江西省上饶市婺源县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省上饶市婺源县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．将如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的是（ ）
A．B． C．D．
4．在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）．
A．B．C．D．
5．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
7．抛物线的开口 ．（填“向上”或“向下”）
8．点关于原点对称的点的坐标是 ．
9．某校九（2）班在体育考试中全班所有学生的得分情况如下表所示：
从九（2）班的学生中随机抽取一人，恰好是获得60分的学生的概率是 ．
10．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
11．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲乙两人相遇的时间为，则可列方程是 ．
12．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A(0，3)、B(5，3)，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
15．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集；
（3）若方程无实数根，写出的取值范围．
16．如图，羊年春节到了，小明亲手制作了3张一样的卡片，在每张卡片上分别写上“新”“年”“好”三个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳分三次从信封中摸3张卡片每次摸1张，摸出不放回．
小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是多少？
请通过画树状图或列表，求小芳先后抽取的3张卡片分别是“新年好”的概率．
17．如图，是的直径，平行四边形的一边在直径上，点在上．

(1)如图1，当点在上时，请你仅用无刻度的直尺作于；
(2)如图2，当点在内时，请你仅用无刻度的直尺作于．
18．如图，是的直径，为的一条弦，是的中点，已知，．
(1)求证：于；
(2)求的半径．
19．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点．若，求：
(1)的长；
(2)的面积．
20．某批乒乓球的质量检验结果如下：
(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
(2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
21．春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机经销一种安全、无污染的电子鞭炮已知这种电子鞭炮的成本价每盒元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式；
(2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润元，应如何定价？
22．课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补．课本中先从四边形一条对角线为直径的特殊情况来论证其正确性，再从对角线是非直径的一般情形进一步论证其正确性，这种数学思维方法称为“由特殊到一般”
如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则__________度，__________度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．

23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)写出点、、的坐标；
(2)过动点作平行于轴的直线，直线与二次函数的图象相交于点，．
①若，以为直径作，当与轴相切时，求的值；
②直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在，请说明理由．
分数段（分）
30~39
40~49
50~59
60
人数
1
5
9
25
抽取的乒乓球数
200
500
1000
1500
2000
优等品频数
188
471
946
1426
1898
优等品频率
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知“只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程”．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，即，是一元二次方程，符合题意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标是解题的关键．根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为．
故选：A．
3．B
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【详解】解：如图所示的三角形绕其直角顶点顺时针旋转得到的图形如图，
故选:B．
【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转不改变图形的大小与形状，对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角是解题关键．
4．C
【分析】本题考查了等可能性事件的概率计算，理解等可能性事件的概率计算公式是解答本题的关键，“如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为，那么事件A发生的概率为．”，闭合、、、中任意一个开关，只有闭合时能够让灯泡发光，即该事件中，，根据公式计算即可得到答案．
【详解】根据题意，闭合、、中任意一个开关，灯泡均不发光，只有闭合时能够让灯泡发光，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查垂径定理，涉及到圆的基本性质，勾股定理等知识，掌握求弦长通常运用垂径定理构造直角三角形的方法是解题的关键．
设球心为，过作交于，交于，连接，结合题意可解得，，根据勾股定理求得，最后由垂径定理求得结果．
【详解】解：如图，设球心为，过作交于，交于，连接，
由题意可知是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的对称轴等．若，根据①，判断抛物线与x轴交点情况；对于A选项，可得，与③矛盾，对于B选项，由③得：，与②矛盾，排除A、B选项；若，根据①，判断抛物线与x轴交点情况，再根据C、D选项中对称轴的位置，与y轴的交点位置，判断是否满足，即可得出答案．
【详解】解：若，
由①得：，
即，
此时抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，
对于A选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为，
此时，，
∴，与③矛盾，故A选项不符合题意；
对于B选项，由③得：，
∴，与②矛盾，故B选项不符合题意；
若，
由①得：，
即，
此时抛物线开口向下，且与x轴无交点，
对于C选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为，
此时，，
∴，与③矛盾，故C选项不符合题意；
对于D选项，抛物线与y轴交于负半轴，抛物线的对称轴为，
此时，，
可能满足③，
当时，，可能满足③，故D选项符合题意；
故选：D
7．向下
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可解答；掌握，当，抛物线开口方向向下是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向下．
故答案为：向下．
8．
【分析】本题主要考查了直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的特征，利用关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了概率的求解，确定60分的学生人数和总人数即可求解．
【详解】解：由题意得：
从九（2）班的学生中随机抽取一人，恰好是获得60分的学生的概率是：，
故答案为：
10．1
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
故答案为：1
11．
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意，则乙走了步，甲斜向北偏东走了步，根据题意，列出方程，即可．
【详解】设甲，乙两人相遇的时间为，
∴乙走了步，甲斜向北偏东走了步，
∴，
故答案为：．
12．（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
【分析】由正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），先求出AB长，进而得出C（5，8），D（0，8），画出图形：当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），分三种情况，①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，准确画出图形利用全等，轴对称即可求出C′的坐标．
【详解】解：因为正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A（0，3）、B（5，3），则AB=5-0=5，C（5，8），D（0，8），
所以画图如下：
当正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），作CE⊥x轴于E，分三种情况
①点B的对应点B′恰好落在x轴正半轴上时，如图，
∵AB′＝AB＝5，OA＝3，
∴OB′＝＝4，
∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，
∴点C的对应点C′的坐标为（7，4）；
②点B的对应点B′恰好落在y轴负半轴上时，如图，
B′C′＝AB＝BC′＝5，
yC=3-5=-2，xC=AB=5，
∴点C的对应点C′的坐标为（5，﹣2）；
③点B的对应点B′恰好落在x轴负半轴上时，如图，
∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，
∴∠OAB′＝∠C′B′E，
在△AB′O和△EB′C′中，
，
△AB′O≌△EB′C′（AAS），
∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，
∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，
∴点C的对应点C′的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上所述：点C的对应点C′的坐标为（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
故答案为：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，掌握正方形的性质，勾股定理，图形的旋转变换，三角形全等，利用分三种情况考虑点B′的位置求点C′坐标是解题关键．
13．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程用直接开平方法求解即可；
（2）方程用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
两边直接开平方得，
所以，，
（2）解：
∴，
∴，
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心；
（2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键；
（3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点．
（2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是；
（3）∵正方形，
∴，
由旋转可得：，
∴．
15．（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；
（3）根据图象可以看出k取值范围．
【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标，
∴，．
（2）观察图象可知：不等式的解集为或．
（3）由图象可知，时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）由共有3张大小相同的卡片，在每张卡片上分别写上“新”、“年”、“好”三个字，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小芳先后抽取的3张卡片恰好是“新年好”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：∵共有张大小相同的卡片，在每张卡片上分别写上“新”、“年”、“好”三个字，
∴小芳第一次抽取的卡片是“新”字的概率是：；
画树状图得：
∵共有种等可能的结果，小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的有种情况，
∴小芳先后抽取的张卡片恰好是“新年好”的概率为：．
【点睛】考查了树状图法与列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直径所对的圆周角为直角，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
（1）连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求；
（2）延长交于，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求；

