2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷(含解析)，共35页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若一元二次方程x2+3x+a﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．确定性事件
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．D．∠BCA＝∠DCA
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为（ ）
A．12B．18C．24D．26
6．已知x1，x2是方程﹣x2+5x﹣2＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．5B．﹣5C．2D．﹣2
7．一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（ ）元．
A．4B．6C．4或6D．5
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共21分）
11．2cs60°+1＝ ．
12．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ．
13．用半径为12cm，面积为72πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底圆的半径为 cm．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝5，BC＝8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到△A1B1C，使得点B对应点B1在x轴上，记为第一次旋转，再将△A1B1C绕点B1顺时针旋转一定的角度后得到△A2B1C1，使得点A1对应点A2在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 ．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分）
18．计算：．
19．解方程：
（1）2x2+6x﹣3＝0；
（2）x2﹣4＝3（x+2）．
20．数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法；
（3）在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？
21．如图，△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于D、E两点，EF⊥AC，点F为垂足．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，直接写出长度为线段BE长度2倍的所有线段．
22．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．
（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；
（2）求直线BF的解析式；
（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．
23．综合与实践：如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，其中AC＝6，BC＝8，点D、E分别为AC、BC的中点．
（1）【猜想】如图1，线段BE与AD的比值是 ，位置关系是 ；
（2）【探究】：①把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②若把△DCE绕点C旋转到如图3的位置，连接AD，BE，（1）中的结论 ；（填“成立”或“不成立”）
（3）把△DCE绕点C在平面内自由旋转，当△BEC面积最大时，直接写出AE的长．
24．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点C（0，﹣4），P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t．
（1）求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标；
（2）连接AC、BC，sin∠ACB＝ ；
（3）①若点P位于第四象限，过点P作PF⊥x轴于点F交BC于点E，用含t的式子表示PE＝ （不要求写出自变量取值范围）；
②过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值；
（4）M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由．
参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共计30分）
1．若一元二次方程x2+3x+a﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．0
【分析】将x＝0代入方程求出a的值即可．
解：∵一元二次方程x2+3x+a﹣1＝0的一个根是0，
∴a﹣1＝0，
解得a＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称轴图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称轴图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称轴图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称轴图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
3．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．确定性事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件，
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝ADB．BC＝CDC．D．∠BCA＝∠DCA
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为（ ）
A．12B．18C．24D．26
【分析】利用相似三角形的性质求解．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵△ADE的周长为6，
∴△ABC的周长＝18．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．
6．已知x1，x2是方程﹣x2+5x﹣2＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．5B．﹣5C．2D．﹣2
【分析】根据两根之和等于即可求解．
解：由方程可得，，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1、2、3、4、5、6，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及掷两次所得点数之和为11的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：列表如下：
共有36种等可能的结果，其中掷两次所得点数之和为11的结果有：（5，6），（6，5），共2种，
