广东省湛江市2024届高三上学期1月联考数学试题（学生及教师版）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号.座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 8B. C. D.
4 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）
A. 4B. 8C. 6D. 10
6. 已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
7. 已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在数列中，，且，当时，，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：
根据样本数据，下列说法正确的是（ ）
A. 早睡群体睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高
B. 早睡群体的睡眠指数的众数为85
C. 晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66
D. 早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
11. 已知点，，动点在圆：上，则（ ）
A. 直线截圆所得的弦长为
B. 的面积的最大值为15
C. 满足到直线的距离为的点位置共有3个
D. 的取值范围为
12. 已知定义在上的函数满足，且是奇函数.则（ ）
A. B.
C. 是与等差中项D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数的图象在点处的切线平行于轴，则_________.
14. 某美食套餐中，除必选菜品以外，另有四款凉菜及四款饮品可供选择，其中凉菜可四选二，不可同款，饮品选择两杯，可以同款，则该套餐的供餐方案共有_________种.
15. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则_________.
16. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
（1）若从公司销售牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）作角A的平分线与交于点，且，求.
20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面．
（1）证明：；
（2）若，，与平面所成的角为60°，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
22. 已知函数，.
（1）讨论单调性.
（2）是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
早睡群体睡眠指数
65
68
75
85
85
85
88
92
92
95
晚睡群体睡眠指数
35
40
55
55
55
66
68
74
82
90
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