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广东省广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题（学生及教师版）
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这是一份广东省广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题（学生及教师版），文件包含广东省广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题教师版docx、广东省广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “且”是“为第四象限角”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线在轴､轴上截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C 或D. 或
7. 已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（ ）
A B. C. D. 1
8. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数的最小正周期为2
C. 函数的对称轴方程为D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10. 下列几种说法中正确的是（ ）
A. 若，则最小值是4
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若不等式的解集是，则的解集是
D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
12. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
A. 有最小值，且最小值为整数
B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C. 恰有两个极值点
D. 恰有三个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在的展开式中，含的项的系数是__________.（用数字作答）
14. 应越共中央总书记阮富仲､越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记､中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济､政治等领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了全世界的广泛关注.“访､越､南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为__________.
15. 过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为________.
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，分别是的内角所对的边，且.
（1）求角大小；
（2）若，，求边.
18. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19. 如图①，在五边形中，四边形是梯形．是等边三角形．将沿翻折成如图②所示的四棱锥．
（1）求证：；
（2）若平面，且，求平面与平面所成二面角的正弦值．
20. 2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率．
（1）若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围．
21. 设椭圆C1：1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率是，已知A是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线C2的准线l的距离为．
（1）求C1的方程及C2的方程；
（2）设l上两点P，Q关于轴对称，直线AP交C1于点B（异于点A），直线BQ交x轴于点D，若△APD的面积为，求直线AP的斜率．
22. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
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本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “且”是“为第四象限角”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某人将用“”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线在轴､轴上截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C 或D. 或
7. 已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（ ）
A B. C. D. 1
8. 已知函数，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数的最小正周期为2
C. 函数的对称轴方程为D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10. 下列几种说法中正确的是（ ）
A. 若，则最小值是4
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若不等式的解集是，则的解集是
D. “”是“不等式对一切x都成立”的充要条件
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
12. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
A. 有最小值，且最小值为整数
B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C. 恰有两个极值点
D. 恰有三个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在的展开式中，含的项的系数是__________.（用数字作答）
14. 应越共中央总书记阮富仲､越南国家主席武文赏邀请，中共中央总书记､中国国家主席习近平于2023年12月12日至13日对越南进行国事访问，期间，共同探讨了经济､政治等领域的诸多问题，构建了具有战略意义的中越命运共同体，访问受到了越南各层各界的隆重欢迎，引起了全世界的广泛关注.“访､越､南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为__________.
15. 过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为________.
16. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，分别是的内角所对的边，且.
（1）求角大小；
（2）若，，求边.
18. 已知数列满足.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19. 如图①，在五边形中，四边形是梯形．是等边三角形．将沿翻折成如图②所示的四棱锥．
（1）求证：；
（2）若平面，且，求平面与平面所成二面角的正弦值．
20. 2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率．
（1）若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围．
21. 设椭圆C1：1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率是，已知A是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，F到抛物线C2的准线l的距离为．
（1）求C1的方程及C2的方程；
（2）设l上两点P，Q关于轴对称，直线AP交C1于点B（异于点A），直线BQ交x轴于点D，若△APD的面积为，求直线AP的斜率．
22. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
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