安徽省滁州市定远县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份安徽省滁州市定远县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的对称轴是（ ）
A. y轴B. x轴C. 直线D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线，
即对称轴是y轴，
故选：A．
2. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质．根据已知条件即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
3. 在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．
【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：，
故选：B．
4. 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F， S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（ ）
A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：2
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比等于相似比的平方求可得相似比，可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DEAB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，
∴＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5. 已知点，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数(k是常数)的图像是双曲线，当时，反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图像的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；
根据反比例函数图像性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图像在第一、三象限，y随x的增大而减小，
∵，
∴，即．
故选A．
6. 如图，在中，，，，将△ABC沿图中的虚线剪开，得到的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐项判定即可．
【详解】解：A、剪开得到的三角形与原三角形有两个角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、剪开得到三角形与原三角形的两组对应边成比例且夹角相等，可判两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、由同位角相等、两直线平行可得平行线，故可判定两三角形相似，故本选项不符合题意．
D、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，不能判定两三角形相似，故本选项符合题意．
故选：D．
7. 已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；
当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．
8. 如图，在中，点E、F分别是边AC上的点，连接，过点E作交于点D，连接，则下列选项能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了似三角形的判定和性质等知识点，找准对应线段是解题的关键．
根据找到比例线段，再运用相似三角形的判定与性质逐项判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴与无关，故A选项错误，不符合题意；
∵，虽然，但不是夹角，不能判定，故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
由是同一条直线上的比例线段，与无关，故D选项错误，不符合题意．
故选C．
9. 二次函数的顶点坐标为．其部分图象如图所示．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，是抛物线上的两点，则
D. 关于x的方程无实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口向下可得，抛物线与轴正半轴相交可得，可判断A；由图象得时，从而可得，可判断B；由抛物线开口向下，对称轴为直线，根据点，到对称轴的距离大小可判断，可判断C；由抛物线与直线无交点，可判断方程无实数根，可判断D．
【详解】解：A. ∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与轴正半轴相交，
∴，
∴，故选项A错误，不符合题意；
B. 由图象可得时，，故选项B错误，不符合题意；
C. ∵二次函数的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为，
∵，抛物线开口向下，
∴，故C错误，不符合题意；
∵抛物线与直线无交点，，
∴方程无实数根，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
10. 如图．已知中，，直线分别交边于点D、E，F是上任意一点，若的面积为24，则面积的最大值为（ ）
A. 12B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，三角形面积，过点A作于H，交于G，先根据三角形面积公式求出，设，则，证明，推出，则，由，可得当时，最大，最大值为6．
【详解】解：如图所示，过点A作于H，交于G，
∵，即，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为6，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 抛物线与y轴的交点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，根据坐标轴上点的特征，y轴上点的横坐标为0，即可得到答案，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：当时，
此时，
∴抛物线与y轴的交点坐标是，
故答案为：．
12. 生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中AB，并且线段的黄金分割点有两个．
直接利用黄金分割定义计算出即可．
【详解】解：∵P为叶脉的黄金分割点，
∴．
故答案为．
13. 如图，在的正方形网格中，且点A、C都在格点上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理与网格问题，确定格点得出是解题关键．
【详解】解：如图所示：点为格点，
∵，
∴且
∴
∴
故答案为：
14. 如图，在平面直角坐标系中，在反比例函数上取一点，连接，作等腰．
（1）的坐标为______．
（2）若过点作交反比例函数图象于点，过点作交x轴于点，…，按此依次作图，则的坐标为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题属于规律探究题型，主要考查反比例函数和等腰直角三角形，数形结合是解题关键．
（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可设的坐标为，代入反比例函数，即可求解；
（2）分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，根据等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质求出、的坐标，找到点的坐标规律，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作轴于点，
是等腰直角三角形，且，
，
设的坐标为，代入反比例函数，得：
，
解得：，（不符合题意，舍去），
的坐标为；
（2）如图，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，
是等腰直角三角形，且，
，，，
由（1）知，，，
，
，
设，则，
，
点在反比例函数上，
，
解得：，（舍去），
，
，，
，
，
，
设，则，
点，
点在反比例函数上，
，
解得：，（舍去），
点，
即点，点，
同理可得：点，
以此类推，可得的坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
15. ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据乘方、绝对值、特殊角的三角形函数值化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
16. 近视眼镜镜片的度数y（度）与镜片焦距成反比例．已知400度近视眼镜镜片的焦距为．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距．
【答案】（1）
（2）0.5m
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，求解即可；
（2）将代入解析式，求解即可．
【小问1详解】
解：设y与x的函数表达式为，
400度近视眼镜镜片的焦距为，
∴，
即；
【小问2详解】
将代入可得：
该镜片的焦距为．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得反比例函数的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17. 如图，在9×9的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为、，，根据下列要求作答：
（1）若将的各顶点坐标进行某种变换，得到对应点的坐标为，在网格中画出变换后的图形；
（2）变换前后的两个图形有怎样的位置关系？
【答案】（1）见解析 （2）变换前后的两个图形是位似图形，位似比为
【解析】
【分析】本题主要考查位似变换：
（1）根据题意找出各顶点的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据图形可得出结论
【小问1详解】
如图，即为所作，
【小问2详解】
由图可知，变换前后的两个图形是位似图形，位似比为
18. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这种方法，计算（画图并写出过程）
【答案】，见解析
【解析】
【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD=，
∴tan22.5°==．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 如图，E为平行四边形的边延长线上的一点，连结交于点O，交点F．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定及性质，平行四边形性质
（1）根据题意判定，再利用平行四边形性质及相似三角形性质即可得到本题答案；
（2）根据题意判定，再结合（1）中即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：∵平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即：；
【小问2详解】
解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图1，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上．其侧面结构示意图如图2所示，调节杆长度为．，的最大仰角为．当时，求点A到桌面的的最大高度．（精确到1cm，参考数值：，，，）
【答案】点到桌面的最大高度为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、构造直角三角形、利用解直角三角形解决问题是解题的关键．
过点A作于F，过点B作于G，利用解直角三角形可得，，根据点A到桌面的最大高度，据此即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于F，过点B作于G，

