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陕西省汉中市汉台区2024届高三上学期第四次校际联考数学（理）试题（学生及教师版）
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数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则的值为（ ）
A. B. 和C. D.
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 一个路口红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，当你到达路口时，看见黄灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A. 90B. 180C. 220D. 360
6. 已知则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A. B. C. D.
12. 定义在上函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题．
13. 函数是定义在R上的奇函数，且，则______.
14. 已知为第二象限角，满足，则_________．
15. 过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
16. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17. 设等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
18. 大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数．
19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
21. 已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：当时，有两个零点．
（二）选考题：考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出一个参数方程；
（2）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
零件的横截面积
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
043
0.41
3.9
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数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷共4页，答题时间120分钟．
2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则的值为（ ）
A. B. 和C. D.
2. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
3. 一个路口红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，当你到达路口时，看见黄灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）
A. 90B. 180C. 220D. 360
6. 已知则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在长方体中，，，，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 若实数满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．
A. B. C. D.
12. 定义在上函数满足，是偶函数，若在上单调递增，，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题．
13. 函数是定义在R上的奇函数，且，则______.
14. 已知为第二象限角，满足，则_________．
15. 过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
16. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17. 设等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求．
18. 大学生刘铭去某工厂实习，实习结束时从自己制作某种零件中随机选取了10个样品，测量每个零件的横截面积（单位：）和耗材量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
（1）估算刘铭同学制作的这种零件平均每个零件的横截面积以及平均一个零件的耗材量；
（2）求刘铭同学制作的这种零件的横截面积和耗材量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）刘铭同学测量了自己实习期制作的所有这种零件的横截面积，并得到所有这种零件的横截面积的和为，若这种零件的耗材量和其横截面积近似成正比，请帮刘铭计算一下他制作的零件的总耗材量的估计值．附：相关系数．
19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．
21. 已知函数．
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：当时，有两个零点．
（二）选考题：考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.
（1）写出一个参数方程；
（2）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
零件的横截面积
0.03
0.05
0.04
0.07
0.07
0.04
0.05
0.06
0.06
0.05
0.52
耗材量
0.24
0.40
0.23
0.55
0.50
0.34
0.35
0.45
043
0.41
3.9
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