2024年湖北省武汉市高三数学上学期第一次调研测试卷

这是一份2024年湖北省武汉市高三数学上学期第一次调研测试卷，共25页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则，已知函数，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A．B．2C．D．
4．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A．B．1215C．135D．
5．人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50B．70C．90D．130
6．如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
8．设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A．B．2C．D．4
二、多选题
9．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B．一组数据的第60百分位数为14
C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，若，则总体方差
11．已知函数的图象如图所示，函数，则（ ）

A．在区间上单调递减
B．为的极小值点
C．是曲线的一个对称中心
D．的两个不同零点分别为，则
12．已知圆，直线，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，当最大时，则（ ）
A．直线的斜率为1B．四边形的面积为
C．D．
三、填空题
13．函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ．
14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ．
15．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
16．在矩形中，，，，则向量在向量方向上的投影为 ．
四、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为为边的中点，求的长．
18．如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE⊥平面 ABCD，AB =AE =2DF，AEDF.

(1)证明：平面AEC⊥平面 CEF；
(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.
19．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右和上顶点，直线交直线于点，且点的横坐标为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于第二象限内两点，且在之间，与直线交于点，试判断直线与是否平行，并说明理由．
20．某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.
(1)在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的，处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；
(2)通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的，，处，求小灯泡发亮的概率.
21．已知抛物线：，直线，且点在抛物线上．
(1)若点在直线上，且四点构成菱形，求直线的方程；
(2)若点为抛物线和直线的交点（位于轴下方），点在直线上，且四点构成矩形，求直线的斜率．
22．记为函数的最小正周期，其中，且，直线为曲线的对称轴.
(1)求；
(2)若在区间上的值域为，求的解析式.
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．B
【分析】根据条件得到，，再利用集合的运算即可得出结果.
【详解】由，得到，所以，
由，易知时，，所以，
故，所以选项A错误，选项B正确，
又，所以选项C和D均错误，
故选：B.
2．A
【分析】由余弦函数的性质，分别验证充分性与必要性即可.
【详解】函数，
当时，，为偶函数，所以充分性成立；
为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立.
故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
3．A
【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】令，则，
从而
.
故选：A.
4．B
【分析】先利用赋值法求出，再利用二项式定理的通项公式求解答案．
【详解】令，得，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别）
解得（舍去）或，
则的展开式的通项，
令，解得，则展开式中的系数为，
故选：B．
5．B
【分析】根据频率公式进行计算.
【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.
故选：B
6．A
【分析】取的中点，连接，由等腰三角形的性质与面面垂直的性质定理证平面，由线面垂直的性质及判定定理证平面，进而推出，利用勾股定理及勾股定理的逆定理等证，从而确定四面体的外接球的球心与半径，利用球的体积公式求解即可．
【详解】如图，取的中点，连接，
因为，所以．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
依题意平面平面，
所以，又平面，
所以平面．
又平面，
所以，所以，
所以．
连接，则，
所以．
又，
所以，
所以．
因为与共斜边，
所以四面体的外接球的球心为的中点，
且外接球半径，
所以该球的体积．
故选：A
【点睛】确定简单几何体外接球的球心有如下结论：（1）正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高线上；（5）若三棱锥的其中两个面是共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是外接球的球心．
7．A
【分析】根据函数图象结合五点法求出，再令，即可求出的对称中心.
【详解】由题意可得：，可得，
所以，因为，
所以，可得，所以，
由，可得，因为，
所以，，所以.
令，可得，
所以对称中心为，
故选：A.
8．D
【分析】根据抛物线定义和图形中的几何关系直接计算求解即可.
【详解】如图所示，作，
由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D
9．AC
【分析】根据零点定义，结合正弦型函数和对数型函数的图象进行求解即可.
【详解】令，
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误；
又函数的图象都关于对称，则，
故，则C正确，错误，
故选：AC
10．AC
【分析】由古典概型的概率可判断A，根据百分位数定义可判断B，由数据的平均数和方差的定义可判断C,D.
【详解】选项A：个体m被抽到的概率为，故A正确；
选项B：由于，第六个数为14，第七个数为16，则第60百分位数为，故B错误；
选项C：设数据的平均数为，方差为，
则数据的平均数为，
方差为
，
所以，故C正确；
选项D：设第一层数据为，第二层数据为，
则，，
所以，
，，
总体平均数，
总体方差
因为，则，
所以
，故D错误.
故选：AC.
11．AD
【分析】利用函数的图象求得的解析式，进而得到，然后逐项判断.
【详解】解：由图象可知函数的最大值为2，
所以，
所以，
当时，．
因为，所以，
所以，
则，
当时，，又在上递减，故A正确；
，当时，，当时，，
所以为的极大值点，故B错误；
，故C错误；
令，得，则，故D正确；
故选：AD
12．AC
【分析】由题意分析得，结合，即可判断A，求出，结合三角函数即可判断D，算出即可得四边形的面积，由此即可判断B，结合等面积法即可判断C.
【详解】
若要最大，则只需锐角最大，只需最大，即最小，
所以若最小，则，由垂径分线定理有，所以，所以，故A正确；
由题意，此时，，
所以此时，故D错误；
而当时，，所以四边形的面积为，故B错误；
由等面积法有四边形的面积为，又由题意，所以，故C正确.
故选：AC.
13．10
【分析】判断函数的性质与最小值，判断函数的性质，作出函数与的大致图象，判断两个图象在上的交点情况，根据对称性得结果.
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．
由于的图象和的图象都关于直线对称，
所以先考虑两个图象在上的情形，
易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
易知，，
所以可作出函数与的大致图象如图所示，
所以的图象和的图象在上有5个交点．
根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，
因此所有交点的横坐标之和为．
故答案为:.
14．
【分析】设圆心坐标，根据题意列关于的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案.
【详解】设圆心坐标为，
由于所求圆与直线和直线都相切，
故，化简为，而，则，
又圆心到原点的距离为，即，
解得，即圆心坐标为，则半径为，
故圆的方程为，
故答案为：
15．
【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可.
【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q，
上、下底面的中心分别为，，
设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，
所以，
，同理．
因为内切球与平面相切，切点在上，
所以①，
在等腰梯形中，②，
由①②得．
在梯形中，③，
由②③得，代入得，则棱台的高，
所以棱台的体积为．
故答案为：.

