陕西省宝鸡市扶风县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份陕西省宝鸡市扶风县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，计24分．）
1. 关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 5，，B. 5，2，C. ，2，1D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，根据定义分析即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：
故选：B．
2. 如图所示，该几何体的左视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的意义，画图即可，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】根据题意，左视图为 ，
故选A．
3. 已知，若，则（ ）
A. 12B. 15C. 16D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比性质计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了等比性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4. 在中，，如果，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦三角函数的定义列式计算，本题考查了正弦三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是理解正弦三角函数定义．
【详解】，
，
由勾股定理可得，，代入可得：
，
解得，，
故选：．
5. 已知，相似比为，且的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长，掌握相似三角形的性质
是解题的关键．
【详解】解：∵，相似比为，
∴的周长的周长，
∵的周长为，
∴的周长，
故选：．
6. 如图，已知菱形的周长为40，对角线，则菱形的面积为（ ）
A. 24B. 48C. 96D. 192
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理等知识，根据题意得出的长是解题关键，进而得其对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形的周长为40，对角线，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
7. 某班数学兴趣小组为了考察本市某条斑马线上驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的六组数据统计整理结果，通过表格中相关数据可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为（ ）
A. 0.990B. 0.980C. 0.970D. 0.960
【答案】C
【解析】
【分析】根据6次调查从100辆增加到4000辆时，能让车辆的频率趋近于0.970，从而求得答案；
【详解】由题意可得：抽取车辆为4000时，能礼让车辆的频率趋近于0.970
故可估计驾驶员能主动给行人让路的概率为0.970
故选：C
【点睛】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率
8. 若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线性质．根据抛物线的对称性质求出抛物线对称轴，即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
又，两点纵坐标相同，
∴，两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴经过的点的横坐标为，
∴D选项点的坐标才符合题意，A、B、C选项都不符合题意．
故选：D．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，计15分．）
9. 方程的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．
【详解】解：，
，
或,
解得，
故答案为： ．
10. 如图，在中，，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
11. 在平面直角坐标系中，有三个点，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，位似比为，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：以点O为位似中心，在第三象限内作与位似图形，位似比为，且，
点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
12. 如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．首先由，可证得，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长．
【详解】∵，
∴，
∴，
，，，
，
，
解得：．
故答案为：．
13. 反比例函数，（）在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于点，交轴于点，连接、，若，则的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，，再利用得到，然后解关于的绝对值方程即可．
【详解】解：轴，
，，
，
，
而，
．
故答案为：10．
三、解答题（本题共有10小题，计61分．）
14. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程．（1）运用因式分解法解方程；（2）运用配方法求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
∴；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
∴．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角度三角函数值的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是熟记各个特殊角度的三角函数值．先将各个特殊角度的三角函数值、二次根式、负整数指数幂化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 在北京举行的第届冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，一路倒数，最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．老师为了让学生深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
（1）下列四种说法，正确说法的序号是______．
若随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”的概率为；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是必然事件；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是不可能事件．
（2）老师选出写有“立春、立夏、立秋”（分别用，，依次表示这三种节气）的三张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小明同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀再随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）直接利用概率公式计算和必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可；
（）画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后根据概率公式计算即可．
本题考查简单的概率计算，画树状图或列表法求概率．掌握概率公式和正确地列出表格或画出树状图是解题关键．
【小问1详解】
∵共有24张卡片，且抽取每张卡片的可能性相同，
∴若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为，故正确；
随机抽取一张卡片，则上面写有“立冬”是随机事件，故说法正确，错误，
故选：；
【小问2详解】
由“立春、立夏、立秋”的三张卡片分别记为、、，
画树状图如下：
由树状图可知：共有种等可能的结果，其中两次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为．
17. 某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
18. 如图，在中，点D在上，，，
（1）求证：；
（2）当时，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质：
（1）先证，再结合即可证明；
（2）先证，再根据相似三角形对应角相等求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象上与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点是轴上一点，且，求点坐标．
【答案】（1），；
（2）或．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式．
（1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．
（2）根据求得，进而即可求得D的坐标．
【小问1详解】
解：将点代入，得，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
将代入，得，
．
将，代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
由可知，
，
，
或．
20. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点处测得旗杆顶部的仰角为45°，旗杆底部的俯角为60°．室外测量组测得的长度为5米，求旗杆的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】此题根据题意作，利用和 分别求出PB，AP即可求出AB的长．
【详解】解：过点作于点，
在中，，，，，
在中，，，
米．
【点睛】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．
21. 已知如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影．
（1）请你画出此时在阳光下的投影；
（2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，请你计算的长．
【答案】（1）详见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的判定与性质．
（1）根据已知，连接，过点作，即可得出就是的投影；
（2）利用三角形得出比例式，求出即可．
【小问1详解】
解：如图，连结，过点作，为此时在阳光下的投影；
【小问2详解】
解：，
，
，
，即，
解得，
答：的长为．
22. 已知二次函数的图象经过和．
（1）求该二次函数的表达式和对称轴；
（2）当时，求该二次函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；对称轴为直线；
（2）该二次函数的最大值为12，最小值为．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）先将和分别代入求出二次函数表达式，再根据对称轴公式作答即可；
（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．
【小问1详解】
解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
23. 【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；
（2）先证明，得，进而即可求解；
（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在上取一点F，使得，连结．
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．抽查车辆数
100
500
1000
2000
3000
4000
能礼让的驾驶员人数
99
489
968
1942
2907
3880
能礼让的频率
0.990
0.978
0.968
0.971
0.969
0.970