∵为直径，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于，连接并延长交于点，连接交于点，点即为所求．

∵为直径，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
18．(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．掌握相关定理和性质，是解题的关键．
（1）连接，，根据等腰三角形三线合一，即可得证；
（2）设圆的半径为，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，，则：，
∵是的中点，
∴，
∴于．
（2）∵是的中点，
∴，
由（1）知，，
设圆的半径为，则，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得：．
的半径为5．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转性质得到，，再求出，即可得到，根据勾股定理即可求出；
（2）根据， 得到，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含角直角三角形性质，等腰三角形判定等知识，熟知相关定理，正确解直角三角形是解题关键．
20．(1)
(2)①；②9个
【分析】本题主要考查利用频率估计概率：
（1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；
②设从袋中取出了个黑球，由题意得
，解得，
故至少取出了9个黑球．
21．(1)
(2)当时，w有最大值，w的最大值为元
(3)元或元
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确销售问题中的成本利润之间的关系以及利用正确利用二次函数的性质，是解题的关键．
（1）用每件的利润乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式即可；
（2）把（1）中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值；
（3）令（2）中顶点式函数值等于，然后解一元二次方程即可得答案．
【详解】（1）由题意得：
∴w与x的函数关系式为：；
（2）
∵
∴当时，w有最大值，w的最大值为元．
（3）当时，
解得：
∴要想每天获得销售利润元，应定价为元或元每盒．
22．（1），；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是以及四边形内角和为进行作答即可；
（2）以图2为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答；或者以图3为例证明，连接，，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍以及四边形内角和为进行作答即可；
（3）连接，，根据等边对等角，即，又，得，，，再结合四边形是圆内接四边形，得，，进而知道，又因为是线段的中点，即可求证是的切线．
【详解】解：（1）∵四边形为的内接四边形，为直径，
∴，
那么，
故答案为：90，180；
（2）证明：以图2为例证明，
连接，，如图所示：

∵弧弧，
∴，，
∵
∴，
∴，
在四边形，，
即圆内接四边形的对角互补；
或者以图3为例证明，
连接，，如图所示：

∵弧弧，
∴，，
∵,
∴，
∴，
在四边形，，
即圆内接四边形的对角互补；
（3）证明：连接，，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∵是线段的中点，
∴，则，
∵是圆的半径，
∴是圆的切线．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形对角互补以及圆的基本性质、切线的判定、平行线的判定与性质等知识点内容，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
23．(1)点、、的坐标分别为，，，
(2)①；②存在，的值为，，或3
【分析】（1）A、B两点的纵坐标都为0，所以代入，求解即可．
（2）由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处，则Q的横坐标为，可推出D、E两点的坐标分别为：，，因为D、E都在抛物线上，代入一点即可得m．
（3）使得是等腰直角三角形，重点的需要明白有几种情形，分别以三边为等腰三角形的两腰或者底，则共有3种情形；而三种情形中F点在的左下或右上方又各存在2种情形，故共有6种情形．求解时．利用全等三角形知识得m的值．
【详解】（1）当时，有，
解得：，，
∴、两点的坐标分别为和．
当时，，
∴点的坐标为．
（2）①∵与轴相切．且与交于、两点，
∴圆心位于直线与抛物线对称轴的交点处，
∵抛物线的对称轴为，的半径为点的纵坐标，
∴、两点的坐标分别为：，
∵点在二次函数的图象上，
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
②解：存在．
①当，时，如图1，

过点F作轴于G，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵ ，
∴或．
②当，时，如图2，
过点F作轴于P，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴或．
③当，时，如图3，
则F点一定在的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，
分别过F，两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H．
∵，
∴．
∵，，
∴ ．
∴，．
∴ 四边形为正方形．
∴ ．
∴ ．
∴，
∴ ．
∵，
∴ ．
∵，．
∴ ．
∴，．
∴ 四边形为正方形．
∴
∴．
∴ ．
∵，
∴ y的最大值为．
∵ 直线l与抛物线有两个交点，
∴
∴ m可取值为或或3或．
综上所述，m的值为或或3或．
【点睛】本题难度适中，考查的主要是二次函数，切线的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形及全等三角形性质，但是最后一问情形较多不易找全，非常锻炼学生的全面思考．