福建省南平市南平第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份福建省南平市南平第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确答案）
1. 下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据识别轴对称图形和中心对称图形的方法，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．选择答案即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别，熟练掌握识别轴对称图形、中心对称图形的方法，是解题的关键．
2. 将一元二次方程化成的形式，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了配方法，先移项得，配方得，即，即可求解，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
配方得，，
即，
∴，
故选：．
3. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 东边日出西边雨是不可能事件．
B. 抛掷一枚硬币次，次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为．
C. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定为次．
D. 小红和同学一起做“钉尖向上”的实验，发现该事件发生的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了概率的意义，根据概率的意义进行判断即可得出答案，正确理解概率的意义是解题的关键．
【详解】解：、东边日出西边雨是随机事件，故此选项错误；
、抛掷一枚硬币次，次正面朝上，则抛掷硬币正面朝上的概率为，错误；有次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值，故选项错误；
、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数可能为次，故此选项错误；
、小红和同学一起做“钉尖向上”的实验，发现该事件发生的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，故此选项正确；
故选：．
4. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（ ）

A. OB. PC. QD. M
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转中心的定义即可求解．
【详解】解：连接，，，，，如图所示：

，，，且，
点P是旋转中心，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键．
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（ ）
A. 30°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【详解】解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°-2∠ABO=80°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
6. 小睿同学画二次函数的图象，列出表格如表，他发现有一组对应值计算有误（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过求解即可，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
而抛物线经过时，抛物线开口向上，不符合题意，
∵抛物线不能同时经过，
∴不在抛物线上，
故选：．
7. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可借助平移性质得到小路的长为、宽为的矩形，再减去一个重叠的边长为的正方形的面积，列方程即可．
【详解】解：根据题意，小路的长为米、宽为米，
故所列方程为，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键．
8. 若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角和，正多边形和圆的综合．熟练掌握正多边形的外角和，正多边形的中心角是解题的关键．
根据外角可得这个多边形为六边形，进而可求正多边形的中心角的度数．
【详解】解：∵正多边形的一个外角为，
∴，
∴该正多边形为正六边形，
∴正多边形的中心角的度数为，
故选：B．
9. 如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．
【详解】过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10. 已知抛物线（是常数）开口向下，过两点，且．下列四个结论：①；②若时，则；③若点在抛物线上，，且，则；④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的结论有（ ）
A. ①③B. ①②C. ③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得，由，进一步得到，即可判断②；由点，，，到对称轴的距离，即可判断③；证明判别式即可判断④．
【详解】解：过两点，且，
对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，，，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故选：D
二、填空题（本大题6小题，共24分）
11. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点数不大于的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求简单事件的概率，根据概率公式直接求解即可，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有，共种可能，点数不大于的有，共种，
∴点数不大于的概率是，
故答案为：．
12. 抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
13. 如图，四边形ABCD是正方形，曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中，…依次连接，它们的圆心依次按A、B、C、D循环．当AB＝1时，曲线DEFGH的长度是_____．
【答案】5π
【解析】
【分析】首先根据题意得出扇形半径，进而利用弧长公式求出即可．
【详解】解：根据题意可得出：AB＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，
∴曲线DEFGH的长度是：
=5π．
故答案为：5π．
【点睛】本题主要考查了弧长计算公式应用，根据题意得出扇形半径是解题关键．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径弧交AB于点E，交BC于点D，则∠DCE的度数为_________°．
【答案】18
【解析】
【分析】由直角三角形的性质得出∠A=54°，由等腰三角形的性质得出∠CEA=∠A=54°，由三角形内角和定理求出∠ACE，再求出∠DCE即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°－∠B=54°，
∵CA=CE，
∴∠CEA=∠A=54°，
∴∠ACE=180°－54°－54°=72°，
∴∠DCE=90°－∠ACE=18°，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了圆的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握直角三角形的性质，由等腰三角形的性质求出∠ACE的度数是解决问题的关键．
15. 若是方程的一个实数根，则代数式的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【详解】解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
∵
；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
16. 如图，在中，，以点A为圆心，2为半径的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是_______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，则，，，根据，，计算三角形与扇形棉结，然后根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接AD，则，
∴
∵，
∴
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形面积公式．解题的关键在于根据计算求解．
三、解答题（本大题9小题，共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（）利用因式分解法解答即可求解；
（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键
小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：移项得，，
∴，
即，
∴或，
∴，．
18. 抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】抛物线的解析式为y=-x2+4x-3；抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】
【分析】把（0，-3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得 ，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即 x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
19. 如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，求证：．
【答案】见解析 ．
【解析】
【分析】由OB=OD得到∠B=∠D，再根据CO∥DB，进而得到∠AOC=∠B=∠D=∠COD，再根据圆心角相等，则其对应的弧相等即可证明．
【详解】证明：∵OB＝OD，
∴∠D＝∠B，
∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，
∴∠AOC＝∠COD，
∴．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质和圆心角、弧、弦的关系解答．
20. 如图，在中，在同一平面内，将绕点A逆时针方向旋转到的位置，使得，连接，则的度数？

