浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年八年级第一学期数学期中考试试卷

这是一份浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年八年级第一学期数学期中考试试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1．下列标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．5，5，11C．5，6，11D．6，8，13
3．如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ）
A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1
4．下列能说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．8B．7C．6D．4
5．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，点D为AB的中点，AB=6，则CD=（ ）
A．3.5B．3C．4D．6
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=3，则D到AB的距离是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是（ ）
A．14B．15C．16D．14或16
8．若关于x的一元一次不等式(m－2)x≥m－2的解为x≤1，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2B．m≤2C．m＞2D．m≥2
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（ ）
A．40°B．36°C．30°D．25°
10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1.5，延长BC至E，使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连结DE，则DE的长为（ ）
A．910B．65C．85D．95
二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)
11．在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，则∠C= .
12．“x的3倍与5的差大于9”用不等式可表示为 .
13．如图，已知OA=OB，请你添加一个条件 ，使得△AOC≌△BOD（添一个即可）.
14．已知a＜b，则2a－2 2b－2.（用“＞”、“＜或＝”填空）
15．已知关于x的不等式0.5x＞3a－2.5x.若不等式的最小负整数解为x=－7，则a的取值范围是 .
16．如图，已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC.
（1）BD= ；
（2）若点P在线段AD上运动，则12AP+BP的最小值是 .
三、解答题（本题有8小题,第17～19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分,各小题都必须写出解答过程）
17．解下列不等式（组）：
（1）3x－2≤2x
（2）3x+2＞x4x≥3（x−1）
18．如图，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF.
求证：△ABC≌△DEF
19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为边作等边△BCD.
（1）用无刻度的直尺和圆规作AB边上的中线(保留作图痕迹)；
（2）仅用无刻度的直尺作∠BDC的角平分线.
20．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E.
（1）求证：△BOD为等腰三角形；
（2）若BD=6，DE=11，求EC的长.
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线l上，分别过点A，点B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E.
（1）求证：BE=CD；
（2）延长AB交直线l于点F，若BF=BC，AD=3，求CF的长.
22．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球.已知篮球的单价比足球的单价多30元，购买1个篮球和1个足球共需费用210元.
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元.那么有哪几种购买方案.
23．背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型.现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连结起来的两条线段叫做“兄弟”线段.
例如：如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，证得△ADB≌△AEC.此时线段DB和线段EC就是一对“兄弟”线段.
（1）[材料理解]请判断上例中“兄弟”线段DB和EC的大小关系，并说明理由；
（2）[深入探究]如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°.连接AD，若AC=2，AD=1，∠DAC=45°，求AE的长；
（3）[延伸应用]如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P是△ACB外一点，∠APC=75°，PC=42，AP=8，求线段BP的长.
24．如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=4，BO=6.
（1）求BC，AC的长；
（2）若点D是射线OB上的一个动点，作直线DE⊥AC于点E，直线DE与直线BC交于点F.
①如图1，当点D在线段OB上时，求证：△BDF是等腰三角形；
②连结OF，CD，若S△OBF：S△OBC=1：2，求CD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，则本项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，则本项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，则本项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠 ，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，则本项不满足三角形三边关系定理，即无法组成三角形，本项不符合题意；
B、∵5+5<11，则本项不满足三角形三边关系定理，即无法组成三角形，本项不符合题意；
C、∵5+6=11，则本项不满足三角形三边关系定理，即无法组成三角形，本项不符合题意；
D、∵6+8>13，13−6<8，则本项满足三角形三边关系定理，即可以组成三角形，本项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系定理：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐项分析即可.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意，得： x<1 ，
故答案为：A.
【分析】据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵8是偶数且是4的倍数，∴不能作为反例，则本项不符合题意；
B、∵7不是偶数，且不是4的倍数，∴不能作为反例，则本项不符合题意；
C、∵6为偶数，且不是4的倍数，∴可以作为反例，则本项符合题意；
D、∵4是偶数且是4的倍数，∴不能作为反例，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，据此逐项分析即可.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，且点D为AB的中点，
∴CD=12AB=3，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如下图：
∵BD平分∠ABC，CD⊥CB，DE⊥AB，
∴CD=DE=3，
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE=3，从而即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：当4为腰时
∵4+4=8＞6
∴此三角形的周长为2×4+6=14；
当6为腰时，
6+6=12＞4，
∴此三角形的周长为2×6+4=16；
∴此三角形的周长为14或16.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系定理分情况讨论：当4为腰时；当6为腰时，分别求出此三角形的周长.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次不等式(m－2)x≥m－2的解为x≤1，
∴m−2<0，
∴m<2.
故答案为：A.
【分析】由不等式的性质知：不等式两边同除以m−2，不等式的符号发生改变，则m-2＜0，据此即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故答案为：B.
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，由CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，由BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点F，如下图：
∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∴BF=DF，∠BFC=90°，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=52，
设CF=m，则AF=52−m，
∵BF2=AB2−AF2=BC2−CF2，
即22−52−m2=322−m2，
解得：m=910，
∴CF=910，
∵CE=BC，
∴CF为△BED的中位线，
∴DE=2CF=95，
故答案为：D.
