35，2023-2024学年广东省深圳市高三上学期数学一轮模拟卷

这是一份35，2023-2024学年广东省深圳市高三上学期数学一轮模拟卷，共22页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若，则，已知，则，已知，若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则中元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，则，其中，当时，.例如，则十进制数2024表示成二进制数为.那么，二进制数表示成十进制数为（ ）
A．1023B．1024C．2047D．2048
5．若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．0B．C．D．1
8．在平面直角坐标系中，已知圆，若正方形的一边为圆的一条弦，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．5
二、多选题
9．已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．若，则
B．当时，在上存在单调递减区间
C．的最大值为
D．当时，在上单调递增
12．已知双曲线，点，分别在两条渐近线上（不与原点重合），点是上的一个动点，且，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值B．当轴时，为定值
C．为定值D．为定值
三、填空题
13．已知向量在向量上的投影向量，且，则 .
14．过抛物线的焦点的直线与交于两点，线段的中点到轴的距离为2，以为直径的圆的半径为，点在上，且点到的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 .
15．若函数（为自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
16．正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 .
四、解答题
17．等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足数列为递增数列，求数列前项和．
18．如图，在平面四边形中，为钝角三角形，为与的交点，若，且.

(1)求的大小；
(2)求的面积.
19．如图所示，四边形ABCD为圆柱ST的轴截面，点Р为圆弧BC上一点（点P异于B，C）．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若，（），且二面角的余弦值为，求的值．
20．已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)求证：；
(3)若函数无零点，求实数a的取值范围．
21．已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
(2)若，求的面积；
(3)设直线与直线交于点，证明：三点共线．
22．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
（其中）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为，且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若，求，并根据全概率公式求；
(2)是否存在值，使得，请说明理由.
题号
一
二
三
四
总分
得分
1
2
3
0
参考答案：
1．B
【分析】由直线与圆的位置关系进行判断即可.
【详解】方程，表示圆心为，半径为，
则圆心到直线：的距离为，
得直线与圆相切，只有一个交点，则中元素的个数为1.
故选：B
2．A
【分析】由复数除法、模的求法化简求复数，进而判断对应点所在象限.
【详解】由，对应点为在第一象限.
故选：A
3．B
【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据投影向量的定义，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量，
故在上的投影向量为，
故选：B
4．C
【分析】根据十进制数表示成二进制数的方法求二进制数对应的十进制数即可.
【详解】由题设，.
故选：C
5．D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由，
而，则，所以，即，
由，则，即，
综上，.
故选：D
6．A
【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集.
【详解】由，可得，
令，结合，则，
所以在R上递减，故，
则原不等式解集为.
故选：A
7．A
【分析】由两角和与差的三角函数，结合求解.
【详解】已知，
则，
，
，，
则，，
则
.
故选：A.
8．C
【分析】令，利用对称性及数形结合有最大则，在中应用余弦定理及倍角正余弦公式、辅助角公式得，结合正弦型函数性质求最大值.
【详解】令且，，要使最大有，
如下图示，在中，
所以
，
当且仅当时，
所以的最大值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：令，应用所设参数表示出为关键.
9．AD
【分析】根据，可求得n的值，即可判断A；利用赋值法，令，求出二项式展开式的系数和，即可判断B；结合二项式展开式的通项公式可求得，判断C，D.
【详解】由题意知，
则，A正确；
令，则由，
得，即，
故，B错误；
，C错误；
，D正确，
故选：AD
10．ABD
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比及通项公式，再逐项判断即得.
【详解】在等比数列中，由，得，解得，
则公比有，解得，，
对于A，，A正确；
对于B，，，即，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，，
即，D正确.
故选：ABD
11．CD
【分析】利用奇函数的性质，结合指数函数单调性逐项判断即可得解.
【详解】定义在上的奇函数，当时，，，
对于A，由，得，则，解得，A错误；
对于B，当时，当时，在上单调递增，则在上单调递增，
因此在上不存在单调递减区间，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，当时，当时，，令，函数在上单调递增，
函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，
则在上单调递增，D正确.
故选：CD
12．AD
【分析】求出双曲线渐近线方程，不妨设点A在渐近线上，点B在渐近线上，即可得，由此可判断A；当轴时，，结合化简，可判断B；结合向量求出，代入双曲线方程化简求出，结合点，分别在两条渐近线上，推出，即可判断C，D..
【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，
不妨设点A在渐近线上，点B在渐近线上，
则，故，A正确；
设，由得，
即，
当轴时，，不为定值，B错误；
把代入中，得，
整理得，
再由得，
即不为定值，为定值，C错误，D正确，
故选：AD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项C，D的判断，解答时要根据设点的坐标，结合向量的坐标运算求出，代入双曲线方程化简求出，结合点，分别在两条渐近线上，推出，即可求解.
13．
【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为，
设，由，得，
故，即，
故，
故答案为：
14．3
【分析】由题意求出p的值，求得抛物线方程，判断直线和抛物线相切，结合抛物线定义可得，即可得出的最小值即为F点到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】设线段的中点为M，过点分别作抛物线准线l的垂线，
垂足为，则，
由于线段的中点到轴的距离为2，以为直径的圆的半径为，，
故，则，则，抛物线方程为，
结合抛物线定义可得，
联立，整理得，，
即直线与抛物线相切，
故的最小值即为F点到直线的距离，此时，
最小值为，
故答案为：3
15．
【分析】将函数有两个不同的零点，转化为函数与的图象有2个不同的交点，利用导数的几何意义求出当直线与曲线相切时的切线斜率，作出函数图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】令，即得，
则函数有两个不同的零点，
即函数与的图象有2个不同的交点，
当直线与曲线相切时，设切线方程为，
设切点为，
由，得，则切线方程为，
则，即得，
作出函数以及的图象，
要使得函数与的图象有2个不同的交点，
需满足，即实数的取值范围为，
故答案为：
16．3
【分析】设正三棱锥的高为h，从而求得棱锥的表面积，结合棱锥的体积求出，进而求得，即可得的表达式，利用换元，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上，
，则，侧面上高为，
则正三棱锥的表面积为，
则正三棱锥的体积为，
即，故，
又，则，则，
故，
令，则，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为3，
故答案为：3
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据正三棱锥的几何特征，结合棱锥体积求出外接球半径以及内切球半径的表达式，从而可得的表达式，利用换元，结合基本不等式即可求解.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式，可构造方程组求得，由此可得通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法，结合等差等比求和公式可得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得：或，
当时，；
当时，.
综上，或
（2）由（1）当数列为递增数列，则，
设，
.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理解三角形，分类讨论计算即可；
（2）法一：利用（1）的结论及正切的差角公式计算，结合三角形面积公式计算即可；
法二：构造三角形相似，结合线段比例关系计算面积即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
或，
当时，又，所以，与为钝角三角形不符合，舍去.
所以.
（2）由（1）知，为等腰三角形，，
，
由，
可得；
法二：作于，则，
易知，
所以，则，
则.

