2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为( )
A. 0.3×10−6B. 3×10−6C. 3×10−7D. 3×107
2.下列三个分式12x2，5x−14(m−n)，3x的最简公分母是(
A. 4x(m−n)B. 2x2(m−n)C. 14x2(m−n)D. 4x2(m−n)
3.下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. 12B. 5 3C. 8aD. 0.3
4.若a2=b3≠0，则a+ba−2b的值是( )
A. 45B. −45C. 54D. −54
5.化简： 54× 12+ 12的结果是( )
A. 5 2B. 6 3C. 3D. 5 3
6.如图，点C所表示的数是( )
A. 5B. − 3C. 1− 5D. − 5
7.若 (x−3)2=3−x成立，则x满足得条件( )
A. x≥3B. x≤3C. x>3D. x<3
8.已知命题；①若a>b，则a2>b2；②若a≠2，则(a−2)0=1；③两个全等的三角形的面积相等；④三条边对应相等的两个三角形全等.上述命题的逆命题为真命题的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
9.若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤1且m≠−1B. m≥−1且m≠1
C. m<1且m≠−1D. m>−1且m≠1
10.已知xx2+1=13，则x2x4+x2+1的值是( )
A. 18B. 8C. 16D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在实数范围内分解因式：3a2−18= ______．
12.已知5x=3，5y=2，则52x−3y= ______．
13.若 x+1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14.若2m−n=3，则4−4m+2n= ______．
15.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为______m.
16.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.若AB= 5，∠CED=∠CDE，则△CDE的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(−13)−2+ ( 2−2)2+ 8−(π−2024)0．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1+4x−3)÷x2+2x+12x−6，其中x= 2−2．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC的值．
20.(本小题7分)
已知：x= 3−1 3+1，y= 3+1 3−1．
(1)求x+y的值．
(2)求xy+yx+2的值．
21.(本小题7分)
如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
22.(本小题8分)
有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：
(1)新能源车的每千米行驶费用是______元；(用含a的代数式表示)
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CB于点E，AD=3，BD=163，CD=4．
(1)求证：∠ACB=90°；
(2)求点E到AB边的距离．
24.(本小题20分)
压轴题
(1)已知x，y，z为△ABC的三边长，且有( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz).试判断△ABC的形状并加以证明．
(2)已知x，y满足xy+3y−x−10=0，且x，y都是整数，求x的值．
(3)在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)，B(−4,0)，在y轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形，求C点的坐标.(画图，在图上标出坐标)
(4)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，AB=3 2，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．
(5)我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”.如M=2x2−x+6与N=−2x2+x−1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5.已知关于x的多项式C=mx2+8x+2与D=−m(x+1)(x+n)互为“对消多项式”，“对消值”为t.若a−b=m，b−c=mn，求代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc+2t的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7．
故选：C．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n(1≤|a|<10,n是正整数)，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法−表示较小的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
2.【答案】D
【解析】解：∵三个分式的分母分别是2x2、4(m−n)、x，
∴最简公分母是4(m−n)x2．
故选：D．
根据各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母解答．
本题考查的是最简公分母的定义与确定最简公分母的方法，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A选项，原式= 22，故该选项不符合题意；
B选项，5 3是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式=2 2a，故该选项不符合题意；
D选项，原式= 3010，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：设a2=b3=k，
∴a=2k，b=3k，
∴a+ba−2b=2k+3k2k−6k=5k−4k=−54，
故选：D．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解： 54× 12+ 12= 27+2 3
=3 3+2 3=5 3．
故选D．
先做二次根式的乘法，再把二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式．
此题关键是先把二次根式化简，再合并同类二次根式．
6.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABO中，AB= OB2+OA2= 22+12= 5，
∴AC=AB= 5，
∵OC=AC−AO
∴OC= 5−1，
∴C表示的数是−( 5−1)=1− 5，
故选C．
数轴上的数，就是离开原点的距离加性质符号，因为AC=AB= 5，所以OC=AC−AO= 5−1，C表示的是负数，也就是−( 5−1)，去掉括号选C．
本题考查数轴上的有理数，关键要了解有理数分两部分，一是性质符号，二是绝对值．
7.【答案】B
【解析】解：∵ (x−3)2=|x−3|=3−x，
∴x−3⩽0，解得x≤3．
故选：B．
利用二次根式的性质得到 (x−3)2=|x−3|=3−x，利用绝对值的意义得到x−3⩽0，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①若a2>b2，则a可能大于b，也可能小于b，故①不符合题意；
②若(a−2)0=1，则a≠2，正确，故②符合题意；
③面积相等的三角形不一定全等，故③不符合题意；
④全等三角形的对应边相等，正确，故④符合题意．
∴上述命题的逆命题为真命题的个数是2个．
故选：C．
由零指数幂成立的条件，全等三角形的判定和性质，实数的大小比较方法，即可判断．
本题考查命题与定理，零指数幂，全等三角形的判定和性质，实数的大小比较，掌握以上知识点是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：xx−1+1=m1−x，
两边同乘(x−1)，去分母得：x+x−1=−m，
移项，合并同类项得：2x=1−m，
系数化为1得：x=1−m2，
∵原分式方程的解为非负数，
∴1−m2≥0，且1−m2≠1
解得：m≤1且m≠−1，
故选：A．
解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x=1−m2是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵xx2+1=13，
∴x2+1=3x，
即x2−3x+1=0，
∴x≠0，
∴方程两边都除以x得，x−3+1x=0，
即x+1x=3，
∴x4+x2+1x2
=x2+1+1x2
=(x+1x)2−2+1
=32−2+1
=8，
∴x2x4+x2+1=18，
故选：A．
先把已知条件变形为x+1x=3，再求x4+x2+1x2的值，然后求其倒数即可．
本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键．
11.【答案】3(a+ 6)(a− 6)
【解析】解：3a2−18
=3(a2−6)
=3(a+ 6)(a− 6).
