江西省赣州市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

这是一份江西省赣州市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．若抛物线上的动点M到其焦点F的距离的最小值为1，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．从集合的非空子集中随机选取两个不同的集合A，B，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据：）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知是圆上两点．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。
9．有一组互不相等的样本数据，平均数为．若随机别去其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数
10．如图，点M为正方形ABCD的中心，N为等边的边BE的中点，平面平面ABCD，则（ ）
A． B．
C．平面ADE D．MN与平面ABCD所成的角为
11．若正数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．直线是曲线的切线
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中的系数为__________（用数字作答）．
14．某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为和．若需要的土才能把花台填满，则花台高为__________．
15．己知数列满足，数列是公差为1的等差数列，则_________．
16．己知为椭圆的两个焦点，过的直线与C交于M，N两点．若，则C的离心率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知数列满足．记．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）证明：；
（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．
19．（本小题满分12分）
学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①分别在罚球线处和三分线处投篮，每处有两次投篮的机会；②只有在罚球线处投进一个球，他才可以进行三分线处的投篮，否则不予录取；③他在罚球线处和三分线处各投进一球，则录取，否则不予录取．
已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
（1）求学生甲被录取的概率；
（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为X，求X的分布列及期望．
20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，D为的中点，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，四棱锥的体积为，求平面与平面ABC所成角的余弦值．
21．（体小题满分12分）设双曲线C的中心为坐标原点，渐近线方程为，且C过点．
（1）求C的方程；
（2）设不过原点的直线与C的两支分别交于A，B两点，且的面积为．记，求动点P的轨迹．
22．（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求a和b的值；
（2）若，求m的取值范围．
赣州市2023~2024学年度第一学期期末考试
高三数学参考答案
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．1 15．15 16．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（1）证明：由 1分
可得 3分
因为，
所以表示以1为首项，2为公比的等比数列 4分
（2）解：由（1）得，，可得 5分
记
则 6分
7分
两式相减，可得
8分
即 9分
所以 10分
18．解：（1）山正弦定理及条件得， 1分
整理可得， 2分
又 3分
于是，即 4分
因为，所以
所以或（舍去） 5分
所以 6分
（2）由，可得 8分
又由及正弦定理
可得 9分
解得 10分
由于，所以 11分
所以，所以是直角三角形 12分
19．解：记事件表示“甲在罚球线处投篮，第i次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第i次投进”．
则 1分
（1）设事件C表示“学生甲不被录取”，则 3分
所以 5分
所以学生甲被录取的概率为
（2）X的可能取值为2，3，4 7分
8分
9分
10分
所以X的分布列为
11分
所以 12分
20．（1）证明：设，则E为的中点，
又因为，所以 1分
则由平面平面，可得，平面① …2分
设F为AC的中点，连接FB和FE．
在中，由E和F分别是和AC的中点得，，
又因为，所以
所以四边形BDEF为平行四边形，所以② 3分
由①②可得，平面 4分
又平面ABC，所以平面平面 5分
（2）解：因为，，
所以 7分
由，及平面平面可得
三棱锥的高为 8分
由，F为AC的中点，可得
又，故
从而
解得 9分
所以为正三角形，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系
则
设为平面的一个法向量，由得
令，得， 10分
又为平面的一个法向量，
设平面与平面ABC所成角为，则
11分
故平面与平面ABC所成角的余弦值为 12分
另解：延长交CB于M，连接AM，在中，由知，B是PC的中点，又且，所以
再由平面平面ABC可得，，于是平面与平面ABC所成角是，由四边形为菱形且可得，
21．解：（1）依题意知，双曲线C关于x轴和y轴对称 1分
由渐线方程可设C的方程为 2分
把点代入C的方程得， 3分
故C的方程为 4分
（2）依题意知，，把代入，
可得，
设，则 5分
依题意有，，即① 6分
于是， 7分
原点O到直线的距离②
联立①②，可得 8分
令，则，解得或 9分
当时，，于是，与①矛盾！ 10分
故，即（且） 11分
故P的轨迹是去掉与坐标轴交点的单位圆 12分
22．解：（1）依题意知，当时，，即 1分
又，所以 2分
3分
于是，所以，即 4分
（2）因为，所以原不等式可变为，
记，则上式等价于 5分
6分
记，则 7分
于是在上单调递减 8分
又，所以，
当时，，即；
当时，，即 9分
从而在上单调递增，在上单调递减 10分
故，所以 1分
故m的取值范围是 12分 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
D
C
B
D
题号
9
10
11
12
答案
AC
BC
BCD
ABD
X
2
3
4
P
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