【分析】连接BD交AC于点F，根据折叠的性质得到：AB=AD，∠BAC=∠DAC，根据勾股定理求出AC的长，设CF=m，则AF=52−m，再利用勾股定理列方程解出m，最后根据三角形中位线定理即可求出DE的长.
11．【答案】65°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=65°，
故答案为：65°.
【分析】根据三角形内角和定理，计算即可求解.
12．【答案】3x−5>9
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：3x−5>9，
故答案为：3x−5>9.
【分析】x的3倍表示为3x，再表示3x与5的差为3x-5，最后根据3x-5大于9，列出不等式即可.
13．【答案】OD=OC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：OD=OC，理由如下，
在△AOC和△BOD中
OA=OB∠O=∠OOC=OD
∴△AOC≌△BODSAS，
故答案为：OD=OC.
【分析】题目已知信息为：OA=OB，∠O=∠O，则当OD=OC时，即可利用"SAS"证明△AOC≌△BOD.
14．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∴2a<2b，
∴2a−2<2b−2，
故答案为：＜.
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解.
15．【答案】−8≤a<−7
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵0.5x＞3a－2.5x，
∴x>a，
∵不等式的最小负整数解为x=－7，
∴−8≤a<−7，
故答案为：−8≤a<−7.
【分析】先解出不等式的解集，再根据"不等式的最小负整数解为x=－7"，即可求出a的取值范围.
16．【答案】（1）6
（2）63
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵等边△ABC的边长是12，
∴AB=AC=BC=12，
∵AD⊥BC，
∴点D为BC的中点，
∴BD=12BC=6，
故答案为：6；
（2）作BE⊥AC于点E，交AD于点P，如图：
∵△ABC为等边三角形，且AD⊥BC，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴∠DAC=12∠BAC=30°，
∴PE=12AP，
∵△ABC为等边三角形，且BE⊥AC，
∴AE=12AC=6，
∴BE=3AE=63，
当BP⊥AC时，12AP+BP有最小值为：PE+PB=63.
故答案为：63.
【分析】（1）根据三角形中的"三线合一"得到：点D为BC的中点，进而即可求解；
（2）作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据三角形中的"三线合一"得到：AD为∠BAC的角平分线，根据含30°角的直角三角形得到：PE=12AP，再利用勾股定理计算出BE的长，当BP⊥AC时，12AP+BP有最小值，即可求解.
17．【答案】（1）3x−2≤2x，移项得：3x−2x≤2，
合并同类项得：x≤2，
（2）3x+2①＞x4x≥3（x−1②），解①得：x>−1，
解②得：x≥−3，
∴不等式组的解集为：x>−1，​​​​​​​
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按照移项、合并同类项的步骤计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，最后根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，据此即可求解.
18．【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEFSSS.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】根据BE=CF推出BC=EF，然后利用"SSS"即可证明 △ABC≌△DEF .
19．【答案】解：（1）如下图，即为所求，（2）连接DE，如（1）中图，∵∠ACB=90°，CE为斜边AB上的中线，∴CE=12AB=BE，∵△BCD为等边三角形，∴BD=CD，又∵DE=DE∴△ABE≅△DBESSS，∴∠CDE=∠BDE，∴DE为∠BDC的角平分线.
（1）解：见解析；
（2）解：见解析；
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如下图，即为所求，
（2）连接DE，如（1）中图，
∵∠ACB=90°，CE为斜边AB上的中线，
∴CE=12AB=BE，
∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD，
又∵DE=DE
∴△ABE≅△DBESSS，
∴∠CDE=∠BDE，
∴DE为∠BDC的角平分线.
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，连接CE即可；
（2）连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CE=BE，等边三角形的性质得到BD=CD，从而用SSS判断出△ABE≌△DBE，由全等三角形的对应角相等得∠CDE=∠BDE，从而求解.
20．【答案】（1）证明：∵BO平分∠DBC，
∴∠DBO=∠OBC，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴△BOD为等腰三角形；
（2）解：∵△BOD为等腰三角形，
∴DB=DO，
∴OE=DE−DO=5，
∵CO平分∠ECB，
∴∠ECO=∠OCB
∵DE∥BC，
∴∠EOC=∠OCB，∴∠EOC=∠ECO
∴△OEC为等腰三角形，
∴EC=OE=5.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBO=∠OBC，根据平行线的性质得到∠DOB=∠OBC，则∠DBO=∠DOB，则可证明△BOD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的性质得到DB=DO，进而可求出OE的长度，同理（1）证明△OEC为等腰三角形，即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECBAC=CB
∴△DAC≅△ECBAAS，
∴BE=CD.
（2）解：∵BF=BC，BE⊥l，
∴CE=EF，
由（1）得：AD=CE，
∴AD=CE=EF=3，
∴CF=CE+EF=6.​​​​​​​
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠DAC=∠ECB，利用"AAS"证明△DAC≌△ECB，由全等三角形的对应边相等即可求解；
（2）根据等腰三角形中的"三线合一'得到CE=EF，进而即可求出CF的长度.
