河南省焦作市博爱一中2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

这是一份河南省焦作市博爱一中2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题，共19页。试卷主要包含了若，则，下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
数 学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知公比不为1的等比数列的前项和为，记：为等差数列；：对任意自然数为等差数列，则是的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.已知，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
4.在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且满足，则当最大时，的值为（ ）
A.B.C.D.
5.已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为.记的面积为，的面积为，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
6.若，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，其中为切点，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为（ ）
A.B.1C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式 eix=csx+isinx （ x∈R,i 为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（ ）
10.下列命题中正确的是（ ）
A.若样本数据，，，的样本方差为3，则数据，，，的方差为7
B.经验回归方程为时，变量x和y负相关
C.对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立
D.若，则取最大值时
11.已知曲线，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（ ）
A.若，则曲线的离心率为
B.若，则曲线的渐近线方程为
C.若曲线是双曲线，则曲线的焦点一定在轴上
D.若曲线是圆，则的最大值为4
12.已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.B.直线与轴平行
C.点在抛物线上D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.若，，且，则的取值范围为 .
14.若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 .
15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为，则其外接球的体积为 .
16.已知等比数列的公比为，其前n项和为，则的最大值与最小值之和为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已如等差数列的前项和为，若，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和，求数列的前项和.
18.（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角；
(2)若，求边上高的最大值.
19.（12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，.
(1)求证：平面ACF；
(2)求AF与平面EBD所成角的正弦值.
20.（12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为.某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
参考数值：，，.
21.（12分）过抛物线上一点作直线交抛物线E于另一点N.
（1）若直线MN的斜率为1，求线段的长.
（2）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点.如果有求定点坐标，如果没有请说明理由.
22.（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
焦作市博爱一中2023—2024学年高三上学期第一次模拟考试
数学 • 参考答案
一、单项选择题
1.【答案】C
【解析】因为命题成等差数列，所以，又数列为等比数列，且公比不为1，
所以，整理得到，
又命题成等差数列，所以，即，整理得到，
所以是的充要条件，故选：C.
2.【答案】C
【解析】即；即；，即.
所以.故选：C.
3.【答案】D
【解析】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，解得.故选：D
4.【答案】B
【解析】由，有，即，
则有，得，
，当且仅当时等号成立，是锐角，所以当最大时，，
则.
故选：B.
5.【答案】C
【解析】作，垂足为E，连接，
因为，即，平面，
故平面，平面，故，
又，故平面，平面，
则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即，
由于，，故为二面角的平面角，即，
，
在中，，
则，
而，则，
则，
故，
故选：C
6.【答案】B
【解析】由，得，解得，又，
所以.
故选：B
7.【答案】A
【解析】要使得最大，则最小，的最小值即为圆心到直线的距离.由题意知，，，
，且，
所以最大时，最小.
由题意知，.
所以，则，
即的最大值为.
故选：A.
8.【答案】C
【解析】
延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，
直线与平面不存在公共点，
所以平面,
由中位线定理可得,
在平面内，
在平面外，
所以平面,
因为与在平面内相交，
所以平面平面,
所以在上时，直线与平面不存在公共点，
因为与垂直，所以与重合时最小，
此时，三角形的面积最小，
最小值为，故选C.
二、多项选择题
9.【答案】ABC
【解析】对于A，当 x=π 时，因为 eiπ=csπ+isinπ=−1 ，所以 eiπ+1=0 ，故选项A正确；
对于B， 12+32i2022=csπ3+isinπ32022=e2022=e674πi=cs674π+isin674π=1 ，故B正确；
对于C，由 eix=csx+isinx ， e−ix=cs−x+isin−x=csx−isinx ，所以 eix+e−ix=2csx ,得出 eix+e−ix=2csx≤2 ，故选项C正确；
对于D，由C选项的分析得 eix−e−ix=2isinx ，推不出 −2≤eix−e−ix≤2 ，故选项D错误.故选ABC.
10.【答案】BC
【解析】对于A，数据，，…，的方差为，所以A错误；对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；对于C，由，得，所以事件A与事件B独立，所以C正确；
对于D，由，即，
解得或，所以D错误.
故选：BC.
