数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案

这是一份数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案，共25页。学案主要包含了考纲解读，知识精讲，探导考点，典例解析，雷区警示，追踪考试，解题思路，详细解答等内容，欢迎下载使用。
理解全称量词，存在量词，全称命题和特称命题的定义；
掌握写出全称命题，特称命题否定命题的基本方法，能够对给出的全称命题（或特称命题）正确写出其否定命题。
【知识精讲】
二、全称量词与存在量的定义：
1、全称量词与全称命题的定义：
【问题】认真观察，分析下列命题，然后回答后面的思考问题：
（1）对所有的xR，x＞3；
（2）对任意一个xZ，2x+1是整数；
（3）所有的质数是奇数；
（4）对任意的xR，都有+1≥1；
（5）对每一个无理数x，也是无理数。
『思考问题』
上面命题的共同特点是什么？
（1）全称量词的定义：短语“所有的”，“任意一个”，“任取xR”，“每一个”在简易逻辑中叫做全称量词，用符号“”表示；
（2）全称命题的定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题；
（3）全称命题的一般结构形式：设含有变量x的语句为p（x），变量x的取值范围为M，它的一般结构形式为对任意的xM，都有p（x）成立。
2、存在量词与特称命题：
【问题】认真观察，分析下列命题，然后回答后面的思考问题：
（1）存在一个R，使2+1=3；
（2）至少有一个Z，能被2和3整除；
（3）有一个实数，使+2+3=0；
（4）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（5）有些整数只有两个正因数。
『思考问题』
上面命题的共同特点是什么？
（1）存在量词的定义：短语“存在一个”，“至少有一个”，“存在R”在逻辑中叫做存在（或特称）量词，用符号“”表示；
（2）特称命题的定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题；
（3）特称命题的一般结构形式：设含有变量x的语句为p（x），变量x的取值范围为M，
它的一般结构形式为存在一个M，使p（x） 成立。
二、全称命题，特称命题和含有一个量词命题否定的基本方法：
1、含有一个量词命题否定的基本方法：
【问题】写出下列全称命题或特称命题的否命题，并判断真假：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个质数都是奇数；
（3）x∈R，-2x+1≥0； （4）所有能被3整除的整数都是奇数；
（5）每一个四边形的四个顶点共圆； （6）对任意的xZ，的个位数字不等于3；
（7）存在一个R，使2+1=3； （8）至少有一个Z，能被2和3整除；
（9）有一个实数，使+2+3=0； （10）存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（11）有些整数只有两个正因数。
『思考问题』
【问题】中（1），（2），（3），（4），（5），（6）命题的共同特征是什么？它们都是 命题；
（7），（8），（9），（10），（11）命题的共同特征是什么？它们都是 命题。
（1）全称命题否定的基本方法是：①把全称命题中的全称量词改为存在量词；②否定命题是结论；③得出全称命题的否定命题；
（2）特称命题否定的基本方法：①把特称命题中的存在量词改为全称量词；②否定命题是结论；③得出特称命题的否定命题；
2、含有一个量词命题否定的基本规律：
含有一个量词命题否定的基本规律是：全称命题的否定命题是特称命题，特称命题的否定命题是全称命题。
【探导考点】
考点1含有一个量词命题真假的判断：热点①判断全称命题（或特称命题）的真假；热点②已知全称命题（或特称命题）的真假，求命题中参数的值（或取值范围）。
考点2含有一个量词命题的否定：热点①含有全称量词命题的否定；热点②含有存在量词命题的否定。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、“各位数字之和能被3整除的数是3的倍数”是（ ）
A 假命题 B 全称命题 C 特称命题 D 无法判断
2、下列命题为特称命题的是（ ）
A 奇函数的图像关于原点对称 B正四棱柱都是平行六面体
C存在实数大于5 D不相交的两条直线是平行直线或异面直线
3、下列命题中正确的是（ ）
AR，使得＜ BaR，使直线ax+y+a-2=0与圆+=9相切CxR，都有x+1 DxR，方程+x+1=0
4、下列命题中的假命题是（ ）
Ax ∈R，＞0 Bx∈，＞0
Cx∈R，lgx＜1 Dx∈R，tanx=2
5、以下四个命题：①x ∈R，-3x+2＞0恒成立；②x∈Q，=2,；③x∈R，+1=0,；④x ∈R，4>2x-1+3，其中真命题的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
『思考问题1』
【典例1】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称量词，存在量词的辨别；②全称命题，特称命题真假的判断；
全称量词，存在量词辨别的基本方法是：①正确理解全称量词，存在量词的定义，注意其结构特征；②根据全称量词，存在量词的结构特征进行分辨；
（3）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列特称命题中，真命题的个数是（ ）
①存在实数x，使得+1=0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既不是奇函数也不是偶函数。
A 0 B 1 C 2 D 3
2、下列命题中，真命题是（ ）
AmR，使函数f(x)= +mx（xR）是偶函数BmR，使函数f(x)= +mx（xR）是奇函数CmR，函数f(x)= +mx（xR）都是偶函数DmR，函数f(x)= +mx（xR）都是奇函数
3、下列命题中的假命题是（ ）
AxR，lgx=0 BxR，＞0 CxR，2-=1 DxR，＞0
