2024年湖南省中考数学模拟试题

这是一份2024年湖南省中考数学模拟试题，共14页。试卷主要包含了4×109等内容，欢迎下载使用。
命题单位：娄底市第二中学 命题人：肖成启
温馨提示：
1.数学卷面满分120分，考试时量120分钟.
2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上.
3.请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效.
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1．2024年湖南省开始实现中考省级统一命题，2024的相反数是（ ）
A．2024B．12024C．−2024D．−12024
2．下列各式中，正确的有（ ）
A．a3＋a2＝a5 B．（−2a2） 3＝－6a6
C．a8÷a2＝a4 D．a∙（−a2）3＝－a7
3．国家反诈App帮助很多人远离诈骗，其下载次数已经突破4亿次，把4亿用科学计数法可以表示为（ ）
A．48B．4×108C．4×109D．0.4×109
4．如图，A、B、C为⊙O上的点，∠AOB=120°，D在线段AC的延长线上，则∠BCD的度数为（ ）
A．90°B．105°C．120°D．135°
第4题图 第6题图

5．《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意如下：有几个小伙伴一起去买一件物品，如果每个人出6元钱，则会少2元；若每个人出7元，则会多6元.若设人数为x人，物品的价格为y元，则根据题意可列方程组为（ ）
A．6x+2=y7x−6=yB．6x−2=y7x+6=yC．6x+2=y7x+6=yD．6x−2=y7x−6=y
6．小明对着一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线将分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是（ ）
A．18B．14C．13D．12
7．将一次函数y=2x+3的图象向下平移4个单位，得到的新函数图象经过点（ ）
A．（0，−1）B．（0，1）C．（1，−1）D．（−1，−1）
8．不等式组3x+6＜02x−2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．如图，P、Q分别为反比例函数y=kx（x＜0），y＝−4x（x＞0）图象上的点，且∠POQ=90°，若sin∠Q=55 ，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．4
第9题图 第10题图
10．如图，在菱形ABCD中，AD=23，∠DAB=60°，对角线AC和BD交于点O，E为对角线AC上一动点，将DE绕点D逆时针旋转120°至DF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．23B．33C．6D．43
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3x2−6x+3=__________．
12．作业时长是“五项管理”中重要内容之一，也是学校应重点关注的内容.某学校老师在班上调查了6名学生的作业时长（单位：小时）如下：2，1，1.5，2，1.5，1，则这6名学生的平均作业时长是 小时.
13．若a满足1−a+a−2023=a，则a的值是__________．
14．如图，直线BC∥直线l，AB=AC，若∠BAC=120°，则csα=__________．
15．如图，弧BAC为等边三角形ABC的外接圆⊙O上的一段优弧，若AB=4，则优弧BAC的长度为__________．
l
α
第14题图 第15题图
16．若10b=a，则称b是以10为底a的对数．记作：b=lg10a．例如：102=100，则2=lg10100；10−1=110，则−1=lg10110．对数运算满足：当m＞0，n＞0时，lg10mn=lg10m+lg10n，例如：lg106=lg102+lg103.对数在化学中的一个应用为pH的计算，pH=−lg10H+，H+表示氢离子的浓度（单位为：ml/L），若某种溶液中氢离子的浓度为6×10−8ml/L，则该溶液的pH约为__________．（参考数据：lg106≈0.8）
三、解答题 （本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：(12)−2+2sin60°−3−（2024−π）0．
18．先化简，再求值：a2+4a+4a2−4×a−2a2+2a−1a2+a，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，AE⊥BF相交于点G.
求证：△ABE≌△BCF；
若BG=2，AG=4,求四边形CEGF的面积.
