解得
故选D。
8．C
【详解】A. 运载火箭在轨道Ⅱ上由B点飞到A点无动力运行，机械能不变，A错误；
B. 空间站在轨道Ⅰ上运行时速度大小保持不变，速度方向变化，B错误；
C. 设空间站在轨道Ⅰ上运行的周期为T1，运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期为T2，根据开普勒第三定律得
解得
空间站在轨道Ⅰ上运行的周期与运载火箭在椭圆轨道Ⅱ上运行的周期之比为，C正确；
D. 根据
解得，地球的质量为
D错误。
故选C。
9．A
【详解】AB．行星公转的向心力由万有引力提供，根据
得
故该行星与地球的轨道半径之比为
故A正确。故B错误；
CD．根据
有
故CD错误。
故选A。
10．D
【详解】A．探测飞船在半径为r1的圆轨道上做圆周运动时，有
解得
故A错误；
B．飞船所在处的重力加速度为
X星球表面的重力加速度小于此值，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力，有
解得
所以
故C错误；
D．根据开普勒第三定律有
解得
故D正确。
故选D。
11．A
【详解】A．设组合体质量为m，地球质量为M，组合体轨道处的重力大小等于万有引力大小
黄金代换式为
联立以上解得
故A正确；
B．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
解得
故B错误；
C．根据黄金代换式和密度公式
解得
故C错误；
D．组合体在轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则
等式两边组合体的质量m可以约掉，所以轨道半径与m无关。故D错误。
故选A。
12．D
【详解】设地球的质量为M，密度为，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，根据
在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得
又
联立，可得
故ABC错误；D正确。
故选D。
13．CD
【详解】A．若考虑地球自转的影响，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，故A错误；
B．若考虑地球自转的影响，同一物体在地球两极受到的重力最大，在赤道受到的重力最小，故B错误；
C．静止在地球赤道上的物体，所受重力与支持力为一对平衡力，故C正确；
D．静止在北京地面上的物体，所受万有引力和地面对物体作用力的合力充当物体随地球自转的向心力，故D正确。
故选CD。
14．ACD
【详解】A．设A、B的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，双星间的距离为L，角速度ω相同，满足
整理得
星球A的轨道半径较小，故质量较大，故A正确；
B．向心力为两星球间的万有引力，故A的向心力一定等于B的向心力，故B错误；
C．根据线速度与角速度的关系
可知，A的线速度一定小于B的线速度，故C正确；
D．由
结合A的分析可得
又
进一步可求得
由此可判断，双星的总质量一定，双星之间的距离L越大，其转动周期T越大，故D正确。
故选ACD。
15．BC
【详解】A．根据题中条件无法比较、的大小，故A错误；
B．由牛顿第二定律
故图像的斜率为GM，则的质量比的大，故B正确；
C．由于、的近表面卫星的线速度大小均为，所以它们的第一宇宙速度也均为
平均密度
由图知，的半径比的大，则的平均密度比的小，故C正确；
D．根据
表面的重力加速度
表面的重力加速度比的小，故D错误。
故选BC。
16． 8 8
【详解】[1]a、b转动方向与地球自转方向相同，在相遇一次的过程中，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为，则有
解得
[2]b、c转动方向相反，在相遇一次的过程中，b、c共转一圈，设相遇一次的时间为，则有
解得
17．
【详解】(1)[1]飞船在火星表面做匀速圆周运动，轨道半径等于火星的半径，根据
得
根据万有引力提供向心力，有
得
根据重力等于万有引力得
解得
(2)[2]根据密度公式得火星的密度
则
18． 2πt
【详解】[1]在时间t内，卫星与行星的中心连线扫过的角度是1弧度，则该卫星的环绕周期
T = 2πt
[2] 经过时间t，卫星运动的路程为s，即卫星的线速度
卫星运动的轨道半径
由牛顿第二定律，可得
解得该行星的质量为
19．
【详解】[1]一质量为的苹果静止在水平地面上时对地面的压力为，则地面对苹果的支持力等于F1，由平衡可知
F1=m1g
则
[2]月球的向心加速度可表示为
[3]因为
若能验证
即
那我们就证明了地球与月球间的吸引力与地球对树上苹果的吸引力是同一种性质的力。
20． D
【详解】(1)[1] 因而需要用计时表测量周期T，用弹簧秤测量物体的重力F，已知质量为m的物体一个，不需要天平；故选D
(2)[2]对于在轨道上的飞船，万有引力等于向心力和重力
故选A。
[3]由题意可知
把R的值代入得
故选D。
21．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）火星探测器距火星表面高为R的圆轨道上飞行，做匀速圆周运动，故
在火星表面，重力等于万有引力，故
联立解得
（2）由
，
可知
火星的密度
（3）火星表面的环绕速度由
可得
22．（1）；；（2）;（3）或。
【详解】（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，对地球表面上质量为m的物体，有
对a卫星，有
解得
.
对b卫星，有
解得
.
（2）卫星做匀速圆周运动，对a卫星，有
解得
对b卫星，有
解得
所以
（3）设经过时间t，a、b两颗卫星第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，则
解得
若两卫星反向运转，则
解得
23．
【详解】重力加速度正常值g是实际重力加速度和与空腔等大的岩石球引起的重力加速度的合成。就是与g的偏离，因此在竖直方向的投影就是，如图所示
由重力与引力的关系式可得，重力加速度可表示为
设g1与竖直方向夹角为，可得
空腔所引起的Q点的重力加速度反常为
24．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）忽略地球自转，万有引力等于重力
得
（2）B以外的球壳对B处物体的万有引力为零，设地球总质量为M，B以内部分地球的总质量为，均匀球体质量
因此
重力加速度
得
（3）根据以上分析，当离地心的距离r小于等于地球半径时，有
当离地心的距离r大于地球半径时，有
如图所示
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