广东省广州市第六中学2024届高三第三次调研数学试题（学生及教师版）

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本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A. B. 1C. D. i
2. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ）
A. B. C. 7D. 8
3. 在平行四边形中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 若函数为奇函数，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知A，B，C，D是椭圆E：上四个不同的点，且是线段AB，CD的交点，且，若，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D. 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
10. 已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）
A.
B
C.
D. 的最大值为
11. 已知正方体，点满足，下列说法正确是（ ）

A. 存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形
B. 存在唯一一点，使得平面
C. 存在无穷多个点，使得
D. 存在唯一一点，使得平面
12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为_______.
14. 若的展开式中只有第项的系数最大，则该展开式中的常数项为______．
15. 已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为______.
16. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和为．
18. 在中，角，，对应的边分别为，，且.
（1）求角；
（2），，点在上，，求的长.
19. 如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
（1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
21. 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
22 已知函数，.
（1）讨论的单调性.
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.扫码加微信，进微信交流群
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