第19题图
四、解答题 （本大题共2小题，每小题8分，共16分）
20．某中学九年级为了迎接体育中考随机抽取部分学生，对抽取的学生每分钟跳绳个数进行调查，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次被抽查的学生有 名，其中“160≤x＜190”对应扇形的圆心角为 度；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若该校九年级有1000名学生，每分钟跳绳数量达到或超过170个为“优秀”，请你估计其中跳绳“优秀”的学生约有 名．
如图，某景区为了方便乘客登顶峰顶，安装了一台直达峰顶C处的空中电梯.电梯AC的高度为400m，在另一座峰顶D处测得C的俯角为30°，水平地面A，B两端的距离为450m.（参考数据：3≈1.73，以下结果均保留整数）
（1）试求峰顶D距水平地面的距离；
（2）一名游客从峰顶C处去峰顶D处，其速度约为60m/min，试问其从C处到D处的大约要花多长时间？
第21题图
30°
五、解答题 （本大题共2小题，每小题9分，共18分）
22．某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”.为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务．
(1)原计划每年产量为多少万台？
(2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初起后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？
23．（1）初步感知：如图①，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC上的中点，E为BC上一动点，作DF⊥DE交AC于点F.求证：DE=DF；
（2）问题探究：如图②，在等腰△ABC中，∠C=120°，D为AB边上的中点，E为BC边上一动点，作∠EDF=60°交AC边于点F，请问第（1）小题中的结论是否仍然成立？请说明理由.
图① 图②
第23题图
六、综合题 （本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AE为⊙O的直径，△ABC的中线AD交⊙O于点F，在AF上取点G，使得PA=PG，连接BE，CF.
若∠PAB=∠ACB，求证：PA与⊙O相切；
在（1）的条件下：
①求证：PG2=PB∙PC；
②如图2，连接BG，GC，BF，请判断四边形BFCG的形状，并说明理由.
第24题图
图1 图2
25．我们不妨约定：若函数y对于其自变量x取任意实数，其函数值都满足y≤p（p为常数），我们称这个函数为“巅峰函数”，这个常数p称为“巅峰值”.
请判断函数y=−x2−4x+2019是否是“巅峰函数”，如果是，求出此时的“巅峰值”，如果不是，请说明理由；
已知二次函数y=ax2+bx+c是“巅峰函数”.
①若a=−1，3b+4c=0，且该“巅峰函数”的对称轴在y轴的右侧，当函数图像与x轴的两个交点之间的距离为2时，求出此“巅峰函数”的解析式，并写出此时的“巅峰值”；
②若该“巅峰函数”满足下列条件：A.b≤a≤c；B.“巅峰值”为0；C.2a+b4a+2b+c=n2n+1 ，若m=−n2+2n+2023，试确定m的取值范围.
参考答案与评分标准
选择题
1-5：CDBCA 6-10：DACBB
二、填空题
11. 3（x-1）2 12. 1.5 13. 2024
14. 32 15. 163π9 16. 7.2
三、解答题
……6分
……4分
17.解：原式=4+3−3−1
=3
……2分
解：原式=a+22a+2a−2×a−2aa+2−1aa+1
=1a−1aa+1
=a+1a(a+1)−1a(a+1)
……4分
=1a+1
……6分
当a=1时，原式= 13 或 当a=3时，原式= 14
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠C=90°
第19题图
……4分
∵AE⊥BF ∴∠BAE+∠ABG=90°，又∠ABG+∠CBF=90°
∴∠BAE=∠CBF ∴△ABE≌△BCF
（2）由（1）得：S△ABE=S△CBF
……6分
∴S△ABE-S△GBE=S△CBF-S△GBE
即S四边形CEGF=S△ABG=12AG×BG=12×4×2=4
……4分
（1）100 216
……8分
……6分
（2）如图
（3）400
15
21.解：（1）如图，作CE⊥BD于点E，
则四边形ABEC为矩形.
……2分
∴CE=AB=450，BE=AC=400
由题意得：∠DCE=30°，在Rt△DEC中
tan30°=DECE=DE450
……4分
∴DE=1503≈260
……5分
∴BD=DE+BE=260+400=660（米）
……7分
（2）由（1）得，CD=2DE=3003 ∴3003÷60≈9（min）
……8分
答：（1）BD长为660米.
（2）所花时长为9分钟.
解：（1）设原计划每年生产x万台，根据题意得：
……3分
600x=6001.2x+2
……6分
解得：x=50
经检验：x=50是原方程的根.
