广东省广州市仲元中学2024届高三第二次调研数学试题（学生及教师版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 若（为虚数单位），则（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
4. 已知空间向量，则（ ）
A. 3B. C. D. 21
5. 在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（，1766—1834）就提出了人口增长模型.已知1650年世界人口为5亿，当时这段时间的人口的年增长率为0.3%.根据模型预测________年世界人口是1650年的2倍.（参考数据：，）
A. 1878B. 1881C. 1891D. 1993
7. 在中，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为1，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 相关系数越接近1，变量，相关性越强
B. 若随机变量，满足，则
C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D 设随机变量服从二项分布，则
10. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A.
B. 关于对称
C. 在区间上有644个零点
D. 若在上是增函数，则的最大值为
11. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，其中，直线与椭圆交于、两点.则下列说法中正确的有（ ）
A. 当时，的周长为
B. 当时，若的中点为，为原点，则
C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是
D. 若的最大值为，则椭圆的离心率
12. 若，，，则（ ）
A B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为____________．
14. 已知公差不为0的等差数列中，存在，，满足，，则项数__________.
15. 如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为__________．
16. 已知为函数图象上一动点，则的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知数列的首项，前n项和为，且．设．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
18. 在中，，.
（1）求A；
（2）已知M为直线上一点，，，求的面积.
19. 如图，在三棱锥中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角余弦值.
20. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
21. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．
22 已知函数.
（1）当时，存在，使得，求M的最大值；
（2）已知m，n是的两个零点，记为的导函数，若，且，证明：.扫码加微信，进微信交流群
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