16．/
【分析】建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，写出与的坐标，求得与，最后利用向量投影公式求解即可．
【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，，，，则，，，
向量在向量方向上的投影为．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由两角和的余弦公式、二倍角余弦及诱导公式化简可得结果，
（2）根据三角形面积公式、余弦定理及平面向量的模进行计算可得结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以或（舍去）．因为，所以．
（2）因为的面积为，所以，所以．
因为，所以，即，
所以．因为是的中点，所以，
所以，所以，
故的长为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF的一个法向量，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）如图，取EC的中点H， 连结BD交 AC于点O，连结HO、HF.
因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD.
又AE⊥平面 ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD.
因为AE⊂平面AEC， AC⊂平面AEC， 且AE∩AC=A，
所以BD⊥平面AEC. 因为H、 O分别为EC、 AC的中点，所以HO∥EA，且 又AE∥DF，且 .
所以HO∥DF，且HO=DF，所以四边形HODF 为平行四边形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.
因为HF⊂平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.

（2）取CD中点M ， 连接AM. 因为菱形 ABCD中， ∠ABC=60°， 所以ACD为正三角形，又M 为CD中点，所以AM⊥CD，
因为AB∥CD，所以AM⊥AB. 因为AE⊥平面ABCD， AB，AM⊂平面ABCD，所以AE⊥AB， AE⊥AM .如图，
以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
不妨设AB=AD=AE=2DF=2，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1， 0)，，E(0，0，2)，
因为AM⊥平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量，
设平面CEF的法向量为， 因为 ，
所以，不妨令， 得.
设平面 ABE与平面CEF 夹角为θ，
则 ，
所以平面 ABE 与平面CEF夹角的余弦值为.