19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质得出：，；再根据线面垂直的判定定理证得：PC⊥平面PAB；最后根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，依据向量共线求出点；再求出平面PBM与平面BMC的法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.
【详解】（1）∵ P为圆弧BC上一点，BC为圆S直径，∴，
∵在圆柱ST中，平面BCP，平面BCP，∴，
∵，平面PAB，平面PAB，
∴平面PAB，
∵平面PAC，
∴平面平面PAC．
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，
在平面BCP内以过点且垂直于的直线为轴、建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，
则，，，
所以，，，，即
设，由得：，
即，∴，，
设平面PBM的一个法向量，
∴，令，得.
∵轴平面BMC，
∴取平面BMC的一个法向量，
∴，
解得：．
20．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；
（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；
（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以在点处的切线的斜率为，
故在点处的切线方程为，即.
（2）依题意知，函数的定义域为，
，
令，则，解得；
令，则，解得或；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，
所以.
（3）依题意得，
，
当时，，在定义域上无零点；满足题意.
当时，，所以，
令，得；
令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得最大值为，
因为无零点,
所以，解得；
当时，因为，
所以，即，
所以在定义域上无零点；满足题意.
综上所述，实数a的取值范围
21．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；
（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；
（3）联立直线和椭圆方程，先表示出坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算.
【详解】（1）依题意，，解得（负数舍去）.
（2）的直线经过，则直线方程为：；
，则椭圆的方程为：.
设联立直线和椭圆方程：，消去得到，
解得，则，故，于是.
依题意知，为椭圆的下顶点，即，由点到直线的距离，到的距离为：.
故
（3）设联立直线和椭圆方程：，得到，由，得到直线方程为：，令，解得，即，又，，为说明三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，而，，，于是上式变为：.
由韦达定理，，于是，故，命题得证.
22．(1)，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由概率之和为1列出方程，求出，计算出，然后利用全概率公式可求得结果，
（2）假设存在，使，由于，两式相乘后得，设，利用导数可求出其最小值进行判断.
【详解】（1）当时，，
则，解得.
由题意，得.
由全概率公式，得
又，所以.
（2）由，得.
假设存在，使.
将上述两式相乘，得，
化简，得.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以不存在使得.即不存在值，使得.
【点睛】关键点点睛：此题考查全概率公式的应用，考查离散型随机变量的分布列，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据概率和为1，和期望公式列方程，化简后利用导数解决，考查数学计算能力，属于较难题.