江苏省徐州市第七中学2024届高三上学期1月调研考试数学试题（学生及教师版）

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一、选择题：
1. 设集合，则满足的集合B的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合A的元素，再根据 推导出集合B.
详解】对于集合A， ，即，
又 ， B可取，共4个；
故选：C．
2. 在等差数列中，若，，则（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解.
【详解】因为是等差数列，设其公差为，
所以，解得，
所以.
故选：B．
3. 命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“充分不必要条件”的定义推导.
【详解】“充分不必要条件”的定义是由结论可以推导出条件，但由条件不能推导出结论，
其中“，”为真命题是结论，可以推出 ， ，
其中 是条件，由 不能推出“，”为真命题，
对于A，B选项，可以推出“，”为真命题，是充分条件；
对于C选项，是既不充分也不必有的条件；
故选：D.
4. 任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A. 1B. C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】现将复数 表示为三角形式，再利用棣莫弗定理求解.
【详解】，
；
故选：B．
5. 已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得函数周期函数，周期为，再结合，求得，，再根据周期性计算即可.
【详解】解：解法一：由①知，的定义域为，
由③为偶函数，则，即
由④知函数满足，
所以，，即
所以，即函数为周期函数，周期为，
因为，
所以，令得，令得，即，
所以.
故选：A
解法二：由③知，图象关于对称，由④知，关于对称，
故选取三角函数，由于①定义域为；②，
故令，满足①②③④，
所以，
故选：A
6. 在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ）
A 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.
【详解】解：由余弦定理得，
即，即，
所以，
∴，当且仅当b=c时等号成立.
因为，
所以，
，
∴，
故选：C．
7. 如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
8. 已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对求导，得出的单调性，可知，可求出的大小，对两边取对数，则，可得，最后比较与大小，即可得出答案.
【详解】，，，
令，解得：；令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，，则，，
，，∴，排除D．
，则，，，∴，排除B．
比较与大小，先比较与大小，
,，
因为，所以
所以在上单调递增，，
所以，所以，
∴，综上.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数，运用函数的单调性可求出的大小，即可判断的大小，的大小，最后构造函数，比较与的大小即可得出答案.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在正方体中，点P满足，则（ ）
A. 若，则AP与BD所成角为B. 若，则
C. 平面D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】与BD所成角为与所成角，为，A错误，建系得到，B正确，故面面，C正确，，D正确，得到答案.
【详解】对选项A：时P与重合，与BD所成角为与所成角，为等边三角形，则AP与BD所成角为，错误；
对选项B：如图建立空间直角坐标系，令，，，，，，，正确；
对选项C：，平面， 平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正确；
对选项D：，，，正确．
故选：BCD
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 若事件，满足，，则
B. 设随机变量服从正态分布，若，则
C. 若事件，满足，，，则与独立
D. 某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件概率公式判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据相互独立事件的定义判断C，根据方差公式判断D.
【详解】对于A：因为，∴，故A正确．
对于B：因为，，则，，故B错误．
对于C：若，则与独立，则与独立，故C正确．
对于D：男生成绩设为，∴，
，
∴．
女生成绩设为，∴，
，
∴．
所以，
则，故D错误．
故选：AC
11. 已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（ ）
A. C的方程为B.
C. 的周长为D. 的内切圆半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.
【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：
，解得，∴双曲线，A正确；
对B，，，，
，∴，B正确；
对C， ，
，，周长，C错误；
对D，令 ，则 ， ，在 中，
，∴，设 周长为l，内切圆半径为r，则 ，
由三角形面积公式知： ，
，D正确；
故选：ABD．
12. 已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（ ）
A. B.
C. 的最大值为0D. 当时，
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用导数几何意义求出切线方程，利用切线斜率和截距相等建立方程，然后利用指对互化判断A、B，由数量积坐标运算化简，判断函数值符号即可判断C，构造函数，利用导数法研究函数的单调性，判断D
【详解】因为，所以，又，所以，
切线：，即，
因为，所以，又，所以，
切线：，即，
由题意切线重合，所以，所以，即，A正确；
当时，两切线不重合，不合题意，
所以，，，
所以，，B正确；
，
当时，，，则，当时，，，
则，，所以，C错误；
设，则，
所以函数在上单调递增，所以，所以，
所以，∴，
记，则，
所以函数在上单调递增，则，所以，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数或对数，朝目标化简.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数则当时，的展开式中的系数为_________．
【答案】270
【解析】
【分析】由分段函数解析式可得，应用二项式定理求出的系数即可.
