吉林省辽源市龙山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省辽源市龙山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
1. 中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾．下列姓氏图腾是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解：A.是轴对称图形，故A正确；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2. 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（ ）
A. 18°B. 36°C. 72°D. 108°
【答案】B
【解析】
【分析】设，先根据三角形的内角和定理可得，，再根据角的和差分别求出的度数（用表示），然后根据三角形的内角和定理建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
设，
在中，，
，
同理可得：，
，
，
，
在中，，
，
解得，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、一元一次方程的几何应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
3. 下列计算中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则逐一计算进行判断即可
【详解】解：A、（-x）8÷（-x）3=（-x）5=-x5，故本选项错误；
B、（a+b）5÷（a+b）=（a+b）4，故本选项错误；
C、（x-1）6÷（x-1）2=（x-1）4，故本选项错误；
D、-a5÷（-a）3=-a5÷a3=a2，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，但计算时一定要细心．
4. 如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．
【详解】解：∵，，
∴，
.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，，不是两直角三角形全等判定定理，故该选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
5. 下列分式变形从左到右一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质依次进行判断即可得；掌握分式的性质是解题的关键．
【详解】解：A．，选项说法错误，不符合题意；
B．当时才成立，选项说法错误，不符合题意；
C．，选项说法正确，符合题意；
D．不成立，例如，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
6. 如图所示，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( )

A. 25°B. 60°C. 85°D. 95°
【答案】D
【解析】
【分析】利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可.
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠DBC＝35°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=60°+35°=95°，
故选D.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键.
二、填空题．（每小题3分，共24分]
7. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________．
【答案】6
【解析】
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质定理可得AD=BD，从而得到∠ABD=∠A=30°，再由∠C=90°，可得∠CBD=30°，然后根据直角三角形的性质，可得AD=BD=2CD=4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵DE的垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=2，
∴AD=BD=2CD=4，
∴AC=AD+CD=6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9. 已知点P(2a＋1，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是________
【答案】－＜a＜
【解析】
【详解】解：由对称性易知点P（2a＋1，2a－3）在第四象限，
则点P的横坐标为正，纵坐标为负，
可得，
解得：－＜a＜．
故答案：－＜a＜
10. 如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE＝CD时，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】24
【解析】
【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF=S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠D，
∵AB+CE=CD，CE+DE=CD，
∴AB=DE，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF=S△EDF，
∵AC=6，AD=8，
∴图中阴影部分面积=S四边形ACEF+S△BAF
=S△ACD
=•AC•AD
=×6×8
=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
11. 已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是________．
【答案】±5
【解析】
详解】解：根据完全平方公式，可知（a+b）2= a2+b2+2ab=13+2×6=25，
然后根据平方根的意义，可求得a+b的值为±5.
故答案为±5.
12. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，，则的值为 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，根据平分得，根据得，则，即可得，同理可得，即可得．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
13. 当_____时，分式的值为．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的值为零，掌握分式值为零指的是分子为零，分母不能为零是解题的关键，根据分式的值为零指的是分子为零，分母不为零即可求解．
【详解】解：根据题意，得，且，
解得，
故答案为：．
14. 将4个数，，，排列成，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二阶行列式的运算法则，得到关于x的方程，求出x的值．
【详解】解：由二阶行列式的运算法则，
，
，
；
，
即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和方程的解法．解决本题的关键是理解二阶行列式的运算法则．
三、解答题．（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂，有理数的乘方，负整指数幂计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了零次幂，有理数的乘方，掌握零次幂，有理数的乘方运算法则是解题的关键．
16. 解分式方程：．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：方程最简公分母为，方程两边同乘将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．
试题解析：方程两边同乘，得：，整理解得：，经检验：是原方程的解．
考点：解分式方程．
17. 已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB=AD，CD∥AB， CE∥AD.问:△CDE是否为等腰三角形?为什么?
