2024年广东省深圳市高三数学上学期第一次调研测试卷

这是一份2024年广东省深圳市高三数学上学期第一次调研测试卷，共26页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第二象限
C．的实部为D．的虚部为
3．在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（ ）

A．2，B．2，C．2，D．4，
5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（ ）
A．B．-13C．D．-14
6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t，（单位：天）的变化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T之间的关系近似满足，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（ ）
A．6天B．7天C．8天D．9天
7．如图，在长方形ABCD中，，，为的中点，为线段（端点除外）上的动点．现将沿AF折起，使平面平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据的第45百分位数是4
B．若数据的标准差为，则数据的标准差为
C．随机变量服从正态分布，若，则
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
11．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球的表面积为
B．球在正方体外部的体积大于
C．球内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则
12．已知函数，.（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
三、填空题
13．已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
14．设数列满足，，，令，则数列的前100项和为 ．
15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F为抛物线C：（）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：相切，则p的值是 .
16．若实数t是方程的根，则的值为 .
四、解答题
17．在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若边上的中线长为1，求面积的最大值.
18．已知数列是首项为2的等比数列，公比，且是和的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前2023项和．
19．如图：在四棱锥中，，，平面，，为的中点，，．
(1)证明：；
(2)求平面与平面所成夹角．
20．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到红球的概率；
(2)设第次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为.求；
(3)对于事件，当时，写出的等量关系式，并加以证明.
21．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.
22．已知函数（），为的导函数，.
(1)若，求在上的最大值；
(2)设，，其中.若直线的斜率为，且，求实数的取值范围.
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．C
【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.
【详解】由，
由，
所以，
故选：C
2．C
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得其模以及实部和虚部，以及对应的点所在象限，一一判断各选项，即得答案.
【详解】因为，故，
则，A错误；
在复平面内对应的点为，位于第一象限，B错误；
的实部为，C正确；
的虚部为，D错误，
故选：C．
3．C
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案.
【详解】方法一：如图，由题意得，，
故
；
方法二：不妨设是等腰直角三角形，且，
以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
则，
设，
故，
所以，解得，
故．
故选：C．
4．B
【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可.
【详解】设的周期为，
则由图像知，
所以，则，
因为在处取得最大值，
所以，
得，
因为，
所以.
故选：B
5．A
【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解.
【详解】解：数列为：，
，
设及其后面项的和为，则，
所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.
所以前65项的和为，
故选：A.
6．B
【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.
【详解】依题意，，且时，，
即，所以，，
令，两边取以为底的对数得，
所以至少需要天.
故选：B
7．C
【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围.
【详解】如图，在平面ADF内过点D作，垂足为，连接．
过点作，交于点．
设，，所以．

设，则．
因为平面平面ABC，平面平面，
，平面ABD，所以平面ABC，
又平面，所以．
又因为，，，平面DKH，所以平面，所以，即．
在中，，，
因为和都是直角三角形，，
所以，．
因为，，
所以，得．
因为，所以，所以．
故选：C
【点睛】方法点睛：线面垂直、面面垂直转化的过程中，要从线面垂直得到面面垂直，需要“经过一个平面的垂线”；要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内，垂直于交线”，在答题过程中，要注意使用正确的符号语言.
8．A
【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解.
【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角），
由题意对于直线上任意一点，存在，使得，
则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即，
因为在直线上，所以满足
设，所以，
即所在直线方程为，
而圆的圆心，半径分别为，
若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，
所以圆心到直线的距离，解得.
故选：A.
【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解.
9．BCD
【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有8个数据，
因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A不正确；
对于B中，数据的标准差为，
由数据方差的性质，可得数据的标准差为，所以B正确；
对于C中，随机变量服从正态分布，且，
根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；
对于D中，随机变量服从二项分布，且，
可得，解得或，
当时，可得；
当时，可得，
综上可得，，所以D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知，，，，
的最小正周期，，
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，
当时，，
则，
则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点关于直线，
则，即，则，
则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.
11．ABD
【分析】对A，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B，由球在正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C，计算出球内接球内接圆柱的高及底面积即可得；对D，根据向量的数量积运算即可得.
【详解】解析：对于A．如图所示，
正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确；
对于B．若球体､正方体的体积分别为．
球在正方体外部的体积，故B正确；
对于C，球的半径，设圆柱的高为，
则底面圆半径，
所以，
当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误；
对于D，取中点，可知在球面上，可得，
所以，
点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，
所以（当为直径时，），
所以．故D正确．
故选ABD．

