34，2023-2024学年贵州省贵阳市高三上学期数学一轮模拟卷

这是一份34，2023-2024学年贵州省贵阳市高三上学期数学一轮模拟卷，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，实数满足，则的大小关系是，在平行四边形ABCD中， ，则，若a，，则下列命题正确的是，某食品的保鲜时间y等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．实数满足，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A．2B．C．D．4
6．设A，B为两个事件，已知，，，则（ ）
A．0.3B．0.4
C．0.5D．0.6
7．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
8．设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若a，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（ ）
参考数据：，
A．
B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时
C．
D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃
11．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（ ）
A．B．当n为奇数时，
C．数列为等比数列D．数列的前项和小于
12．如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得的截面面积为
C．点Q的轨迹长度为
D．能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
14．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为 ．（用百分数作答，精确到0.1%）
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
15．已知函数恰有两个零点，则 .
16．在中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为 ．
四、解答题
17．已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
18．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分线与交于点，且，求.
20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面．
(1)证明：；
(2)若，，与平面所成的角为60°，求平面与平面夹角的余弦值．
21．已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
22．已知函数，.
(1)讨论的单调性.
(2)是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由.
题号
一
二
三
四
总分
得分
参考答案：
1．A
【分析】由集合的交运算即可求交集.
【详解】.
故选:A.
2．A
【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为,,
所以,
则.
故选：A.
3．A
【分析】利用等差数列的通项公式和存在量词的性质即可判断.
【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；
若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.
故选：A.
4．D
【分析】由，结合幂函数单调性知；利用对数复合函数的性质推得，从而得解.
【详解】由，得，即，所以；
由，得，
因为，
所以，即；
综上，.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，将与都用与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：

因为，所以是的中点，即，
，,
因为，所以，
因此，.
故选：A.
6．B
【分析】根据题意，由全概率公式，代入数据计算可得答案．
【详解】根据题意，，则，
则，
解可得：．
故选：B．
7．A
【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，
可得，且，所以圆柱的底面直径，
设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，
所以，由勾股定理得，解得.
故选：A.
8．C
【分析】令体积为1，求出正方体、正四面体的棱长，球的半径，再求出表面积作答.
【详解】令正方体、正四面体和球的体积为1，
设正方体的棱长为，则，解得，表面积，
设正四面体的棱长为，则正四面体底面正三角形的外接圆半径，
正四面体的高，体积，
解得，表面积，
设球半径为，则，解得，表面积，
所以.
故选：C
9．BD
【分析】取特殊值或利用作差法，以及根据函数的单调性，即可判断选项.
【详解】对选项A，取，，满足且，则，故A错误；
对选项B，因为函数单调递增，当时，，故B正确；
对选项C，因为，所以，即，故C错误；
对选项D，因为函数是增函数，当，则，故D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】利用条件若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，得出关于k和b的关系，然后依次判定各个选项.
【详解】在函数中，当时，，由，知，，故A正确；
当时，，所以，则，
当时，，故B不正确；
由，得，故C正确；
由，得，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】根据函数新定义即可知，，，可得A正确，由可得B错误；易知小于的所有正奇数与均互质,共有个，可得C正确；同理可得，利用等比数列前项和公式即可求得D正确.
【详解】对于A，因为，，，所以，故A正确；
对于B，由于，故B错误；
对于C，因为小于的所有正奇数与均互质，且小于的所有正奇数有个，
所以，因此数列为等比数列，故C正确；
对于D，同理小于的所有3的倍数与均不互质，共有个，
因此小于的所有与互质的数共有个，即，
所以，令，
则，故D正确，
故选：ACD.
12．ABD
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点Q的轨迹，并求出轨迹长度；D选项，由对称性得到平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在上，设球心为，由得到方程，求出半径的最大值.
【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
故.
设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，故平面，A正确；
B选项，取的中点，连接，
因为M，N，P分别是棱，，的中点，
所以，又，
所以，所以平面截正方体所得的截面为正六边形，
其中边长为，故面积为，B正确；