【答案】△CDE是等腰三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】欲证△CDE是等腰三角形，又已知CD∥AB，CE∥AD，可利用三角形中两内角相等来证等腰．
【详解】△CDE是否为等腰三角形，理由如下：
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠B，
又∵CE∥AD，
∴∠CED=∠ADB．
又∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠CDE=∠CED，
∴△CDE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．
18. 如图，已知，，．则吗？（请说明理由）
【答案】∠B=∠D，理由见解析
【解析】
【分析】只需要证明△DAE≌△BAC即可得到答案.
【详解】解：∠B=∠D，理由如下：
∵∠CAE=∠BAD
∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD， AC=AE，
∴△DAE≌△BAC（SAS）
∴∠B=∠D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定.
四、解答题．（每小题7分，共28分）
19. 先化简代数式，然后请你自取一组的值代入求值．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【详解】解:原式
=
当a=1,b=2时（答案不唯一）
原式=3
20. 2023年第31届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大家喜欢．某商场第一次用3600元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】60元
【解析】
【分析】设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，根据“同样用了3600元，购进的数量比第一次少了10件”列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元．
依题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为60元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．
21. 已知，求代数式的值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据，由非负数的性质求出，再化简代数式，把代入化简后的结果计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
原式
当时，
原式
【点睛】此题主要考查了整式的四则混合运算和代数式求值，熟练掌握整式的运算法则和乘方公式是解题的关键．
22. 已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积公式的计算，掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质可求出的度数，在根据三角形的内角和定理即可求解的度数；
（2）根据角平分线的性质，作于，于，由此可得，再根据三角形的面积计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
；
【小问2详解】
解：作于，于，如图2，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴的面积．
五、解答题．（每小题8分，共16分）
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）在图中作出关于轴的对称图形 (点，，分别是点，，的对应点)，直接写出点，，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析；，，
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形，轴对称的作图；
（1）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可；根据点在坐标系内的位置，直接写出其坐标即可；
（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，是所求作的三角形，
【小问2详解】
解：
24. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B；
∴DF∥BC．
（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题．（每小题10分，共20分）
25. 两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
【答案】（1）S1=a2－b2 ，S2=2b2－ab；（2）S1+S2=210；（3）S3=32．
【解析】
【分析】（1）边长为a正方形与边长为b的正方形的面积差，就是S1，两个边长为b的面积和减去长为a，宽为b的长方形的面积即为S2；
（2）将S1＋S2转化为（a2−b2）＋（2b2−ab），即求出a2＋b2−ab的值即可，再变形为（a＋b）2−3ab，整体代入计算即可；
（3）推出S3=(S1+S2)，进而即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分面积即为边长为a正方形与边长为b的正方形的面积差，
所以S1=a2－b2，
图2阴影部分的面积为两个边长为b的面积和减去长为a，宽为b的长方形的面积，
所以S2=2b2－ab；
（2）S1+S2=a2－b2+2b2－ab=a2+b2－ab =(a+b)2-3ab ，
∵a+b=15，ab=5，
∴S1+S2=225－3×5=210；
（3）由图可得，S3=a2+b2− b(a+b)− a2=(a2+b2−ab)
∵S1+S2=a2+b2－ab=64，
∴S3=(S1+S2)=×64=32．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键．
26. 如图．的边在直线l上，，且；的边也在直线l上，边与边重合，且．
（1）在图1中，直接写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点Q，连接，，直接写出与所满足的数量关系和位置关系；
（3）将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出推理说明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
（1）先说明、，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答；掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键；
（2）如图：延长交于点M，根据证明可得，再根据角的和差以及等量代换得到即可解答；证得是解题的关键；
（3）如图：延长交于点N，根据证明可得，再根据角的和差以及等量代换得到即可解答；证得是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由题意可得：点E和点A、点C和点F重合，
同理得：
∴，，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图：延长交于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，BQ⊥AP．
【小问3详解】
解：在（2）中所猜想与的数量关系和位置关系成立，理由如下：
延长交于点N，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，BQ⊥AP．