12．BCD
【分析】A选项，由导数几何意义结合题意可知，即可判断选项正误；B选项，利用导数知识结合可得的单调区间，即可判断选项正误；C选项，有三个零点等价于直线与函数图象有3个交点，利用函数研究单调性，极值情况，即可判断选项正误；D选项，由题可得，存在唯一整数，使 图象在直线下方.，利用导数研究单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误.
【详解】A选项，，由题，，则，，故A错误；
B选项，当时，，.因，则.
或在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；
C选项，当时，令，
注意到当时，，则，则函数有三个零点，相当于直线与函数图象有三个交点.
令，其中.
.
令或在上单调递增；
或或或
在，
上单调递减，又，
则可得大致图象如下，则由图可得，当，
直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故C正确；
D选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使 图象在直线下方.
则，，
得在上单调递减，在上单调递增，
又，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为，
则切线方程为：，因其过，
则或，又注意到
结合两函数图象，可知或2.
当时，如图1，需满足；
当时，如图2，需满足；
综上：，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.
13．
【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可.
【详解】设系数最大的项为，
则，解得，
因为且为整数，
所以，此时最大的项为.
故答案为：
14．
【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得.
【详解】数列满足，，，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，
因此，显然的周期为4，
则
，
令，则有，
，数列是等差数列，
数列的前100项和，即数列的前25项和.
故答案为：.
15．
【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解.
【详解】当时，，故入射光线经过和，，
故入射光线的方程为，化简得，
圆心为，半径为，
所以，
而，故，，解得.
故答案为：
16．
【分析】将方程进行合理变形可得，利用同构函数并结合定义域可构造函数，即可得出，利用对数运算即可得出结果.
【详解】由可得，即
即可得实数t是方程的根，即；
易知，所以；
令函数，则在上恒成立；
所以在上单调递增，因此需满足；
可得，
同时取对数得，即；
所以，即.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出，再结合定义域可知，可得定义域为，再利用单调性即可求得结果.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正余弦定理化简条件中的等式，可得；
（2）边上的中线为，由向量关系：，两边平方利用向量数量积的运算和基本不等式，求出的最大值，可计算面积的最大值.
【详解】（1）由正余弦定理得，
又，可得，即.
（2）设边上的中线为，，由（1）知，
再由向量关系：，两边平方得，
即，则有，得（当且仅当时取等号）,
即面积的最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件得到，由是首项为2的等比数列且，求出的值，进而求出通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）数列是首项为2的等比数列，是和的等差中项，
，即，
，，
，解得或（舍），
；
（2），
，
的前2023项和.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可建立空间直角坐标系，求出、即可得证；
（2）求出平面与平面的法向量后即可得平面与平面所成夹角.
【详解】（1）由，，故，又平面，
、平面，故、，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中轴，
由题意可得、、、、，
则，，
，，
，由为的中点，故，
则，
，则，
故，故；
（2）由（1）知、、，
且、，
故，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有、，
即、，
不妨分别取，，则可得、，
则，故，
即平面与平面所成夹角为.
20．(1)
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据全概率公式求解即可；
（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；
（3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可.
【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，
于是由全概率公式，
得.
（2）由已知得，
，
，
.
（3）由（2）可得，即，
可猜想：,
证明如下：由条件概率及，
得，，
所以.
21．(1)双曲线的标准方程为，渐近线方程为
(2)证明过程见详解.
【分析】（1）利用焦距求出，利用点到直线距离公式表示到的渐近线的距离求出，
再利用求出，然后求出渐近线.
（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，线段的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.
【详解】（1）因为，所以，因为，渐近线为，
即则到的渐近线的距离为可表示为，
所以，
所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为.
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，
此时易得，点到直线的距离为，所以此时
②当直线的斜率存在时设直线为，
由得
因为直线于双曲线相切，所以且，
整理得且，即
由得，则
同理得到
所以
点到直线的距离
所以
所以的面积为定值3.

【点睛】利用，找到参数之间的关系，再利用公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.
22．(1)
(2)
【分析】（1）若，求得，得到，结合的符号，得到，即，进而求得函数的最大值；
（2）根据题意，转化为任意，都有，令，得出对于恒成立，记，求得，分类讨论，求得函数的函数与最值，即可求解.
【详解】（1）解：若，可得，则，
即，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又由，所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，即函数的最大值为.
（2）解：由，可得，
因为，
所以对任意且，都有，
因为，可得，则，
对任意且，令，
则
对于恒成立，
由
则对于恒成立，
记，
可得，
①若，则，在单调递增，所以，符合题意；
②若，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，当时，，不符合题意（舍去），
综上可得，，即实数的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
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