11.【答案】AC
【解析】对于选项A，时，曲线为，故，则曲线的离心率为，故A选项正确；
对于选项B，时，曲线为，双曲线焦点在轴上，
则曲线的渐近线方程为，故B选项错误；
对于选项C，若曲线是双曲线，则，解得：，因，
则曲线的焦点一定在轴上，故C选项正确；
对于选项D，若曲线是圆，则，即，
，设 ，则得，
如图，要求的最大值，即求直线的纵截距的最小值，又因为曲线上一动点，
故可考虑直线与圆相切时的情况，由圆心到直线的距离为，解得，
结合图象知，即的最大值为，故D选项错误.
故选：AC.
12.【答案】BCD
【解析】由，得到，所以，又，，
由导数几何意义知，抛物线在点处切线斜率为，
所以抛物线在点处的切线方程为，即，
又，得到，故抛物线在点处的切线方程为，
同理可得，抛物线在点处的切线方程为，
又两切线交于点，所以，从而得到直线的方程为，即，
又由题知直线的方程为，
所以，得到，所以选项A错误；
对于选项B，联立和，消得到，
由韦达定理得，，所以点的横坐标为，又因为，所以选项B正确；
对于选项C，由选项B知，，所以，又，
所以，又，故点在抛物线上，所以选项C正确；
对于选项D，由抛物线定义知，，,
又由选项B知，，，所以，
又，所以选项D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13.【答案】
【解析】由，，故，
即，当且仅当时等号成立，
故，
当且仅当时等号成立，
令，则有，即，
解得或（舍去），
故，即的取值范围为.
故答案为：.
14.【答案】
【解析】圆化简为标准方程，可得，
∴圆心坐标为，半径，
∵在圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，
∴圆心到直线的距离应小于或等于，
由点到直线的距离公式，得，
∴，整理得，
解得，∵直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
即，由此可得直线的倾斜角的取值范围是.
所以答案应填：.
15.【答案】
【解析】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上，

由题意该四棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为，
则，，，
所以，
设外接球的半径为，，则，
则，解得，，
所以该米斗的外接球的体积为，
故答案为：.
16.【答案】
【解析】由条件可知，
当为偶数时，，因为单调递增，所以单调递增，
所以，所以；
当为奇数时，，因为单调递增，所以单调递减，
所以，所以；
所以，
所以，
故答案为：.
四、解答题
17.（10分）【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）设的公差为，
由题意可得，解得，
所以.
（2）因为，
当，则；
当，则；
综上所述：.
则，
设数列的前项和，
当，则；
当，则；
注意到符合上式，所以.
18.（12分）【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由正弦定理及，得.
因为，所以，
所以，所以.
因为，所以.因为，所以.
（2）由（1）及余弦定理得：，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
设边上的高为，又因为，所以.
即边上高的最大值为.
19.（12分）【答案】(1)证明见解答；
(2)
【解析】（1）证明：如图，连接，
因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，可得，
又平面，平面，
可得平面；
（2）以，所在直线为，轴，过作 的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，
因为ABCD是菱形，，为等边三角形，
不妨设，则，，，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，可得，
不妨取，则，可得.
又，
可得与平面所成角的正弦值为：.
20.（12分）【答案】(1)分布列见解析，；
(2)
【解析】（1）（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，
，，，
∴X的分布列如下：
.
（2）.
∴符合该项指标的学生人数为：人
每个学生通过选拔的概率对，
∴最终通过学校选拔人数，
∴.
21.（12分）【答案】（1）；（2）有，定点.
【解析】（1）把代入中，得
直线的方程：，
即：与联立
得：，
∴，；∴
∴.
（2）设直线AB的方程为：与联立，
得：，
设，
，即
，
∵，∴
∴
整理得：
代入得：
即
∴（舍去），（符合）
∴直线
∴
即动直线AB经过定点.
22.（12分）【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1），，
∴，
又，
∴切线方程为，即.
（2）令，
，
①若，则在上单调递减，又，
∴恒成立，∴在上单调递减，又，
∴恒成立.
②若，令，
∴，易知与在上单调递减，
∴在上单调递减，，
当即时，在上恒成立，
∴在上单调递减，即在上单调递减，
又，∴恒成立，∴在上单调递减，
又，∴恒成立，
当即时，使，
∴在递增，此时，∴，
∴在递增，∴，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
A. eiπ+1=0
B. 12+32i2022=1
C. eix+e−ix≤2
D. −2≤eix−e−ix≤2
X
1
2
3
4
P
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