∴掷两次所得点数之和为11的概率为＝．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】连接BD，过B作BE⊥AD于E，根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根据相似三角形的性质得到∠ANM＝∠AEB＝90°，当0≤x＜2时，点M在AB上，当2≤x≤4时，点M在BC上，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
当2≤x≤4时，点M在BC上，
y＝，
综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
9．一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（ ）元．
A．4B．6C．4或6D．5
【分析】设工艺品需降价x元，那么就多卖出4x件，根据每天获得利润为3596元，可列方程求解．
解：设工艺品需降价x元，
（135﹣x）（100+4x）﹣100（100+4x）＝3596
x2﹣10x+24＝0
x＝4或x＝6．
因为要使顾客尽量得到优惠，
所以x＝4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是设出工艺品需降价x元，可表示出就多卖出4x件，然后以每天获得利润为3596元作为等量关系列方程求解．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线对称轴的方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用x＝1时得到a+b+c＞0，把b＝2a代入得到3a+c＞0，然后利用a＞0可对③进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为，利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为，从而得到，，则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
而b＝2a，
∴3a+c＞0，
∵a＞0，
∴4a+c＞0，故③正确；
∵x＝﹣1，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，故④正确；
∵图象经过点时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为，
即，，
∴，故⑤正确．
综上分析可知，正确的有②③④⑤共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴的交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由判别式确定．
二、填空题（每题3分，共21分）
11．2cs60°+1＝ 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
解：2cs60°+1
＝2×+1
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
12．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB， ．
【分析】△ACD和△ABC中，已知了公共角∠A，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹∠A的两组对应边成比例．
解：△ABC和△ACD中，∠DAC＝∠CAB，
若要△ADC与△ABC，需添加的条件为：
①∠ADC＝∠ACB；
②∠ACD＝∠B；
③，或AC2＝AB•AD．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
13．用半径为12cm，面积为72πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底圆的半径为 6 cm．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
则×2πr×12＝72π，
解得：r＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 4 ．
【分析】根据垂径定理得出AC＝PC，PD＝BD，根据三角形的中位线推出CD＝AB，代入求出即可．
解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC＝PC，PD＝BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD＝AB＝×8＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB＝S△ABC＝8，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k＝﹣16．
解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y＝在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确△AOB的面积＝△ABC的面积是解题的关键．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC相似时，AP的长为 或 ．
【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．
解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
当△APD与△ABC相似时，
∵点D始终在边AC上，
根据折叠PB＝PD，
设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，
∴分两种情况：
①△APD∽△ABC，
此时∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
②△APD∽△ACB，
此时∠APD＝∠ACB＝90°，
∴，即，
解得，
∴，
综上，AP的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝5，BC＝8，点A与坐标原点重合，点C在x轴正半轴上，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度后得到△A1B1C，使得点B对应点B1在x轴上，记为第一次旋转，再将△A1B1C绕点B1顺时针旋转一定的角度后得到△A2B1C1，使得点A1对应点A2在x轴上，以此规律旋转，则第2023次旋转后钝角顶点坐标为 （12141，3） ．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据AB＝AC＝5，BC＝8，得到BD＝CD＝BC＝4，推出，根据A1（9，3），A2（18，0），A3（18，0），A4（27，3），A5（36，0），A6（36，0），A7（45，3），…，得到每3次是一个循环组，根据2023÷3＝674…1，得到A2023在竖直方向的位置与A1的位置相同，纵坐标为3，第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为674×18+9＝12141，得到第2023次旋转后钝角顶点坐标为（12141，3）．
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∴，
由题意A1（9，3），A2（18，0），A3（18，0），A4（27，3），A5（36，0），A6（36，0），A7（45，3），…，
每3次是一个循环组，2023÷3＝674…1，
∴A2023在竖直方向的位置与A1的位置相同，纵坐标为3，
∴第2023次旋转后钝角顶点的横坐标为674×18+9＝12141，
∴第2023次旋转后钝角顶点坐标为（12141，3）．
故答案为（12141，3）．
