浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题

这是一份浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
3．设函数（，），则函数的单调性（ ）
A．与a有关，且与b有关B．与a无关，且与b有关
C．与a有关，且与b无关D．与a无关，且与b无关
4．已知等差数列，则是成立的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
5．已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面．若l满足l⊥m，l⊥n，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
6．已知，是单位向量，且它们的夹角是60°．若，，且，则（ ）
A．2B．C．2或D．3或
7．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（ ）
A．关于对称B．为奇函数C．D．为偶函数
11．已知O为坐标原点，曲线：，，为曲线上动点，则（ ）
A．曲线关于y轴对称B．曲线的图象具有3条对称轴
C．D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．则角 ．
13．镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为 ．
14．在四面体P—ABC中，BP⊥PC，，若，则四面体P—ABC体积的最大值是，它的外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，且，求△ABC的面积．
16．（15分）
已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，求实数k的取值范围；
17．（15分）
某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
（1）求X，Y的分布列；
（2）求；
（3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．
：．
18．（17分）
已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积，
②若，异面直线和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）
在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为△s，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即△s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
参考答案
答案：CBDBCDCB
9．BC10．ACD11．ABC
12．60°13．1/314．
11．【解析】
将x用替换代入方程，方程不变，故曲线关于y轴对称，A正确；
令，，代入整理可得，
其中，为点所在终边对应的角度，且，
因为，故，
因为曲线关于y轴对称，故对应的图象关于轴（即y轴对称）对称，
注意到关于的周期为，
故曲线也关于和（即）对称，
故B选项正确；
，C正确；
，D错误；
综上，选ABC．
C另解：，该方程关于有解，由实根分布可知．
D另解：，
解得．
15．解：
（1）由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，又，故；
（2）因为，所以，则，
即，又，所以．
因为△ABC的外接圆半径，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以．
16．
（1）
（2）由恒成立得
17．【解析】
（1），，．
（2）；
（3）；
，
因为，故选择方案二．
18．解：
（1）由椭圆的定义知：，，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①由直线l：与，
联立求得，（因为点A在x轴上方）以及，
，，
②由，，故，
O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，．
记异面直线和所成角为，则；
②设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为A＇，B＇，，，
将直线l方程与椭圆方程联立，得，
，，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；
，，
所以，（ⅰ）
又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以．
另解：设，
由三余弦定理可知，，在三角形中，由余弦定理
联立解出，
19．【解析】
（1）．
（2），，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
则，
（自行补证（））
则在递增，
又，，故，
故．
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