河北省保定市安新县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河北省保定市安新县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16个小题，共38分。1~6小题各3分，7~16小题各2分，共38分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 标准大气压下，水加热到时沸腾
B. 测量雄安新区某天的最低气温，结果为
C. 一个袋子中装有个黑球，从中摸出个是黑球
D. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可求解，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
【详解】、标准大气压下，水加热到时沸腾，是必然事件，不合题意；
、测量雄安新区某天的最低气温，结果为，是不可能事件，不合题意；
、一个袋子中装有个黑球，从中摸出个是黑球，是必然事件，不合题意；
、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，符合题意；
故选：．
3. 下列各组图形中，不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可．
【详解】解：A. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意；
B. 两个图形均为等边三角形，是相似图形，不符合题意；
C. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意
D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意．
故选：A．
4. 一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．先求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵图中共有15个方格，其中黑色方格3个，
∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值，
∴最终停在阴影方砖上的概率为．
故选：C．
5. 若点与点关于原点对称，则等于（ ）
A. B. C. 1D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
故选：A．
6. 如图，将直角三角板45°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于E、F两点，P是优弧EF上任意一点（与E、F不重合），则∠EPF的度数是（ ）
A. 22°B. 22.5°C. 45°D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”即可得．
【详解】解：∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．
7. 若，，，面积为10，则的面积为（ ）
A. 20B. 40C. 50D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方解题即可.
【详解】解：，
∴，
∴,
故选B.
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
8. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
9. 已知蓄电池的电压为定值（电压三星近总度阻），使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻尺（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是
C. 当时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【详解】解：设，
图象过，
，
∴，
蓄电池的电压是，
∴A、B选项正确，不符合题意；
当时，（A），
C选项错误，符合题意；
当时，，
由图象知：当时，，
D选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
10. 在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（ ）

A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键．
【详解】解：如图，，
∴三角形的外心为点，
故选A．
11. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
得到的抛物线是，即．
故选：D
12. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
13. 已知实数，现甲，乙、丙、丁四人对关于的方程讨论如下，则下列判断正确的是（ ）
A. 甲和丙说的对B. 甲和丁说的对C. 乙和丙说的对D. 乙和丁说的对
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，根与系数的关系，根据一元二次方程的概念可判定甲、乙，运用根据与系数的关系可判定丙、丁，由此即可求解．
【详解】解：关于的方程，
当，时，原方程变为，是关于的一元一次方程，故甲是错误的；
当时，是关于的一元二次方程，故该方程有可能是关于的一元二次方程，故乙是正确；
∵，，，
∴，
当时，，且，方程有两个实根，故丁正确；
当时，方程没有实数根，故丙错误；
综上所述，正确的有乙，丁，
故选：．
14. 如图，直线相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处．如果以的速度沿由向的方向移动，那么 秒钟后与直线相切（ ）

A. 3B. 7C. 3或7D. 6或14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，根据题意与相切分在直线左侧时在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间．
【详解】①由题意可知与相切于点E，
∴，
∵半径为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴秒．
②当圆心在直线的右侧时，，
则需要运动的时间为秒．
综上所述，与直线相切时经过的时间为或秒钟，
故选：C．
15. 若为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．分别计算自变量为所对应的函数值，从而可判断的大小关系．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，，
所以．
故选：A．
16. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
【详解】解：∵点是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
如图，连接，，
∵点是内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②不正确；

∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，故③正确；
如图，连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
∴一定正确的是①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心是解题的关键．
二、填空题（本大题共3小题，共10分。17小题2分，18、19小题各有2个空，每空2分。）
17. 若、是方程的两个根，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据求解即可得到答案；
【详解】解：∵、是方程的两个根，
∴，
故答案为：4．
18. 如图，正六边形的边长为6，以点为圆心，的长为半径画圆，则正六边形的中心在________（填“内”、“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为________．
【答案】 ①. 上 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆锥的计算、点与圆是位置关系、弧长公式，掌握正多边形的性质、弧长公式是解题的关键．设点O为正六边形的中心，连接，先证明是等边三角形，根据点与圆是位置关系的判断方法确定点O与的位置关系，根据正六边形的性质求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
【详解】解：如图，设点O为正六边形的中心，连接，
六边形为正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形中心在上，
六边形正六边形，
，
的长为：，
圆锥的底面周长为：，
圆锥的底面直径为：，
故答案为：上，4
19. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，，则的值和点的坐标分别为____________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据三角形的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，且等于，可求出k的值；根据一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B，所以当时，可求出A的横坐标，根据为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标．
【详解】解：∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∴反比例函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴；
∵是的中位线，
∴轴，即，
∴，
∴Q点的横坐标为2，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∴点Q的坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数（）中k的几何意义是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 解方程：
（1）；（用配方法）
（2）；（用公式法）
（3）．（用适当的方法）
【答案】（1），；
（2）无实数解； （3），．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
即或
解得，；
【小问2详解】
，，
，
方程无实数解；
【小问3详解】
即
解得，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了公式法、配方法和因式分解法，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
21. 某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【解析】
【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
22. 已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，且点的横坐标，求：
（1）反比例函数的解析式．
（2）的面积．
（3）直接写出满足时的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】(1)把x=-1代入一次函数的解析式，得到交点（-1,8），即可求反比例函数的解析式；
(2)求出点B的坐标，把三角形AOB的面积适当分割，即可求解；
(3)利用交点横坐标，数形结合思想，分两个象限写出符合题意的不等式即可.
【详解】解：（1）把分别代入，得
，
∴，
把代入，
得 ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为，
（2）设与轴交点为
∴，
解，
得或，
∴，
∴
，
（3）根据图像的意义，知当时，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，理解交点的意义，学会数形结合的思想，方程组思想，图形分割思想，不等式思想是解题的关键.
23. 如图，在中，，平分交于点，将绕点逆时针旋转到的位置，点在上，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线得到，再结合旋转的性质即可；
（2）由（1）得到DE∥BC，进而证明，结合AD=2BD得到即可求出DE的长度．
【详解】证明：（1），CD平分∠ACB，
∵绕点逆时针旋转到的位置，
，
（2）由（1）,，
，
∴，
，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转的性质以及相似三角形的性质．
24. 从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）为了减少库存，将销售单价应定为15元；
（3）此时的最大值为2160元．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及不等式组的应用等知识，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解题的关键．
（1）根据“销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润”，直接列式即可求解即可；
（2）令，可得，解方程并结合题意，即可求解；
（3）根据题意有，解得的取值范围，并将化为顶点式为，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，有：，
化简，得：，
∴与之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：令，可得：，
解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
∵销量越高，越有利于减少库存，
∴为了减少库存，将销售单价应定为15元；
【小问3详解】
解：根据题意有：，
解得：，
将化为顶点式为：，
∵，
∴当时，函数值随着的增大而减小，
∵，
∴当时，函数值最大，最大为：．
答：此时的最大值为2160元．
25. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．

（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，如图2，先根据切线性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
【小问1详解】
解：证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
连接，如图2，

在中，，
，
为直径，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
26. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当轴时，求的面积；
（3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值；
（4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）的面积为1；（3）此时的取值范围为，定值为4；（4）的取值范围为或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道BP∥x轴，根据三角形的面积公式可得结论；
（3）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为4时，点P的位置，从而确定m的取值范围；
（4）分三种情况讨论满足d-n=1时，m的取值范围．
【详解】解：（1）把点、代入得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，，
点为，
当轴时，点与点关于对称轴对称，
点，
，点到的距离为1，
，
的面积为1；
（3）设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示，
点与点关于直线对称，
点为
当点在点和点之间时，点与点之间（包含点和点的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值4，
此时的取值范围为：；
（4）过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称，，如图所示：
①当点在点和点之间时，即时，，，
，
，
解得：（不合题意）；
②当点在点和点之间时，即时，，，
符合题意，
，
③当点在点下方时，即时，，
，
，
，
或，
解得：或或，
，
．
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；会利用待定系数法求函数解析式；关键是根据已知条件讨论点P的位置．甲：该方程一定是关于的一元二次方程
乙：该方程有可能是关于的一元二次方程
丙：当时，该方程没有实数根
丁：当且时，该方程有两个实数根