故答案为：3(a+ 6)(a− 6).
首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】98
【解析】解：∵5x=3，5y=2，
∴52x−3y
=(5x)2÷(5y)3
=32÷23
=9÷8
=98．
根据同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方法则进行计算即可．
本题考查的是同底数幂的除法法则、幂的乘方及积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
13.【答案】x≥−1且x≠1
【解析】解：由题意，得
x+1≥0且x−1≠0，
解得x≥−1且x≠1，
故答案为：x≥−1且x≠1..
根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式组是解题关键．
14.【答案】−2
【解析】解：∵2m−n=3，
∴4−4m+2n
=4−2(2m−n)
=4−2×3
=−2，
故答案为：−2．
把代数式4−4m+2n变形为4−2(2m−n)，然后整体代入求值即可．
本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入思想求值是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为(x+2)米，
由勾股定理得，(x+2)2=x2+62，
解得x=8．
答：旗杆的高度是8米
故答案为：8
根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
16.【答案】32
【解析】解：如图，∵∠CED=∠CDE，
∴CE=CD，
∵∠CFE=∠CGD=90°，DG=CF，
∴Rt△CEF≌Rt△DCG(HL)，
∴EF=CG，
∴AE=EH=EF=BF=CG=FG，
∵AB2=AE2+BE2=AE2+(2AE)2=( 5)2，
∴AE=1，BE=2，
∴EH=DH=1，
∴DE= 2，
连接CH交DE于M，
∴CH垂直平分DE，
∴DM=12DE= 22，∠CMD=90°，
∴CM= CD2−DM2=3 22，
∴△CDE的面积为12DE⋅CM=12× 2×3 22=32，
故答案为：32．
根据等腰三角形的性质得到CE=CD，根据全等三角形的性质得到EF=CG，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正方形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：(−13)−2+ ( 2−2)2+ 8−(π−2024)0
=9+2− 2+2 2−1
=10+ 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：原式=x−3+4x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=x+1x−3⋅2(x−3)(x+1)2
=2x+1，
当x= 2−2时，原式=2 2−2+1=2 2−1=2( 2+1)=2 2+2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵AB=3，BD=2，
∴AD= AB2−BD2= 32−22= 5，
又∵∠ADC=90°，
∴AC= AD2+CD2= ( 5)2+12= 6，
∴AC的值是 6．
【解析】首先在Rt△ABD中，根据AB=3，BD=2，应用勾股定理，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ACD中，根据AD、CD的长度，应用勾股定理，求出AC的值是多少即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20.【答案】解：(1)∵x= 3−1 3+1=( 3−1)22=2− 3，y= 3+1 3−1=( 3+1)22=2+ 3，
∴x+y=2− 3+2+ 3=4；
(2)∵x+y=4，xy=(2+ 3)(2− 3)=1，
∴原式=x2+y2+2xyxy=(x+y)2xy=421=16．
【解析】(1)先分母有理化得到x=2− 3，y=2+ 3，然后计算它们的和即可；
(2)先计算出xy=1，再通分得到原式=(x+y)2xy，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
21.【答案】解：(1)学校会受到噪音影响，理由如下：
如图，过点A作AB⊥MN于点B，

∵AP=120米，∠QPN=30°，
∴AB=12AP=12×120=60(米)，
∵60米<100米，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪音影响；
(2)设从点E开始学校受到影响，点F结束，则AE=AF=100米，
∵AB⊥MN，
∴BE=BF，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE= AE2−AB2= 1002−602=80(米)，
∴EF=2BE=2×80=160(米)，
∵消防车的速度为8米/秒，
∴学校受影响的时间为1608=20(秒)．
【解析】(1)过点A作AB⊥MN于B，由含30°角的直角三角形的性质得AB=12AP=60米，再比较即可；
(2)设从点E开始学校受到影响，点F结束，则AE=AF=100米，由等腰三角形的性质得BE=BF，再由勾股定理求出BE=80米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】48a
【解析】解：(1)根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：80×0.6a=48a(元)；
故答案为：48a；
(2)∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，
50×7.2a−48a=0.52，
解得：a=600，
∴50×7.2600=0.6(元)，
48600=0.08(元)，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.08元；