4、下列四个命题：：x（0，+），＜；：x（0，1），x＞x；：x（0，+），＞x；：x（0，），＜x。其中真命题是（ ）
A ， B ， C ， D ，
5、下列命题中的假命题是（ ）
AR，ln=0 BR，tan= CxR, ＞0 DxR, ＞0
【典例2】解答下列问题：
已知函数f(x)=ln（+1），g(x)=-m，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是（ ）
A [，+） B （-，] C [，+） D （-，-]
已知函数f(x)=ln（+1），g(x)=-m，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是 。
3、已知函数f(x)=x+，g(x)=+a，若x[，3]，[2，3]，使得f()
≥g()，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，1] B [1，+） C （-，0] D [0，+）
『思考问题2』
【典例2】是已知含有一个量词命题的真假，求命题中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解全称量词，存在量词，全称命题和特称命题的定义，掌握判断全称命题（或特称命题）真假的基本方法；
解答已知含有一个量词命题的真假，求命题中参数的值（或取值范围）的问题的基本方法是：①根据全称量词和存在量词的性质，运用判断含有一个量词命题的真假的基本方法，结合问题条件得到关于参数的方程（或不等式）；②求解方程（或不等式）求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习2〕解答下列问题：
已知函数f(x)=-2x+3，g(x)=x+m，若，[0，3]，使得f()>g()恒成立，则实数m的取值范围是 。
已知命题“R，使2+（a-1）+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，-1） B （-1，3） C （-3，,+） D （-3，1）
已知函数f(x)=lnx-（a>0），若R，使得[1，2]，都有f()0
C xR， +x-1>0 D R，+-1≥0
3、已知命题“xR，+2ax-3a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2022级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
A [-3，0] B （-3，0） C [-12，0] D （-12，0）
4、下列命题错误的是（ ）（成都市高2022级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
A 若a>0，且a1，则x >0，y>0 ，x.y =(xy)
B 若a>0，且a1，则x >0，y>0 ，（x+y） =x+y
C 函数y=lnx+的最小值为10 D 若a>b>1,则>1
5、命题“xR，+2>0”的否定是（ ）（成都市2019级高三三珍）
A R，+20 BxR，+20 CR，+2>0 D R，+22x-1+3，-2x+1>0，当x=1时，-2x+1=0，命题④是假命题，综上所述，四个命题都是假命题，没有真命题，A正确，选A。
『思考问题1』
【典例1】是与全称量词，存在量词相关的问题，这类问题主要包括：①全称量词，存在量词的辨别；②全称命题，特称命题真假的判断；
全称量词，存在量词的辨别的基本方法是：①正确理解全称量词，存在量词的定义，注意其结构特征；②根据全称量词，存在量词的结构特征进行分辨；
（3）全称命题，特称命题真假判断的基本方法与简单命题真假的判断类似可以运用已有的定义，定理，公理和哲理进行判断；
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列特称命题中，真命题的个数是（ ）（答案：B）
①存在实数x，使得+1=0；②有些角的正弦值大于1；③有些函数既不是奇函数也不是偶函数。
A 0 B 1 C 2 D 3
2、下列命题中，真命题是（ ）（答案：A）
AmR，使函数f(x)= +mx（xR）是偶函数BmR，使函数f(x)= +mx（xR）是奇函数CmR，函数f(x)= +mx（xR）都是偶函数DmR，函数f(x)= +mx（xR）都是奇函数
3、下列命题中的假命题是（ ）（答案：B）
AxR，lgx=0 BxR，＞0 CxR，2-=1 DxR，＞0
4、下列四个命题：：x（0，+），＜；：x（0，1），x＞x；：x（0，+），＞x；：x（0，），＜x。其中真命题是（ ）（答案：D）
A ， B ， C ， D ，
5、下列命题中的假命题是（ ）（答案：C）
A∈R，ln=0 B∈R，tan= Cx∈R, ＞0 Dx∈R, ＞0
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln（+1），g(x)=-m，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是（ ）
A [，+） B （-，] C [，+） D （-，-]
【解析】
【知识点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③判断含义一个量词命题或真假的基本方法。
【解题思路】根据求出命题和特称命题的性质，运用判断含义一个量词命题真假的基本方法，结合问题条件得到关于m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当x[0，3]时，=f(0)=0，当x[1，2]时，=g(2)=-m，
≥，0≥-m，m≥，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是 [，+），A正确，选A。
2、已知函数f(x)=ln（+1），g(x)=-m，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是 。
【解析】
【知识点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③判断含义一个量词命题或真假的基本方法。