【点评】本题主要考查了等腰三角形在坐标轴上无滑动的滚动，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练运用旋转性质探究滚动的循环组的规律，运用得到的规律解答．
三、解答题（本题共计7小题，共计69分）
18．计算：．
【分析】利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂计算即可．
解：原式＝1﹣3﹣（﹣1）+9
＝1﹣3﹣+1+9
＝11﹣3﹣．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．解方程：
（1）2x2+6x﹣3＝0；
（2）x2﹣4＝3（x+2）．
【分析】（1）利用公式法解出方程；
（2）利用平方差公式、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
解：（1）2x2+6x﹣3＝0，
a＝2，b＝6，c＝﹣3，
Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×2×（﹣3）＝60，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）x2﹣4＝3（x+2），
则（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣2﹣3）＝0，
∴x+2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握公式法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ 100 ，n＝ 35 ；并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法；
（3）在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？
【分析】（1）用A学生合作交流，探索规律的人数和所占的百分比，求出m的值，再分别求出B、C的人数及B所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以选择D项教学方法的人数所占的百分比即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）m＝10÷10%＝100；
航天知识竞赛的人数有：100×15%＝15（人），
航天资料收集的人数有：100﹣10﹣40﹣15＝35（人），
n%＝×100%＝35%，即n＝35，
补全统计图如下：
故答案为：100，35；
（2）根据题意得：
1200×40%＝480（人），
答：大约有480人选择D项教学方法；
（3）由题意列表得：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有4种，
则甲、乙被分在同一组的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于D、E两点，EF⊥AC，点F为垂足．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，直接写出长度为线段BE长度2倍的所有线段．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）连接DE，利用圆周角定理和含30°角的直角三角形的性质，得到BD＝2BE；再利用圆的切线的性质定理，等边三角形的性质和直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，如图，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠A＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE．
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠FED＝90°﹣∠FEC＝60°．
∵直线DF与⊙O相切，
∴BD⊥FD，
∴∠EDF＝90°﹣∠BDE＝60°，
∴∠EDF＝∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF＝EF．
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（ASA），
∴BD＝EC．
同理：△BDE≌△AFD，
∴BD＝AF．
∴BD＝AF＝EC．
由题意：AD＝AF，
∴AD＝BD＝OD＝OB，
∴AO＝BD，
∴长度为线段BE长度2倍的所有线段有：BD，AF，EC，AO．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．
（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；
（2）求直线BF的解析式；
（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．
【分析】（1）把C点的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式，再求出E点的坐标即可；
（2）求出B、F的坐标，再求出解析式即可；
（3）先求出两函数的交点坐标，即可得出答案．
解：（1）∵反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C，C点的坐标为（6，2），
∴k＝6×2＝12，
即反比例函数的解析式是y1＝（x＞0），
∵矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），
∴点E的纵坐标是2+1＝3，
把y＝3代入y1＝得：x＝4，
即点E的坐标为（4，3）；
（2）∵过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4，
把y＝4代入y1＝得：4＝，
解得：x＝3，
即F点的坐标为（3，4），
∵E（4，3），C（6，2），E为矩形ABCD的边AD的中点，
∴AE＝DE＝6﹣4＝2，
∴B点的横坐标为4﹣2＝2，
即点B的坐标为（2，2），
把B、F点的坐标代入直线y2＝ax+b得：，
解得：a＝2，b＝﹣2，
即直线BF的解析式是y＝2x﹣2；
（3）∵反比例函数在第一象限，F（3，4），
∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜3．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、函数的图象、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式、矩形的性质等知识点，能正确求出两函数的解析式是解此题的关键．
23．综合与实践：如图，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，其中AC＝6，BC＝8，点D、E分别为AC、BC的中点．
（1）【猜想】如图1，线段BE与AD的比值是 ，位置关系是 BE⊥AD ；
（2）【探究】：①把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②若把△DCE绕点C旋转到如图3的位置，连接AD，BE，（1）中的结论 成立 ；（填“成立”或“不成立”）
（3）把△DCE绕点C在平面内自由旋转，当△BEC面积最大时，直接写出AE的长．
【分析】（1）根据已知条件得到BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，求得＝，根据垂直的定义得到结论；
