山东省泰安市岱岳区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山东省泰安市岱岳区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，每小题4分，共48分．，四象限，等内容，欢迎下载使用。

1. 已知反比例函数的图像经过点，则这个函数的图像位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，即可得．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴这个函数的图像位于第二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据题意确定k．
2. 在中，，，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余弦等于邻边比斜边，进行求解即可．掌握余弦的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选A．
3. 下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：第1个图中，阴影面积为3，故符合题意；
第2个图中，阴影面积为，故不符合题意；
第3个图中，阴影面积为，故符合题意；
第4个图中，阴影面积为，故符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
4. 如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
5. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，正确配方，后确定坐标选择即可．
【详解】∵，
故顶点坐标为，
故选C．
6. 若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（ ）
A. 点A位于第二或四象限B. 图象一定经过
C. 在每个象限内，y随x的增大而减小D. 图象一定经过
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
，故选项B、D正确，不符合题意；
，
∴图象位于第一、三象限，故选项A不正确，符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意．
故选：A．
7. 如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西55°方向上，则河宽的长为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求出∠ABC的度数，再利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图，∵点 B 在点 C 的北偏西55°方向上，
∴∠BCD=55°，
∵该河道为东西流向且与河岸平行，点 B 在点 A 正北方向，
∴AB⊥AC，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=55°，
∵点 A 向正东方向走 a 米到达点 C ，
∴AC=a，
∴
故选D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与能力．
8. 在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图像可能是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据各选项中一次函数与二次函数图像分别判断各自a值的正负，若同正或同负，则判断该选项为符合题意的选项．
【详解】解：选项A，直线经过二、四象限a＜0，抛物线开口向上，a＞0，矛盾，故不符合题意；
选项B，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向上a＞0，由抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，矛盾，故不符合题意；
选项C，直线经过二、四象限，a＜0，抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，可知a＜0，故符合题意；
选项D，直线经过一、三象限，a＞0，抛物线开口向下a＜0，矛盾，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图像与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握系数与函数图像的关系．
9. 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A. 4kmB. 2kmC. 2kmD. （＋1）km
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB，则AD=OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=2km.
考点：三角函数的应用
10. 如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】①根据直线是对称轴，确定的值；
②根据时，确定的符号；
③根据时，，求得，即可得到结论；
④根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可．
【详解】解：∵直线是对称轴，
∴，即，
∴，故①正确；
∵直线是对称轴，二次函数图象经过点，
∴抛物线经过点,
∴当时，，
即，故②错误；
当时，，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，
∵，，与是抛物线上两点，
∴，故④正确，
综上，正确的是①③④，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键．
11. 表示关系式（1），（2），（3），（4）的图像依次是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；
根据反比例函数图形函数性质判断即可．
【详解】（1）是双曲线，，，故图像②符合；
（2）是双曲线，，，故图像③符合；
（3）是双曲线，，，故图像④符合；
（4）是双曲线，，，故图像①符合；
故选：B
12. 平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：设所在直线的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
∴所在直线的函数解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，
如图，
∵点，轴，
∴点坐标为，
将代入得，，
解得，
∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点，
如图，
当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，，
当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时，
由得，，
解得，
∴时与三角形有两个交点，
综上，，
故选：C．
二、填空题，每小题4分，共24分．
13. 为一锐角，且，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据tan45°＝1进行解答即可．
【详解】解：∵为锐角，且，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
14. 二次函数的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键；
求得二次函数的对称轴，根据对称轴即可求得二次函数的最小值．
【详解】二次函数对称轴为，且，
当时，二次函数有最小值，
最小值为： ，
