山西省运城市2023-2024学年高三上学期期末调研测试数学试卷

这是一份山西省运城市2023-2024学年高三上学期期末调研测试数学试卷，共12页。试卷主要包含了答题时使用0，关于下列命题中，说法正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
2024.1
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数，则等于（ ）
A.1B.C.2D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知是奇函数，则（ ）
A.B.C.2D.1
4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A.150种B.300种C.720种D.1008种
5.设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A.B.C.D.3
7.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ）
A.B.C.D.0
8.已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A.若事件A、B相互独立，则
B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78
C.已知，，则
D.已知，若，则
10.已知函数，则（ ）
A.的一个周期为2B.的定义域是
C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增
11.如图，正方体的棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的最小值为
B.的最小值为
C.三棱锥的体积为
D.以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
12.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的是（ ）
A.抛物线焦点F的坐标为
B.过点N作抛物线的切线，则切点坐标为
C.在中，若，，则t的最大值为
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若，则____________.
14.在的展开式中，的系数为____________.
15.过原点的动直线l与圆交于不同的两点A，B.记线段的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P的轨迹长度为____________.
16.设，是函数的两个极值点，若，则a的范围为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，D为边上的一点，，且______________，求的面积.
①是的平分线；②D为线段的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
18.（本小题12分）已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和.
19.（本小题12分）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，为圆O的直径.
（1）在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
20.（本小题12分）某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.
（1）若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列；
（2）若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？
21.（本小题12分）已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，，上顶点为B，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且，求k的值.
22.（本小题12分）已知函数，函数的图象在处的切线方程为.
（1）讨论的导函数的零点的个数；
（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.
高三期末数学答案
一、DBCADCCB
二、9.AC10.ACD11.ABD12.CD
三、7
四、解答题：
17.（12分）
（1）由正弦定理知，，（1分）
，（2分）
代入上式得，
，，，（3分）
，.（4分）
（2）若选①：由平分得：，（5分）
，（6分）
即.（7分）
在中，由余弦定理得，
，（8分）
联立，得，
解得，（9分）
（10分）
若选②：得，
，
得，（7分）
在中，由余弦定理得，
，（8分）
联立得，（9分）
（10分）
18.解：（1）由题意，设等比数列的公比为q，
则，，（1分）
，，成等差数列，，（2分）
即（3分）
化简整理得：，解得或，
，数列单调递增，，（4分）
首项，，.（5分）
（2）由（1）知，可得，（7分）
则数列的前20项和为：
（9分）
.（10分）
19.（1）存在，当为圆柱的母线时，.（1分）
证明如下：连接，，，
因为为圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以.（2分）
因为为圆O的直径，所以.（3分）
又，，平面，所以平面，（4分）
因为平面，所以.（5分）
（2）以O为原点，，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系.
如图所示，（6分）
则，，，
因为劣弧的长为，所以，，
则，.（7分）
设平面的法向量，则，
令，解得，，所以.（9分）
因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量.（10分）
所以，（11分）
又二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为.（12分）
20.解：（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为，
于是得，解得，（2分）
X的所有可能值为0，2，3，5，
，，
，，（4分）
所以X的分布列为：
（3）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为，
则，，（6分）
则两人都选择方案A投篮得分和的均值为，
都选择方案B投篮得分和的均值为，（7分）
则，
，（8分）
若，即，解得；（9分）
若，即，解得；（10分）
若，即，解得.（11分）
所以当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；
当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等；
当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大.（12分）
21.解：（1）由题意得，解得，（1分）
又，，故，即，（2分）
又，解得，，（3分）
故椭圆方程为；（4分）
（2）直线l的方程为，，与联立
得：，（5分）
设，则，解得，（6分）
因为点Q在第一象限，所以，解得，（7分）
直线方程为，与联立得，
故，（8分）
中，令得，故，（9分）
因为，
所以，
整理得，（10分）
即，
化简得，解得或，
其中不满足，舍去，满足要求，
故.（12分）
22.（1）由题意得，的定义域为，.
显然当时，恒成立，无零点.（1分）
当时，取.
则，即单调递增，（2分）
又，，
所以导函数存在唯一零点，（3分）
故当时，存在唯一零点，
当时，无零点.（4分）
（2）由（1）知，当时，单调递增，
所以，所以，（5分）
因为，函数的图像在点处的切线方程为.
所以，所以，（6分）
又，所以，所以，（7分）
根据题意，要证，即证，只需证，
令，则，（8分）
令，则，
所以在上单调递增.（9分）
又，，所以有唯一零点.
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增；
所以，（11分）
又因为，所以，所以，
故.（12分）0
2
3
5
（5分）
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