②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题可得，
0.6x+4600>0.08x+7200，
解得：x>5000，
答：每年行驶里程超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
(1)根据表中数据，每千米行驶费用=电池电量×电价÷续航里程即可求解；
(2)①由题意可得，由燃油车的每千米行驶费用−新能源车每千米行驶费用=0.52即可求解；
②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题意可列出关于x的不等式，求解即可．
本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
23.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵AD=3,BD=163,CD=4，
∴AC= AD2+CD2=5，BC= CD2+BD2=203，
∵AB2=(AD+BD)2=6259，
∴AC2+BC2=25+4009=6259=AB2，
∴∠ACB=90°；
(2)解：过点E作EF⊥AB，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EF，
∵S△ABC=12×AC×CE+12×AB×EF=12×AC×BC，
∴5×EF+253×EF=5×203，
解得：EF=52，
即点E到AB的距离为52．
【解析】(1)根据勾股定理求出AC，BC，再求出AB2，根据AC2+BC2=AB2，即可证明结论；
(2)过点E作EF⊥AB，根据角平分线的性质得到CE=EF，利用两种方法表示出△ABC的面积，得到方程，即可求出EF．
本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理证明直角三角形．
24.【答案】解：(1)∵( x+ y+ z)2=3( xy+ xz+ yz)．
∴x+y+z+2 xy+2 xz+2 yz=3 xy+3 yz+3 xz，
∴x+y+z− xy− xz− yz=0，
∴2x+2y+2z−2 xy−2 xz−2 yz=0，
∴( x− y)2+( x− z)2−( y− z)2=0，
∴ x− y=0， x− z=0， y− z=0，
∴x=y，x=z，y=z，
∴x=y=z，
∴△ABC是等边三角形；
(2)∵xy+3y−x−10=0，
∴y=x+10x+3=1+7x+3，
∵x，y是整数，
∴x=−2或10或4或−4；
(3)如图，

∵A(0,3)，B(−4,0)，
∴AB=5，
设C(0,a)，
①当AB=AC=5时，a=8或−2，
∴C(0,8)或(0,−2)；
②当AB=BC=5时，OA=OC，
∴C(0,−3)；
③当AC=BC时，点C在AB的垂直平分线上，过点C作CD⊥AB，
∴AD=BD=52，
∴∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△ADC，
∴ACAB=ADAO，即AC5=523，
解得AC=256，
∴OC=256−3=76，
∴a=−76
∴C(0,−76)；
综上所述，点C的坐标为(0,8)或(0,−2)或(0,−3)或(0,−76)；
(4)分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，
此时△BEF的周长最小，最小值为MN，延长AB，过点M作MH⊥AB，

∵AB=3 2，BC=1，
∴BM=2，BN=6 2，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBM=45°，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BH=HM= 2，
∴HN=7 2，
在Rt△HMN中，MN= HN2+HM2=10，
∴△BEF周长的最小值为10；
(5)∵C=mx2+8x+2和D=−m(x+1)(x+n)=−mx2−(mn+m)x−mn；
∴C+D=(8−mn−m)x+(2−mn)，
∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t，
∴8−mn−m=0，t=2−mn，
∴mn+m=8，mn=8−m，
∵a−b=m，b−c=mn，
∴a−c=(a−b)+(b−c)=m+mn=8，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac+2t
=12[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2]+2t，
，=12[m2+(mn)2+82]+2(2−mn)，
=12[m2+(8−m)2+8]+2(2−8+m)，
=m2−6m+52，
=(m−3)2+43≥43．
答：代数式a2+b2+c2−ab−bc−ac+2t的最小值是43．
【解析】(1)对式子进行变形，得出x=y=z即可解答；
(2)先用含x的式子表示y，再分类讨论即可解答；
(3)根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可求解；
(4)分别作点B关于AD，CD的对称点M，N，连接MN交AD，CD于点E，F连接BE，BF，此时△BEF的周长最小，延长AB，过点M作MH⊥AB，构造直角三角形，利用勾股定理即可解答；
(5)先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得8−mn−m=0.t=2−mn.a−c=m+mn=8，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可．
本题考查整式的运算，乘法公式，等腰三角形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．燃油车
新能源汽车
油箱容积：50升
电池容量：80千瓦时
油价：7.2元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：50×7.2a元
每千米行驶费用：_____元