22．【答案】（1）解：设篮球单价为x元，则足球单价为x−30元，
x+x−30=210，
解得：x=120，
∴篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设购买y个篮球，则购买（50-y）个足球，
由题意得：y≥30120y+50−y×90≤5500，
∵y为整数
∴解得：y的值可为：30，31，32，33，
则共有四种方案，
方案一：购买30个篮球，20个足球，
方案二：购买31个篮球，19个足球，
方案三：购买32个篮球，18个足球，
方案四：购买33个篮球，17个足球.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设篮球单价为x元，则足球单价为（x-30）元，根据"购买1个篮球和1个足球共需费用210元"，可列方程：解此方程即可求解；
（2）设购买y个篮球，则购买（50-y）个足球，根据"篮球不少于30个"，得到y≥30，根据"总费用不超过5500元"，得到，120y+90（50-y）≤5500，联立两个不等式得到不等式组，解不等式组，结合实际情况即可求解.
23．【答案】（1）解：DB=EC，理由如下：
∵△ABC，△ADE为等腰三角形，
∴AD=AE，AB=AC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠EAB=∠DAE−∠EAB，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中
AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC
∴△ADB≅△AECSAS，
∴DB=EC..
（2）解：∵ △ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CE=CD，∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD
∴△ACE≅△BCDSAS，
∴AE=BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，AB=2AC=22，
∴∠DAB=∠CAB+∠DAC=90°，
∵在Rt△BAD中，BD=AD2+AB2=3，
∴AE=3.
（3）解：以PC为直角边在CP下方作等腰直角三角形PCE，使∠PCE=90°，PC=CE，连接AE交BP于点H，如图：
∴PE=2PC=8，∠CPE=45°，
∵AP=8，∠APC=75°，
∴∠APE=∠APC+∠CPE=120°，AP=PE，
∴∠PAE=∠AEP=12180°−120°=30°，
∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ACB+∠ACP=∠PCE+∠ACP，
即∠BCP=∠ACE，
在△BCP和△ACE中
BC=AC∠BCP=∠ACEPC=CE
∴△BCP≅△ACESAS，
∴BP=AE，∠PBC=∠EAC，
∵∠AFH=∠BFC，
∴∠AHF=∠BCF=90°，
∴PB⊥AE，
∵AP=PE，
∴AE=2AH，
∴PH=12AP=4，
在Rt△AHP中，AH=AP2−PH2=43，
∴AE=83，
∴线段BP的长为：83.
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用"SAS"证明△ADB≌△AEC，即可求解；
（2）利用"SAS"证明△ACE≌△BCD，得到AE=BD，再根据等腰直角三角形的性质得到：∠CAB=45°，AB=2AC，进而求出∠DAB为直角，最后利用勾股定理即可求出BD的长，进而即可求解；
（3）以PC为直角边在CP下方作等腰直角三角形PCE，使∠PCE=90°，PC=CE，连接AE交BP于点H，先根据角的运算求出∠APE的度数，得到AP=PE，则∠PAE=∠AEP=30°，再利用"SAS"证明△BCP≅△ACE，得到：BP=AE，∠PBC=∠EAC，进而证明PB⊥AE，再根据等腰三角形的性质得到AE=2AH，最后根据含30°的直角三角形和勾股定理可求出AH的长，进而即可求解.
24．【答案】（1）解：∵AO=4，BO=6，
∴AB=10，
∵AB=BC，
∴BC=10，
在Rt△BCO中，OC=BC2−BO2=8，
在Rt△ACO中，AC=AO2+OC2=45，​​​​​​​
（2）解：①∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∵DE⊥AC，
∴∠A+∠ADE=∠ACF+∠F=90°，
∴∠ADE=∠F，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴△BDF是等腰三角形.
②当点D在OB上时，过点F作FH⊥AB于H，如图：
∵S△OBF：S△OBC=1：2，
∴12OB·CO=2×12OB·FH，
∴CO=2FH=8，
∴FH=OA=4，
∵∠AOC=∠H，∠ADE=∠FDH，
∴△ACO≅△FDHAAS，
∴CO=DH=8，
∵BF2=BH2+HF2，
∴BD2=8−BD2+16，
∴BD=5，
∴OD=1，
∴CD=CO2+OD2=65，
当点D在OB的延长线上时，
同理得：BD=BF=5，
∴OD=11，
∴CD=CO2+OD2=185，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）在Rt△BCO中，利用勾股定理求出CO的长，最后在Rt△ACO中，利用勾股定理即可求出AC的长；
（2）①由等边对等角得∠A=∠ACB，由等角的余角相等得∠ADE=∠F，结合对顶角相等得∠F=∠BDF，从而即可求解；
②由题意知需分两种情况讨论，①当点D在OB上时，②当点D在OB的延长线上时，利用"AAS"证明△ACO≌△FDH，得到CO=DH=8，根据勾股定理即可求出BD和CD的长.