在中，，
在中，，
所以点A到桌面的最大高度．
答：点A到桌面的最大高度为．
六、（本大题共12分）
21. “三只羊”是我市某直播平台，近年，销售额频频突破百亿大关．某坚果公司在“三只羊”直播平台中推出一款“新春”产品礼盒，每盒的成本为元，若按每盒元销售，则同时段每天可售出盒．为了新年回馈网友，公司决定降价销售．经核算，发现销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒．设该礼盒售价为每盒x元（），同时段每天的销售量为y盒，每天的销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数表达式（含自变量x的取值范围）；
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每天的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）（）
（2）元
（3）销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数、二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，掌握“建模”思想是解题关键．
（1）根据销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒，即可求解；
（2）解方程即可求解；
（3）求出每天的销售利润w与定价的函数关系即可求解．
【小问1详解】
解：∵销售价每降低1元，同时段每天的销量就增加盒，
∴（）
小问2详解】
解：每盒的成本为100元，由题意得：，
解得：
∵要让利顾客，
∴取
即：要使1天的销售利润达到元，销售价应定为每盒元
【小问3详解】
解：有（2）可得：
∴（）
∴当时，即销售价定为元时每天的利润最大，最大利润为
七、（本大题共12分）
22. 在中，．，且．点D、E、F分别是边上的动点（点E在点F左边），且，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点D运动到与点A重合时，若设．，求y关于x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）如图3，连接，当为等腰三角形时，直接写出y的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或7
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）直接根据已知条件证明，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答；
（2）先说明，如图：过D作；再解直角三角形得到，进而得到；再根据已知条件可得；然后勾股定理可得；再结合（1）结论可得，即；最后根据已知条件列不等式求出x的取值范围即可；
（3）分、、三种情况分别运用勾股定理、等腰三角形的性质解答即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
解：∵当点D运动到与点A重合时，
∴,
如图：过D作,
∵，
∴，即，解得：，
∴，
设．，则，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∵E、F分别是边上的动点（点E在点F左边），
∴，解得：，
∴y关于x的函数关系式为．
【小问3详解】
解：当时，，，
∴，解得：；
当时，由等腰三角形的性质可得：，不符合题意舍弃；
当时，；
综上，当为等腰三角形时，y的值为或7．
八、（本大题共14分）
23. 如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接．

（1）若，，求a的值；
（2）若，，
（ⅰ）当，请判断此时抛物线的图像与直线的图像公共点的情况；
（ⅱ）已知点和点在该抛物线上，若，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；（ⅱ）当，a的取值范围为或
【解析】
【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，综合运用二次函数的知识是解题关键．
（1）如图：过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，代入得到方程组求解即可；
（2）将，代入可得；（ⅰ）列出方程再画成一般式，然后运用根的判别式判定即可；（ⅱ）分和两种情况，分别运用二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：过C作轴于点D．

由题意可知，
∵，
∴，
设，则，，
抛物线解析式为，
把代入得：，解得．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
（ⅰ）由题意可得：，即，
∵，
∴，
∴抛物线的图像与直线的图像有两个公共点；
（ⅱ）∵，，
∴抛物线的对称轴为，
当时，由，则，解得：；
当时，由，则或，解得：；
综上，当，a的取值范围为或．