（2）①根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD，根据线段中点的定义得到BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，推出△BCE∽△ACD，得到，如图2，延长BE交AD于H，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAD，求得∠AHB＝90°，于是得到BE⊥AD；设BE、AD交于G，由旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD，根据线段中点的定义得到BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，推出△BCE∽△ACD，得到，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAD，根据垂直的定义得到结论；
（3）当△BEC面积最大时，CE⊥BC，根据已知条件得到∠ACE＝180°，推出点A，C，E三点共线，于是得到AC＝6，CE＝4．
解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别为AC、BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，
∴＝，
∴BE＝AD，
∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：，BE⊥AD；
（2）①（1）中结论仍然成立，理由：
由旋转知，∠BCE＝∠ACD，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别为AC、BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，
∴，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
如图2，延长BE交AD于H，
∵△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠BAC+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD+∠ABE＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴BE⊥AD；
②成立，
理由：设BE、AD交于G，
由旋转知，∠BCE＝∠ACD，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别为AC、BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝4，AD＝CD＝AC＝3，
∴，
∴，
∴△BCE∽△ACD，
∴，
∵△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠ABC+∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠ABC+∠CBE+∠BAD＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴BE⊥AD；
故答案为：成立；
（3）当△BEC面积最大时，CE⊥BC，
如图（4），
∵∠ACB＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝180°，
∴点A，C，E三点共线，
∵AC＝6，CE＝4，
∴AE＝4+6＝10．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
24．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点C（0，﹣4），P是抛物线上的一动点，点P的横坐标为t．
（1）求抛物线对应的函数表达式以及A，B两点的坐标；
（2）连接AC、BC，sin∠ACB＝ ；
（3）①若点P位于第四象限，过点P作PF⊥x轴于点F交BC于点E，用含t的式子表示PE＝ （不要求写出自变量取值范围）；
②过点P作PQ⊥BC，求PQ的最大值；
（4）M是抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出t的值，若不存在请说明理由．
【分析】（1）把C（0，﹣4）代入，即可求出函数解析式，把y＝0代入二次函数即可得到点A和点B的坐标；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，求出OA＝2，OB＝4，OC＝4，从而得到AC和BC的长度，根据，求出AG，在Rt△ACG中根据正弦函数的定义即可求解；
（3）①求出直线BC的解析式，由点P的坐标为，得点E的坐标为（t，t﹣4），从而求出PE；
②证明△BOC和△PEQ是等腰直角三角形，得到PQ＝PE，进而用含t的式子表示PQ，利用二次函数的性质求出最值；
（4）存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，设点M的坐标为（1，m），分①若四边形BPCM是平行四边形；②若四边形BCMP是平行四边形；③若四边形BCPM是平行四边形，三种情况列出方程即可求出t的值．
解：（1）把C（0，﹣4）代入，
得﹣4m＝﹣4，
解得m＝1，
∴抛物线对应的函数表达式为，
把y＝0代入，
得，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∵点B位于点A的右边，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，
∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝4，
在Rt△AOC和Rt△BOC中，
∵OA＝2，OB＝4，OC＝4，
∴AC＝＝，BC＝＝，
∵，
∴AG＝，
在Rt△ACG中，
∵AC＝，AG＝，
∴sin∠ACB＝＝；
故答案为：；
（3）①设直线BC的解析式为y＝kx+b，
代入B（4，0），C（0，﹣4），
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∵点P的横坐标为t，
∴点P的坐标为，
∵PF⊥x轴于点F交BC于点E，
∴点E的坐标为（t，t﹣4），
∵点P位于第四象限，
∴PE＝＝；
故答案为：；
②∵OB＝OC，∠BOC＝45°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∵∠PQE＝∠BFE＝90°，∠PEQ＝∠BEF，
∴∠EPQ＝∠OBC＝45°，
∵∠PQE＝90°，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PE，
整理得PQ＝（0＜t＜4），
当t＝＝2时，PQ取得最大值，最大值为；
（4）存在以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由抛物线的函数表达式为，
得对称轴为直线x＝1，
设点M的坐标为（1，m），
①若四边形BPCM是平行四边形，此时BC、PM是对角线，
∵四边形BPCM是平行四边形，
∴BC与PM互相平分，
∴，
即，
解得t＝3；
②若四边形BCMP是平行四边形，此时BM、PC是对角线，
同理可得，
即，
解得t＝5；
③若四边形BCPM是平行四边形，此时BP、CM是对角线，
同理可得，
即，
解得t＝﹣3；
综上所述，以点B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，点t的值为3或5或﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，二次函数求最值，平行四边形的判定和性质，本题的关键是根据题意画出对应的图，利用分类讨论思想列出方程从而解题．
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