四川省成都市树德中学2024届高三上学期期末数学（文）试题（学生及教师版）

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数，对应的点分别是，则的模是（ ）
A. 5B. C. 2D.
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列叙述错误的是（ ）
A. 命题“，”否定是“，”
B. 若幂函数在上单调递增，则实数的值为
C. ，
D. 设，则“”是“”的充分不必要条件
5. 平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（ ）
A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条
6. 如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的绿豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为（ ）
A. 16.32B. 15.32C. 8.68D. 7.68
7. 双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（ ）
A. 3或7B. 7C. 5D. 3
8. 某中学200名教师年龄分布图如图所示，从中随机抽取40名教师作样本，采用系统抽样方法，按年龄从小到大编号为1~200，分为40组，分别为1~5，6~10，…，196~200.若从第4组抽取的号码为18，则样本中40~50岁教师的编号之和为（ ）
A. 906B. 966C. 1506D. 1566
9. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 在区间上的最小值为
B. 为偶函数
C. 图象的对称中心是，
D. 的图象向右平移个单位长度后得到的图象
11. 如图，已知正方体棱长为为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函数，若方程有5个不同的实数根，且最小的两个实数根为，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，，则在方向上的投影数量等于__________．
14. 已知满足约束条件，则最大值为___________．
15. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若点D为抛物线的准线上一点，且，则直线的斜率为___________.
16. 已知中，，一直线分为面积相等的两个部分，且夹在之间的线段为，则长度的最小值为____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 2020年1月15日教育部制定出台了“强基计划”，2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节 .现随机抽取了100名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
（1）求，的值；
（2）估计这100名同学面试成绩的中位数（数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率．
18. 已知数列数列满足， ，其中n∈N*．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和．
19. 已知球内接正四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.
（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知椭圆的离心率为，其上顶点到右顶点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为坐标原点，直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求实数的取值范围.
21. 已知函数，.
（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；
（2）已知，若，函数的最小值为，求的值域.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线有2个公共点，求的取值范围．
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.
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