C选项，Q为平面上的动点，直线与直线的夹角为，
又平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆，
即为点Q的轨迹，
其中，由对称性可知，，
故半径，
故点Q的轨迹长度为，C错误；
D选项，因为M，N，P分别是棱，，的中点，
所以平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，
不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值，
该球与平面切与点，与平面，平面，平面相切，
由对称性可知，球心在上，设球心为，则半径为，
，故，即，解得，
故球的半径的最大值为，D正确.
故选：ABD
【点睛】立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
13．
【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.
【详解】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
14．
【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合参考数据求.
【详解】因为100个数据，，，…，的平均值，
方差，
所以的估计值为，的估计值为．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由， 得，
所以．
故答案为：.
15．
【分析】利用导数，求出的单调区间，由函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为，
所以
令，则，令，
故当时，函数为增函数，
当时，函数为减函数，
即当时函数有最小值，
若，即时，此时函数在R上为增函数，与题意不符，且当时，的零点为1；
若，即时，此时函数与x轴有两个不同交点，
设交点为，且，即，
所以当或时，即，此时函数为增函数，
当时，即，此时函数为减函数，
依题意，函数恰有两个零点即函数与x轴有两个不同的交点，即或，
所以或，
所以，所以，
故答案为：.
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数与x轴交点个数问题，通过求解单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数的交点个数问题求解.
16．
【分析】先求出在中随机选取三个数的方法总数，再求能构成公差不小于5的等差数列的方法总数，由古典概率的公式求解即可.
【详解】在中随机选取三个数有：，
公差为5的等差数列有：，，……，，共个；
公差为6的等差数列有：，，……，，共个；
……，
公差为24的等差数列有：，，共个；
所以共有：，
所以能构成公差不小于5的等差数列的概率为：.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，从而得出数列为等比数列，即可求出结果；
（2）由（1）得出，从而得出，再利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以当时，，
当时，，两式相减得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则.
（2）因为，
所以，
所以.
18．(1)
(2)2001
【分析】（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；
（2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，
所以，
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为，所以，
依题意可得，所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理解方程即得.
【详解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，则有，即，
因，故.
（2）因为为角平分线，所以，
所以.
因，，，则，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分别代入化简得：，
解得：或（舍去），所以.
20．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据线线平行可得面面平行，进而根据面面平行的性质可得，线线垂直可求证线面垂直，进而根据线面垂直的性质即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，因为为的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为平面，，平面，
所以平面平面．
因为平面平面，平面平面，所以．
因为，所以．
由平面，平面，可得．
又，平面,所以平面，平面,
从而．
因为是的中垂线，所以．
（2）因为平面，所以与平面所成的角为，
又，,，所以．
作，垂足为，分别以，，的方向为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
所以，即平面与平面夹角的余弦值为．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解.
（2）当直线的斜率存在时，不妨设，且.动直线与相切可得即，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合即可得解.
【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线方程为，
所以该焦点到渐近线的距离为.
因为，所以.
故的方程为.
（2）
当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.
当直线的斜率存在时，不妨设，且.
联立方程组得.
由，得.
联立方程组，得.
不妨设与的交点分别为，则.
同理可求，所以.
因为原点到的距离，所以.
因为，所以.
故的面积为定值，定值为.
22．(1)答案见解析
(2)，
【分析】（1）求得，分 ，讨论的单调性.
（2）将问题转化为，根据的值域确定，分别就分析是否满足题意.
【详解】（1），
当时，，在上单调递减.
当时，令，得.
，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减.
（2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则.
因为，所以，即，
即，
因为，为正整数，所以.
当时，，
因为，，所以，这与矛盾，不符合题意.
当时，因为，，所以，
所以，得，即.
经检验，当，时，不符合题意，
当，时，符合题意，
当，时，因为，所以，
当时，，，
所以.
综上，仅存在，满足条件.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于根据的值域确定的范围，再根据为正整数得，从而就的取值讨论即可.