安徽省池州市贵池区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省池州市贵池区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．春节档期的热门电影《长津湖之水门桥》上映34天，就突破了39.35亿的票房，39.35亿用科学记数法表示为（ ）
A．39.35×108B．3.935×109C．39.35×109D．3.935×1010
3．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+4x经变换后得到抛物线y=x2-4x，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移4个单位B．向右平移4个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位
6．如图，在平行四边形中，E是上的点，，连接交于点F，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，则的长是（ ）

A．B．C．D．
8．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，BE是的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为( )
A．8B．6C．4D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是 ．
13．如图，反比例函数与一次函数y=x-2的图象交于点P (a，b)，则的值为 ．
14．如图，在纸片中，，，，点D，E分别在、边上，连接，将沿翻折，使点B落在点F的位置，且四边形是菱形．
（1）若点F在上，则菱形的边长等于 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
三、解答题
15．计算：
16．如图，已知抛物线经过点和点两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标．
17．观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，
第④个等式：，
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第ⓝ个等式（用含n的式子表示），并证明．
18．如图，网格中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立直角坐标系后，点B的坐标为．

(1)把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标；
(2)把以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，请在网格内画出．
19．如图，E为上一点，，连接．
(1)求证：；
(2)若平分，，，求的长．
20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：）
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式．
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
(3)直接写出当时，自变量x的取值范围．
22．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/，每日销售量（）与销售单价（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/．设公司销售板栗的日获利为（元）．
(1)请求出日销售量y与销售单价之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
(3)当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
23．如图，是正方形的对角线，平分交于点E，点M在上，且，连接并延长，分别交，于点G，F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．
（元/）
7
8
9
（）
4300
4200
4100
参考答案：
1．C
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：39.35亿=3935000000=
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．B
【分析】由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由可得：，故A不符合题意，
由可得：，故B符合题意；
由可得：故C不符合题意，
由可得：，故D不符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行变形是解题的关键．
4．D
【详解】∵，
∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称，
故，
故选：D．
5．B
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：y=x2+4x= x2+4x+4-4=(x+2)2-4，顶点坐标是（-2，-4）．
y=x2-4x= x2-4x +4-4=（x-2）2-4，顶点坐标是（2，-4）．
所以将抛物线y=x2+4x向右平移4个单位长度得到抛物线y=x2-4x，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．B
【分析】根据平行四边形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质得出，再由三角形的高相等即可得出两个三角形的面积比．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】作，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
在中，，
故选：．

【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握含的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长．
【详解】解： P为的黄金分割点，，
，
．
故选D．
9．B
【分析】先利用三角形的中线的定义得到，过点E作EG∥DC交AD于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵BE是的中线，
∴，
过点E作交AD于G，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键．
10．C
【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，设DF=x，得到AG=，GD=PG=，利用三角形面积公式计算得到S△APF=，根据函数性质即可得到答案．
【详解】∵AP=PF，
∴点P在AF的垂直平分线上，
过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，
设DF=x，则AG=，
∴GD=PG=，
∴S△APF=≤4，
所以△APF面积最大值为4；
故选：C．
．
【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线并设定未知数解决问题是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程决定抛物线与轴的交点个数，由于只有一个公共点，因此．
【详解】由于二次函数的图像与轴只有一个公共点．
即
解得：
将代入二次函数二次项系数中，得：
符合题意．
故答案为：．
13．；
【分析】将P (a，b)代入反比例函数和一次函数的解析式求得，代入代数式即可求解．
【详解】解：，
将将P (a，b)分别代入和y=x-2，得
，
，
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比函数的综合题，考查了点与函数的关系，将点的坐标代入函数解析式及整体代入是解题的关键．
14．
【分析】（1）设，根据，列出方程求出必的值，进而可以解决问题；
（2）连接交于点O，设与交于点G，根据菱形的性质可得点F在的平分线上运动，从而得到当时，再证明，可得，再证明，，，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）点F在上，
，
是菱形，
，，，
，，
设，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形的边长等于；
故答案为：
（2）如图2，连接交于点O，设与交于点G，
四边形是菱形，
平分，
点F在的平分线上运动，
当时，的长最小．
在菱形中
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折变换，萎形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，准确得及点F在角的平分线上运动是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】
16．(1)y=x2-2x-3；（1，-4）；
(2)（-2，5）或（4，5）
【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（２）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3=，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①当y=5时，x2-2x-3=5，解得：x1=-2，x2=4，
此时P点坐标为（-2，5）或（4，5）；
②当y=-5时，x2-2x-3=-5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（-2，5）或（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握有关知识点是解题的关键．
17．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据前4个等式的计算规律，写出第⑤个等式即可；
（2）根据前5个等式的计算规律猜想写出第n个等式，再运用平方差公式计算证明．
【详解】（1）第⑤个等式为：；
（2）第n个等式（用含n的式子表示）为：，
证明：左边，
右边，
∵左边=右边，
∴．
【点睛】本题主要考查了数字规律的探究，熟练掌握平方差公式的应用是解答本题的关键．
18．(1)作图见解析，点的坐标为：
(2)见解析
【分析】本题考查了写出点的坐标，平移作图，画位似图形；
（1）根据平移的性质画出，根据坐标系写出点的坐标；
（2）根据位似的性质，使放大前后对应边长的比为，画出，即可求解．
【详解】（1）如图所示：即为所求，点的坐标为：

（2）如图所示：即为所求

19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质：
（1）根据三角形外角的性质可得，即可求证；
（2）根据角平分线的定义可得，由（1）知，，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
又，
．
（2）解：平分，
，
由（1）知，，
．
又，
，
，
即，
．
20．教学楼BC高约13米
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长．
【详解】过点D作于点E，过点C作于点F．
∵，
∴四边形是矩形．
由题意得，米，米，．
在中，，
∴．
∴米，
∵米，
∴米，
∵四边形是矩形，
∴米．
在中，，
∴．
∴米，
∴（米）．
答：教学楼高约13米．
21．(1)，
(2)1.5
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题．
（1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
（2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
（3）根据图象即可求出x的取值范围．
【详解】（1）将代入，
∴，
∴反比例函数的解析式为： ，
将代入，
∴，
∴，
将和代入，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）令代入，
∴，
∴，
（3）由图象可知：当y1＜y2时，，或
22．(1)；
(2)销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
(3)当时，日获利w不低于42000元
【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
（2）解：由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∵6≤x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值为48400元
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）解：当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质可得，．再由，平分，可得，可证明，即可；
（2）证明，即可；
（3）先证明．设正方形的边长为a，则．由勾股定理可得，从而得到，即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
∴
，平分，
，
，
在中，，
，
在与中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，，
，
，即，
，
；
（3）解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
设正方形的边长为a，则，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，求角的正切值等知识．利用正方形的性质及等腰三角形的性质证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．