故答案为：．
15. 一个用电器的电阻R是可调节的，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示，则通过这个用电器的电流I的范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数定义域与值域的计算，掌握自变量与函数值的计算是解题的关键．
根据题意，分类讨论，当时；当时；分别计算出电流的值即可求解．
【详解】解：根据题意，，，
∴当时，；当时，；
∴，
故答案为：．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正弦函数的计算，如图，连接，得，从而得到，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17. 抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键；
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【详解】抛物线与x轴的一个交点为，
抛物线的对称轴为，
抛物线与x轴的另一交点坐标为即；
故答案为：．
18. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则反比例函数的图象上关于点的k级变换点是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据“级变换点”定义求解即可．
【详解】解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
∴点的“级变换点”为或，
故答案为：或．
三、解答题，本大题共7小题，78分．
19. 某气球充满了一定质量的气体，当气温不变时，气球内气体的气压（）是气体体积（）的反比例函数，其图像如图所示：
（1）写出该函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气球内的气压是多少：
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少（精确到）？
【答案】（1）反比例函数的表达式为
（2）
（3）气球体积应不小于
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用；
（1）设反比例函数的表达式为，将代入，即可求解；
（2）当时，代入，即可求解；
（3）当时，代入，即可求解．
【小问1详解】
设反比例函数的表达式为，
∵图像过点，
∴
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
当时，代入，
【小问3详解】
当时，代入，，
气球的体积应不小于．
20. 已知：如图，在中，，．求：
（1）；
（2）的余弦值．
【答案】（1）；
（2）的余弦值为
【解析】
【分析】（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
小问1详解】
解：过点作，垂足为，
在中，，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴，
∴的余弦值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21. 小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：
（1）由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的______；正确的y值是______；
（2）在图中画出这个二次函数的图象，求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，x的取值范围是______．
【答案】（1）2，5 （2）二次函数的解析式为，
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：从表格可以看出，当或时，，
可以判断，是抛物线上的两个对称点，
就是顶点，设抛物线顶点式，
把代入解析式，，解得，
所以，抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
所以这个错算的值所对应的，，
故答案为：2，5；
【小问2详解】
解：由（1）得二次函数的解析式为，
画出这个二次函数的图象如图：
；
【小问3详解】
解：当和时，，
且，开口向上，
∴当时，x的取值范围是或．
故答案为：或．
22. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为.
（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）
（2）这辆货车能安全通过
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【小问1详解】
解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
【小问2详解】
根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
23. 如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，）
【答案】渔船没有触礁的危险．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论．
【详解】解：过点作，由题意，得：，，，
设，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
24. 如图，O是平面直角坐标系的原点，点B是x轴上一点，坐标是，以为边在第一象限作等边三角形，反比例函数的图像经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将等边沿x轴正方向平移，使线段的中点恰好落在反比例函数的图像上，求等边平移的距离．
【答案】（1）反比例函数表达式为；
（2）等边平移的距离为3．
【解析】
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，等边三角形的性质，平移的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）过A作于，根据等边三角形性质得到，根据勾股定理得到，求得 ，把 代入 即可得到结论；
（2）设线段的中点为，根据三角形中位线定理得到，设等边平移的距离为m，把点代入反比例函数的解析式即可得到结论．
【小问1详解】
解：过A作轴，垂足为C，
∵是等边三角形，，
，
∴A点坐标 ，
代入得，
∴反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：取中点，过作轴，垂足为D．
则，是的中位线，
∴，，
∴点坐标，
设等边平移的距离为，则平移后的点的坐标为，
∵点在反比例函数图象上，
∴,
∴，
∴等边平移的距离为3．
25. 在二次函数中，
（1）若该二次函数的图像过，求m的值：
（2）当时，点，都在抛物线上，求t的值：
（3）当，y的最小值为，求出m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等等：
（1）把点代入中求出m的值即可；
（2）求出对称轴直线 ，根据对称性得到，解方程即可得到答案；
（3）先求出对称轴为直线，当时，当时，y取最小值，即，解得解得，（舍去）；当时，当，y取最小值即，解得（舍去）；据此可得答案．
【小问1详解】
解：把点代入中得：
解得；
【小问2详解】
解：当时，抛物线得对称轴为直线
∵点，关于对称轴对称，且A点在对称轴左边，B点在对称轴右边
∴
解得；
【小问3详解】
抛物线的对称轴是直线
当时，
当时，y取最小值，即，
解得，（舍去）；
当时，∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当，y取最小值即，
解得（舍去）
综上，
x
…
0
1
2
…
y
…
5
0
0
…