【解题思路】根据求出命题和特称命题的性质，运用判断含义一个量词命题真假的基本方法，结合问题条件得到关于m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当x[0，3]时，=f(0)=0，[1，2]时，=g(1)=-m，
≥，0≥-m，m≥，若x[0，3]，[1，2]，使得f()
≥g()，则实数m的取值范围是 [，+）。
3、已知函数f(x)=x+，g(x)=+a，若x[，3]，[2，3]，使得f()
≥g()，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，1] B [1，+） C （-，0] D [0，+）
【解析】
【知识点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③判断含义一个量词命题或真假的基本方法。
【解题思路】根据求出命题和特称命题的性质，运用判断含义一个量词命题真假的基本方法，结合问题条件得到关于m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当x[，3]时，f(x)=x+≥2≥4，=4，当x[2，3]时，=g(2)=4+a，≥，4≥4+a，a≤0，若x[，3]，[2，3]，使得f()≥g()，则实数a的取值范围是（-，0] ，C正确，选C。
『思考问题2』
【典例2】是已知含有一个量词命题的真假，求命题中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要理解全称量词，存在量词，全称命题和特称命题的定义，掌握判断全称命题（或特称命题）真假的基本方法；
解答已知含有一个量词命题的真假，求命题中参数的值（或取值范围）的问题的基本方法是：①根据全称量词和存在量词的性质，运用判断含有一个量词命题的真假的基本方法，结合问题条件得到关于参数的方程（或不等式）；②求解方程（或不等式）求出参数的值（或取值范围）；③得出问题解答的结果。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=-2x+3，g(x)=x+m，若，[0，3]，使得f()>g()恒成立，则实数m的取值范围是 。（答案：实数m的取值范围是（-，0））
2、已知命题“R，使2+（a-1）+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，-1） B （-1，3） C （-3，,+） D （-3，1） （答案：B）
3、已知函数f(x)=lnx-（a>0），若R，使得[1，2]，都有f()0 D R，+-1≥0
【解析】
【考点】①全称命题定义与性质；②特称命题定义与性质；③不等式解定义与性质。
【解题思路】根据全称命题，特称命题和不等式解的性质，确定出命题“xR，+x-1≤0”的否命题就可得出选项。
【详细解答】命题“xR，+x-1≤0”是全称命题，其否命题是特称命题，可以排除C；一个命题的否命题，其结论也要否定，可以排除A，D，B正确，选B。
3、已知命题“xR，+2ax-3a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2022级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
A [-3，0] B （-3，0） C [-12，0] D （-12，0）
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题和一元二次函数的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】命题“xR，+2ax-3a>0”为真命题，=4+12a=4a(a+3)0 ，x.y =(xy)
B 若a>0，且a1，则x >0，y>0 ，（x+y） =x+y
C 函数y=lnx+的最小值为10 D 若a>b>1,则>1
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②命题定义与性质；③判断命题真假的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据对数和命题的性质，运用判断命题真假和求函数最值的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，x =y=1>0 ，1.1 =00=0=(11) =1=0，A正确；对B，对x >0，y>0 ，x+y =(xy)（x+y）， B错误；对C，当00 D R，+20”的否定就可得出选项。
【详细解答】全称命题“xR，+2>0”的否定是特称命题，可以排除B，D；命题的否定是条件和结论同时否定，可以排除C，A正确，选A。
6、命题“x＞0, +x+1＞0”的否定为（ ）（2021成都市高三二诊）
A 0，++10 B x0, +x+10
C ＞0，++10 D x＞0, +x+10
【解析】
【考点】①全称命题的定义与性质；②特称命题的定义余性质；③命题否定的基本方法。
【解题思路】根据全称命题的性质和命题否定的基本方法，运用特称命题的性质写出命题“x＞0, +x+1＞0”否定之后的命题就可得出选项。
【详细解答】命题“x＞0, +x+1＞0”是全称命题，它的否定应该是特称命题，选项B，D错误，可以排除；命题的否定只否定结论，A错误，可以排除，C正确，选C。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试或成都市高一期末考试）试卷中涉及全称量词与存在量词的问题，归结起来主要包括：①判断含义一个量词命题的真假；②已知含义一个量词命题的真假，求命题中参数的值（或取值范围）；③含义一个量词命题的否定等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪一种类型；②运用解答该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知命题p：x∈R, -≥1，则p为（ ）（2020成都市高三一诊（文））
A xR, -