江西省抚州市临川第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）（学生及教师版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ）
A. 93B. 93.5C. 94D. 94.5
2. 已知向量，满足，，则最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 2
3. 过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥体积等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
8. 若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 集合
C. 函数的值域为
D. 在定义域内单调递增
10. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A.
B.
C. 函数在上单调递减
D. 若将函数图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ）
A.
B. 过点的切线方程
C. 对，不等式恒成立
D. 若为函数的极值点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复平面上一个动点Z对应复数z，若，其中i是虚数单位，则向量扫过的面积为____________．
13. 已知实数x，y满足，则的最小值为________．
14. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．
（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
（2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．
16. 设函数，曲线在点处切线方程为.
（1）求；
（2）证明：.
17. 如图，AB是半球O直径，，依次是底面上的两个三等分点，P是半球面上一点，且．
（1）证明：；
（2）若点在底面圆上的射影为中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
18. 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
（1）求证：点E恒在一条定直线L上；
（2）若两直线与L交于点N，，求的值；
（3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
19. 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
（1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
（2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
（3）若是数列，证明：存在正整数，使得.扫码加微信，进微信交流群
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