19．(1)
(2)直线与平行，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的离心率为，可得，点的坐标为，求出直线的方程，将代入即可求解.
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得，，要证直线与平行，只需证明，求出直线与的斜率，进行化简计算即可.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以所以①．
因为点在直线上，所以②．
由①②，解得，所以椭圆的方程为．
（2）直线与直线平行．
理由如下：显然直线与坐标轴不垂直，设其方程为．
因为直线经过点，所以③．
联立直线与椭圆的方程，消去，得．
设．
当时，有，④．
因为共线，所以，即．
所以
．
由③④，得．
所以，即．故直线与平行．
20．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得小灯泡不发亮的概率，即可得到结果；
（2）根据题意，分三种情况，分别计算对应概率，然后相加，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得{（合格，合格），（合格，不合格），（不合格，不合格）}；
设事件：小灯泡发亮，则，则，
即小灯泡发亮的概率为.
（2）当小灯泡亮的时候，元件一定是合格的，元件中至少有一个是合格的，
第一种情况：元件合格，元件合格，元件不合格，
则；
第二种情况：元件合格，元件不合格，元件合格，
；
第三种情况：元件合格，元件合格，元件合格，
；
则小灯泡发亮的概率.
21．(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及菱形的几何性质来求得直线的方程.
（2）先求得点的坐标，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用根与系数关系以及矩形的几何性质求得直线的斜率.或设出以及中点的坐标，根据矩形的几何性质求得直线的斜率.
【详解】（1）由题意知，设直线．
联立得，
则，，
则的中点在直线上，
代入可解得，，满足直线与抛物线有两个交点，
所以直线的方程为，即．

（2）当直线的斜率为或不存在时，均不满足题意．
由得或（舍去），故．
方法一：当直线的斜率存在且不为时，设直线．
联立得，所以．
所以．同理得．
由的中点在直线上，
得，
即．
令，则，解得或．
当时，直线的斜率；
当时，直线的斜率不存在．
所以直线的斜率为．
方法二：设，线段的中点，
则．
由，得，即．
所以．
又
，
故可转化为，
即．解得或．
所以直线的斜率．
当时，斜率不存在；当时，斜率．
所以直线的斜率为．

【点睛】关键点点睛：垂直关系的转化，包括了菱形的几何性质、矩形的几何性质，菱形的对角线相互垂直，矩形的邻边相互垂直，利用垂直关系转化已知条件，列出等量关系式，从而对问题进行求解.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意由可得，再结合为曲线的对称轴即可确定的值；
（2）由题意确定区间的长度小于一个周期，即可确定，分类讨论，讨论函数在何时取最值，结合正弦函数的性质，求出，经验证即可确定其值，从而求得答案.
【详解】（1）由题意知为函数的最小正周期，故；
由得，而，故或；
又直线为曲线的对称轴，即，
则，结合，可知；
（2）由（1）可知，在区间上的值域为，
可知区间的长度小于一个周期，即，
由，得，
①若，则，即，
则，此时，函数最大值为1，不符合题意；
②若，则，即，
则或，
当时，，函数取不到最大值，不符合题意，
当时，，函数最大值为，不符合题意；
③若，则或，
则或，则，
此时，函数取不到最小值，不符合题意；
④若，则或，
则或，则或或，
当时，，能满足题意，此时；
当时，，函数最大值为1，不符合题意，
当时，由上面分析可知不符合题意，
综合以上可知.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于的确定，解答时要根据在区间上的值域为，分类讨论，结合三角函数的最值求出参数的值，经验证可确定参数的取值.
扫码加微信，进微信交流群
关注公众号，持续拥有资料