【详解】时，，，
展开式第项，故时，，
∴的系数270．
故答案为：270
14. 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出四棱台的高，再根据四棱台的体积公式计算.
【详解】
上下底面对角线的长度分别为： ， 高h ，
上底面的面积 ，下底面的面积 ，
四棱台的体积 ；
故答案为： .
15. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.
【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，
又 ，∴ ，令 ，
则 在 的函数图像如下：
所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，
对于 ，即 ，
对于函数，在 时 的值域是 ， ，
对于 ，即 ，
对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；
故答案为： .
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.
【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，
因为D也是AB中点，所以，
，
因为在圆内，所以，∴，
又因为，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
∴两圆有且仅有一个公共点，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前n项和为，已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列满足，，求数列的前14项的和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，结合前项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；
（2）根据（1）得出，结合已知即可得出当为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.
【小问1详解】
，
则，
，得，即，
，即
令中，得，解得，则
是首项为1，公比为2等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，则，
，且，
当为偶数时，，即，
，
，
．
18. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）记 与 的面积分别记为和，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出BD，再运用余弦定理求出 ，再利用两角和公式求解；
（2）先运用余弦定理求出 与 的关系，再根据三角形面积公式求解.
【小问1详解】
∵，∴，
，，
，，
∴
；
【小问2详解】
设，，∴，
∴，∴，①


，
当且仅当，时取最大值 ；
综上， ， 的最大值是 .
19. 2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩统计数据显示，中国队主力队员能够胜任小前锋（SF）大前锋（PF）和得分后卫（SG）三个位置，且出任三个位置的概率分别为，同时，当队员出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，（队员参加所有比赛均分出胜负）
（1）当队员参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积分，负一场积分．本轮比赛球队一共进行场比赛，且至少获胜场才可晋级第二轮，已知队员每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为，求的数学期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合相互独立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的所有可能取值，结合独立重复事件的概率计算公式和条件概率的计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，队员参加比赛时，比赛获胜的概率为.
【小问2详解】
解：根据题意，可得赢3场，负两场积分7；A赢4场负一场积分10；赢5场，积分15分，所以随机变量的所有可能取值为7，11，15，记表示第一轮比赛最终积分为，表示“所在的球队顺利晋级第二轮”，
可得，，
，则，
所以，，
，
所以随机变量的分布列如下表：
期望为．
20. 如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，．
（1）求证：平面平面ACD；
（2）若，，五面体ABCDE的体积为，求平面CDE与平面ABED所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理证明线线平行，得到平行四边形，进而根据线面垂直的判定即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
取AC中点M，连接BM，∵，∴，
又∵平面，平面，∴，
又，平面，
∴平面，取CD中点F，连接MF，EF，
∴且，又∵且，
∴且，
∴四边形BMFE为平行四边形，∴．
∴平面ACD，又∵平面CDE，∴平面平面ACD．
【小问2详解】
过点作，则．
设，∴，
．
由（1）可知两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
如图，∴，
．
设平面CDE与平面ABED的一个法向量分别为，
∴，
，
设平面与平面所成角为θ，
∴，即平面与平面所成角的余弦值为.
21. 已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N．
（1）若A为线段DM的中点，求点A的坐标；
（2）设，的面积分别为，若，求线段OA的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由于A是M，D的中点，设 ，由此推出M的坐标，再根据A，M都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；
(2)设直线DA的方程，再根据A，B的对称性设DB的方程，与椭圆方程联立，求出M，N点的坐标与A，B点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.
【小问1详解】
设，∴
由A，M均在椭圆C上，∴ ，解得 ，，
∴；
【小问2详解】
设DA方程为，，，
，得 ，，
∴，
∴．
同理
∴，∴
，∴；
而 ，∴
【点睛】本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行.
22. 已知函数．
（1）当时，证明：在区间上单调递增；
（2）若函数存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，再令，利用导数法判断的正负即可；
（2）求导，由存在两个不同的极值点，得到存在两个不同的变号零点，再令，用导数法研究其零点即可；
【小问1详解】
解：，令，
则，
当时，，递减；当时，，递增，
∴，
∴在上单调递增．
【小问2详解】
因为，
所以，
∵存在两个不同的极值点，
∴存在两个不同的变号零点，
令，则，
，
令，
，则在上递减，
注意到，
∴当时，，则，递减；
当时，，则，递增，
∴．
要使有两个不同的变号零点，则，解得．
且当时，，当时，，
∴．
综上：，即m的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问在研究的零点时，不仅要其最小值小于0，也要研究和时的情况.7
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