安徽省马鞍山市和县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省马鞍山市和县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列标志图中，是中心对称图形的是
A．B．C．D．
2．下列事件，是随机事件的是（ ）
A．一个三角形的内角和为181度B．掷一次骰子，向上一面点数大于0
C．3人分成两组一定有2人分在一组D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．最大值是2
5．已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
7．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是，将绕点A逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ．
12．如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）.
13．若关于的方程的两个根分别是和（，，均为常数，），则抛物线与轴的交点坐标是 .
14．已知抛物线，其中为实数．
（1）若抛物线经过点，则 ；
（2）该抛物线经过点，已知点，，若抛物线与线段有交点，则的取值范围为 ．
三、解答题
15．按要求解方程.
（1）x2+3x+1=0(公式法)
（2）(x-3)2+4x(x-3)=0(因式分解法).
16．在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)写出点、点的坐标，（______，______），（______，______）；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的；
(3)求的面积．
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)若是方程的一个根，求实数m的值；
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
19．国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有、、、的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如下图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．

(1)汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为_______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完、两个问题的概率．
20．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，上的点，以为直径的半圆O经过点E，F，且平分．

(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求的长．
21．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)直接写出该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
22．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰和等腰即为“相似等腰组”．
(1)如图2，将上述“相似等腰组”中的绕看点逆时针旋转一定角度，判断和是否全等；
(2)如图3，等腰和等腰是“相似等腰组”，且，和相交于点，判断和的位置及大小关系．
23．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．
(1)求出二次函数的解析式；
(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
(3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【详解】解析：
A、不是中心对称图形．故选项错误；
B、是中心对称图形．故选项正确．
C、不是中心对称图形．故选项错误；
D、不是中心对称图形．故选项错误；
2．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A、一个三角形的内角和为181度，是不可能事件，不符合题意；
B、掷一次骰子，向上一面点数大于0，是必然事件，不符合题意；
C、3人分成两组一定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
4．C
【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
【详解】解：由y＝（x﹣1）2+2得，开口向上，选项A不符合题意；
对称轴为直线x＝1，故选项B错误；
顶点坐标为（1，2），选项C符合题意；
最小值为2，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
5．D
【分析】先根与系数的关系得，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
6．C
【分析】先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中平均增长率问题，根据题意，把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，列出方程即可．
【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：D．
8．D
【分析】由题意A点的坐标是，利用旋转的性质求出每次旋转后点B的坐标，从中寻找规律求解即可．
【详解】解：，
点点坐标，
绕点A逆时针旋转第一次旋转后，，
绕点A逆时针旋转第二次旋转后，，
绕点A逆时针旋转第三次旋转后，，
绕点A逆时针旋转第四次旋转后，，
，
绕点A逆时针旋转第2023次旋转后，，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确找出旋转后图形点的坐标是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了垂线段最短，正弦三角函数的应用，勾股定理，折叠的意义，根据折叠的性质，得，过点P作于点M，连接，根据，得到当F，P，M三点共线取得最小值，过点F作于点G，根据垂线段最短，当与重合时，取得最小值，结合,得到，求得即可得到的最小值．
【详解】根据折叠的性质，得，过点P作于点M，连接，
∵，
∴当F，P，M三点共线取得最小值，
过点F作于点G，根据垂线段最短，当与重合时，取得最小值，
∵,
∴，
∵，，，,
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故点P到距离的最小值是．
故选：B．
11．m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；
【详解】∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了中心对称，利用了扇形的面积公式，直角三角形的性质．根据圆的半径正方形边长的一半，可得两个扇形的半径都是圆的半径，根据直角三角形两锐角互余，可得两个扇形的圆心角的和等于，可得两个扇形的面积和等于圆的面．
【详解】解：由题意，得两个扇形的半径都是2，
由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于，
两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是．
故答案为：．
13．，
【分析】本题考查二次函数与轴交点问题，二次函数的平移问题；根据题意得出抛物线与轴的交点坐标是和，根据二次函数的平移可得是向左平移个单位，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的方程的两个根分别是和，
∴抛物线与轴的交点坐标是和，
∵是向左平移个单位，
∴抛物线与轴的交点坐标是，，
故答案为：，．
14． 4
【分析】（1）将点（1,4）代入解析式求解即可；
（2）将代入抛物线，可得，化简解析式为顶点式，根据题意分两种情况进行讨论分析求解即可．
【详解】解：（1）将点（1,4）代入解析式可得：
4=a+b-a，
解得b=4，
故答案是：4；
（2）将代入抛物线，
可得，则，
∵抛物线与线段BC有交点，
∴在对称轴上，在对称轴右侧．
当时，如图所示：
，无解；
当时，如图所示：
，
解得，
故答案为：①4；②．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及分类讨论思想，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
15．(1)x1=，x2=；(2)x1=3，x2=.
【分析】(1) 利用公式法求解即可求得答案；
(2)提取公因式因式分解后，即为两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】(1) x2+3x+1=0
a=1，b=3，c=1，
∴△=b2-4ac=32-4×1×1=5，
∴x1=，x2=；
(2) (x-3)2+4x(x-3)=0
（x-3）（x-3+4x）＝0
（x-3）(5x-3)=0
∴x1=3，x2=
【点睛】考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．(1)，；，
(2)见解析
(3)的面积为
【分析】本题主要考查点在坐标系中的位置，图形的旋转；
（1）直接根据点、在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的即可；
（3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：根据坐标系可得：；
故答案为：，；，．
（2）如图所示；即为所求；
（3）的面积．
17．最大深度为
【分析】根据题意作于，交于点，再利用勾股定理得出OE，即可解答.
【详解】解：作于，交 于点
在中，
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.
18．(1)
(2)见解析
【分析】（1）将代入原式，得到关于m的方程，求解即可；
（2） 求出该方程根的判别式，再证明其结果为正数即可．
【详解】（1）解：将代入原式，得，
解得：；
（2）证明：∵
，
又∵无论m取何值，恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为．
故答案为：．
（2）解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好回答完、两个问题的情况有2种，
∴两人恰好回答完、两个问题的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图求概率，根据概率公式求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
20．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，证明得到即可得到证明；
（2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；
（2）解：，，，
，，
，
，
，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
【点睛】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，．
21．(1)
(2)当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元
(3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
（1）根据题意，列出函数关系式即可求解；
（2）根据销售利润等于销售量乘以每件的利润，可得到关于的方程，解方程即可求解；
（3）设每月总利润为，然后根据销售利润等于销售量乘以每件的利润，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵依题意得：，
与的函数关系式为；
（2）解：∵依题意得：，
即
解得：，
∵
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）解：设每月总利润为，
依题意得：
，
∵，此图象开口向下，
∴当时，有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
22．(1)和全等，理由见解析
(2)，，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，三角形内角和定理：
（1）根据“相似等腰组”的定义得到，再证明，即可证明；
（2））根据“相似等腰组”的定义得到，再证明，即可证明，得到，，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：和全等，理由如下：
等腰和等腰为“相似等腰组”，
，
，，
，
在与中，
；
（2）解：，，理由如下：
等腰和等腰为“相似等腰组”，
，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
．
23．(1)y=-x2+4x
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）
【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0