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．
首先证明然后证明；然后运用三角形的内角和定理求出即可解决问题．
【详解】解：，
∴，
∴旋转角为，
∴，
由题意得：，
∴；
∴，
21. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）画出绕点逆时针旋转的图形；
（3）若是由绕点旋转得到的（点的对应点分别是点），请在图中找到点并标出．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析； （3）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据中心对称图形图形的性质作图即可；
（）根据旋转角和旋转中心，找到点的对应点，即可作出旋转后的图形；
（）根据对应点连线垂直平分线的交点即为旋转中心作图即可；
本题考查了作中心对称图形，作旋转后图形，找旋转中心，掌握中心对称图形的性质和旋转的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
【小问3详解】
解：如图，点即为所求，由图可得，点的坐标为．
22. 为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：
（1）在这次问卷调查中,一共抽查了 名同学；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数；
（4）学校准备从随机调查喜欢跑步和喜欢舞蹈的同学中分别任选一位参加课外活动总结会.若被随机调查的同学中,喜欢跑步的男生有3名，喜欢舞蹈的女生有2名，请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）1020；（4）．
【解析】
【分析】（1）由喜欢跑步的有5名同学，占10%，即可求得总人数；
（2）由（1）可求得喜欢足球的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，求得答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）∵喜欢跑步的有5名同学，占10%，
∴这次问卷调查中，一共抽查了学生数：（名）；
故答案为50；
（2）喜欢足球人数：，
补全统计图：
（3）该校3000名同学中喜爱足球活动的有 (名)；
（4）画树状图得：
∵共有15种等可能的结果,所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的有8种情况,
∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 苍溪独特的土壤、水分、气候组成的生态系统，成为猕猴桃的乐土，被国家誉为“红心猕猴桃第一县、红心猕猴桃之乡”．某水果店销售红心猕猴桃，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，春节临近，为了扩大销售，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱红心猕猴桃每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱红心猕猴桃降价x元．
（1）当时，求销售该红心猕猴桃的总利润；
（2）设每天销售该红心猕猴桃的总利润为w元．
①求w与x之间的函数解析式；
②试判断总利润能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果达不到，求出w的最大值．
【答案】（1）8000元
（2）①；②不能达到8200元，w的最大值是8100
【解析】
【分析】（1）利用每箱利润每箱降低的价格，平均每天的销售量降价后多出售的箱数，即可求出结论；
（2）①根据“每箱利润乘以平均每天的销售量”，即可得到w与x之间的函数解析式；
②根据二次函数的性质求出w的最大值，与8200比较即可得到结论．
【小问1详解】
解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为（元），平均每天可售出（箱），
∴总利润为：（元）；
【小问2详解】
解：①由题意得：w与x之间的函数解析式为
；
②w不能达到8200元，理由如下：
，
∵，
∴当时，w取到最大值，最大值为8100，
∵，
∴w不能达到8200元，w的最大值是8100．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
24. 如图，是的直径，为⨀O上一点，平分交⨀O于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求半径．
【答案】（1）见解析 （2）半径为5
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；
（2）过过点作于，证明四边形为矩形，设半径为，由勾股定理列出方程求解即可．
小问1详解】
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：过点作于，
，
四边形为矩形，
，
设半径为，则，
，
，
，
解得：，
的半径为5．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．
25. 如图，抛物线交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C， ，点P为第一象限内抛物线上的一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接、，当时，求点P的坐标以及的面积.
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的解析式求得点A、B、C的坐标，根据，即可求得a值，从而求得抛物线的解析式；
（2）根据点B、C的坐标判定是等腰直角三角形，即可得，已知点P为第一象限内抛物线上的一点，且，可得，所以P点的纵坐标为3，令，解方程即可求得点P的横坐标，从而求得点P的坐标；
（3）根据点P在第一象限，点Q在第二象限，且横坐标相差1，进而设出点（）；得出点，得出，，最后建立方程求出m的值，从而求出点P、Q的坐标，再求出直线的解析式及点D的坐标，根据即可求得的面积．
【小问1详解】
解：抛物线，
，
，
，
，
，
或 (舍)，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点P为第一象限内抛物线上的一点，且，
，
点的纵坐标为3，
由（1）知抛物线的解析式为，
令，，
(舍)或，
；
【小问3详解】
如图2，过点P作轴交于D，
当时，，
当时，，
设（），
，
，
∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或 (舍)，
，，
，
∴直线的解析式为，
，
，
，
．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行线的性质和判定，这类试题是将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起，试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．