陕西省西安市2024届高三第一次质量检测文科数学试题

这是一份陕西省西安市2024届高三第一次质量检测文科数学试题，共16页。试卷主要包含了若，则“”是“，夹角为钝角”的，荀子《劝学》中说，已知，则的最小值为，若，则，在平面直角坐标系中，点，直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。回答非选择题时，用签字笔直接写在答题卡的相应位置，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非指定区域均无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，且，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．若，则“”是“，夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点，我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过多少天？（参考数据：）（ ）
A．19 B．35 C．45 D．55
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（ ）
A． B． C． D．8
7．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A． B．0 C． D．1
9．已知定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且（其中为的前n项和），则（ ）
A．3 B．0 C． D．6
10．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为BC，AD中点，将沿直线AE翻折成与B、F不重合，连结，H为中点，连结CH，FH，则在翻折过程中，下列说法中不正确的是（ ）
A．CH的长是定值
B．在翻折过程中，三棱锥外接球的表面积为
C．当时，三棱锥的体积为
D．点H到面的最大距离为
12．关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数 B．在区间上单调递减
C．的最小值为2 D．在区间上有两个零点
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某高三年级共有800人，从中随机抽取50人参加比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取．将全体学生进行编号分别为1~800，并按编号分成50组，若第3组抽取的编号为36，则第16组抽取的编号为___________．
14．若函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围是___________．
15．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和__________．
16．已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（1）求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．）
（2）求年销售量y关于年投资额x的回归方程．并预测投资额为700万元时的销售量．（参考：）
参考：
18．（12分）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱BC的中点．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，求点C到平面的距离．
19．（12分）在（1）；（2）；（3）．
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件___________（填写所选条件的序号）．
（1）求角C；
（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值．
20．（12分）已知为双曲线C的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）点A，B在双曲线C上，直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，点Q在直线AB上，若，是否存在定点T，使得为定值？若有，请求出该定点及定值；若没有，请说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的最小值为1，求a．
（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的方程为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）若点在直线l上且，射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q，求对的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合．
西安市2024年高三年级第一次质量检测
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．C 由题得，所以，故．
2．C ，则，对应点的坐标为在第三象限．
3．B 作出不等式组所表示的平面区域．当经过点时，z取得最大值，即．
4．B 若向量夹角为钝角，则且不共线
所以，解得且，所以“”是“向量夹角为钝角”的必要不充分条件．
5．B 设x天后当“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，即，
，．
6．A 如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥即为该几何体．
其中为直角三角形，，所以其面积为；
为等腰三角形，，点C到边BD的距离为4，所以其面积为；
为等腰三角形，，所以点C到边AB的距离为，
所以其面积为；
为等腰三角形，，
所以点C到边AD的距离为，
所以其面积为．
综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为．
7．D 因为，由，得，
所以，当且仅当时，等号成立，
8．B 因为，所以，
即，则
所以
则，即．
9．A ，又是奇函数，是周期为3的周期函数．
又，①
当时，有②，由①-②，得，
即
是首项为，公比为2的等比数列，
，
定义在上的奇函数是周期为3的周期函数，
．
10．D 圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为，
则圆C的方程，设，由，可得，
整理得，则圆与圆有公共点，
则，即，解之得．
11．B 取的中点G，连接GH，GE，则，且，又，且，
所以，且，是平行四边形，，而，故A正确；
对于B，取AE的中点O，连接，所以，即点O为三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
对于C，连接，连接，，即，
所以，即分别为的中点，，．
又M为DE的中点，，
，
又平面，又，
又平面CFH，
，故C正确；
对于D，令点D到面的距离为h，因为H为中点，所以点H到面的距离为．
因为，因为三棱锥的底面积是定值，
所以当平面平面ABE时，三棱锥的体积最大，取AE的中点O，连接，则平面ABE，
所以，即，解得，
所以点H到面的最大距离为，故D正确．故选：B．
12．D 由题知，．所以，所的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为偶函数；故A不正确；
当时，，
因为，所以，所以，
所以在区间上单调递增；故B不正确；
因为，故C不正确；
当时，，令，得，无解；
当时，函数无意义，当时，，
令，得，得无解，当时，函数无意义，
当时，，
令，得，得，得，
当时，函数无意义，当，
令，得得，无解，
当时，函数无意义，当时，，
令，得，得，得，
综上所述：在区间上有两个零点和．故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．详解：800人一共分成50组，每组16人，所以组距为16，系统抽样可以看成是一个组距为16的等差数列，由第三组，得．
答案：244
14．详解：因为，则．
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得．
答案：
15．详解：由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以．所以．
所以．所以，故，
所以数列的前n项和，
答案：
16．详解：圆，圆心，半径，所以，
又椭圆，则，右焦点为，
所以，
又，即，所以，即，
所的最大值为15，最小值为3．则的最大值与最小值之和为18．
答案：18
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．详解：（1）由题意，，，，，，
变量x和y的线性相关程度很强；
（2），
∴年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．
当时，，所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为19.2千件．
18．详解：（1）证明：设．
四边形是菱形，D为棱BC的中点，．
在中，，由，解得．
，即．
，且平面．
平面，且平面ABC．
平面平面平面ABC；
（2）由和（1）知平面ABC，是点到平面ABC的距离．
平面ABC，，则是以为斜边的直角三角形，
，点D为棱BC的中点，，
的面积，的面积．
设点C到平面的距离为h，则．
，解得．点C到平面的距离为．
19．详解：选（1）：，
，
；
选（2）：，
；
选（3）：，
，
；
（2），又，
在三角形BCD中，，当且仅当时取等号，的最小值为．
20．详解：（1）设双曲线C的方程为，
由题意知，解得双曲线C的方程为；
（2）设直线AB的方程为，
，消去y，得，
则，
直线PA方程为，令，则，同理，
由，可得，
,
，即，
当时，，此时直线AB方程为，恒过定点，显然不成立；
，此时直线AB方程为，恒过定点，
，取PE中点T，为定值，
∴存在点使为定值．
21．详解：（1），
所以曲线在点处的切线方程，即．
（2），
令，则，令，则，
当时，，则，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
在上单调递增，且，
所以，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，所以．所以成立，
当时，当时，在上单调递减，，
在上单调递减，
因为，所以在上单调递减，此时，舍去．
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，舍去；
当时，当时，在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增，此时，，舍去，
综上，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
22．详解：（1）由曲线C的参数方程，得曲线C的普通方程为．
即，得曲线C的极坐标方程为；
直线l的极坐标方程为，即；
（2）设点P的极坐标为，点Q的极坐标为，其中．
由（1）知．
．
．
当，即时，取得最小值2．
23．详解：（1）由题意，当时，，函数，
当时，，解得；当时，，无解；
当时，，解得；所以的解集为．
（2）关于x的不等式解集包含，
等价于在恒成立，
因为，所以不等式恒成立．
即在恒成立，即，
又，所以，所以a的取值集合是． x
1
2
3
4
5
y
1.5
2
3.5
8
15
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