（2）50×1.2=60（万台）
设需要每年再增加y万台，根据题意得：
……8分
（60+y）×5≥（600-60×3）
……9分
解得：y≥24
答：（1）原计划每年生产50万台；（2）每年至少需再增加24万台.
解：（1）连接CD，在等腰Rt△ABC中，D为AB的中点
……2分
∴CD⊥AB ∠BCD=∠B=45° CD=BD=12AB
又∠EDF=90°
∴∠CDF+∠CDE=∠CDE+∠BDE=90°
……4分
∴∠CDF=∠BDE
∴△CDF≌△BDE ∴ DE=DF
……5分
（2）成立，理由如下：连接CD，作DM⊥AC，DN⊥BC，
由（1）知：CD⊥AB CD平分∠ACB
∴DM=DN ∠DMF=∠DNE=90°
在四边形CEDF中，∠DEC+∠DFC=360°-120°-60°=180°
又∠DEC+∠DEN=180°
……8分
∴∠DFC=∠DEN
∴△DMF≌△DNE
……9分
∴DF=DE
解（1）∵AE为⊙O的直径
∴∠ABE=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°
又∠PAB=∠AEB
∴∠PAB+∠BAE=90°
……3分
即：PA⊥AE
∴PA是⊙O的切线
（2）∵∠ACB和∠AEB所对弧为弧AB
∴∠AEB=∠ACB=∠PAB
……5分
又∠APB=∠CPA
∴△APB∽△CPA ∴PAPC=PBPA
∴PA2=PB∙PC
……6分
又PA=PG
∴PG2=PB∙PC
……7分
四边形BFCG是平行四边形，理由如下：
如图，作PM⊥AF于点M，则AM=GM
由（2）知：PA2=PB∙PC=（PD-BD）∙（PD+CD）
又BD=CD
∴PA2=（PD-BD）∙（PD+BD）=PD2-BD2
在Rt△PAM中，PA2=PG2=PM2+AM2
……8分
BD2=PD2-PM2-AM2=DM2-AM2=（DM+AM）∙（DM-AM）
=AD∙（DM-GM）=AD∙DG ①
∵弧BF所对的圆周角为∠BAF和∠BCF
∴∠BAF=∠BCF 又∠ADB=∠CDF
……9分
∴△ABD∽△CFD ∴ADCD=BDDF
∴BD∙CD=AD∙DF=BD2 ②
由①②得：AD∙DG =AD∙DF
……10分
∴DF=DG
∴四边形BFCG是平行四边形
……1分
解：（1）是“巅峰函数”，理由如下：
……2分
y=−x2−4x+2019=−(x+2)2+2023≤2023
所以是“巅峰函数”，且“巅峰值”为2023
（2）当a=−1时，y=−x2+bx+c，设函数与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，由题意得：x1−x2=x1+x22−4x1x2=b2+4c=2
∴b2+4c=4
又3b+4c=0
……3分
解得b=4，c=−3或b=−1，c= 34
∵函数的对称轴在y轴的右侧
……4分
∴−b2a=b2＞0
∴b=4，c=−3
……5分
∴“巅峰函数”的解析式为：y=−x2+4x−3
……6分
即：y=−(x−2)2+1≤1
∴“巅峰值”为1
（3）∵“巅峰值”为0
∴y=ax2+bx+c≤0
∴a＜0且b2−4ac=0
……7分
∴c=b24a
∵b≤a≤c
∴b＜0且 a≤b24a
∴4a2 ≥b2
∴4a2-b2=（2a+b）（2a-b）≥0
∵2a+b＜0
∴2a-b≤0
∴2a≤b≤a＜0
……8分
∴12≤ab≤1
∵2a+b4a+2b+c=n2n+1
∴4a+2b+c2a+b=2n+1n
∴2+c2a+b=2+1n
∴b24a2a+b=1n
∴18a2b2+4ab=1n
∴n=8a2b2+4ab=8a2b2+a2b=8ab+142−12
∵12≤ab≤1
……9分
∴当ab =1时，n=12；当ab=12时，n=4
∴4≤n≤12
∴m=−n2+2n+2023=−n−12+2024
……10分
当n=4时，m=2015，当n=12时，m=1903
∴m的取值范围是1903≤m≤2015