2023-2024学年江西省上饶市玉山县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江西省上饶市玉山县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x=a是一元二次方程x2−2x−13=0的一个解，则代数式3a2−6a+3的值为( )
A. 1B. 4C. 5D. 6
2.对于二次函数y=x2−4x+5的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴是直线x=−2
C. 与x轴有两个交点D. 顶点坐标是(2,1)
3.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )
A. 25°
B. 40°
C. 50°
D. 65°
4.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若BE=17，AD=7，则BC为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
6.已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+ca≠0在平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.如果点P(x,y)关于原点的对称点为(2,3)，则x+y=______．
8.一元二次方程x2−2x=0的根的判别式的值是 ．
9.已知在半径为5的⊙O中，弦AB的长为6，那么圆心O到AB的距离为______．
10.在−3，−2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y=ax2+4x−2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是______．
11.若函数y=(a+1)x2−2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为______．
12.如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O顺时针旋转，至少旋转______°的角后，两张硬纸片所构成的图形是中心对称图形．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．
(1)求证：NE与⊙O相切；
(2)若⊙O的半径为52，AC=6，则BN的长为______．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
解下列方程：
(1)x2−2 7x+7=0；
(2)2x(x−3)+x=3．
15.(本小题6分)
关于x的一元二次方程x2+(a2−2a)x+a−1=0的两个实数根互为相反数，求a的值．
16.(本小题6分)
已知等腰△ABC的一边c=3，另两边a，b恰好是关于x的方程x2−(2k+1)x+4(k−12)=0的两个根，求△ABC中a的边的长．
17.(本小题6分)
有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数−1，2，5，8．
(1)随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为______；
(2)随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
18.(本小题6分)
在图(1)，图(2)中，四边形ABCD为矩形，某圆经过A，B两点，请你仅用无刻度直尺画出符合要求的图形．
(1)在图(1)中画出该圆的圆心O；
(2)在图(2)中画出线段CD的垂直平分线．
19.(本小题8分)
抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
(1)根据上表填空：
①抛物线与x轴的交点坐标是_____________和_________________；
②抛物线经过点(−3, )；
③在对称轴右侧，y随x增大而 ；
(2)试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．
20.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
(1)EA是∠QED的平分线；
(2)EF2=BE2+DF2．
21.(本小题9分)
某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益=售价−成本)
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？
22.(本小题9分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC= 3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，按下列要求画图(保留画图痕迹)：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(点A，O的对应点分别为点A′，O′)，求：
(1)∠ABC和∠A′BC的度数；
(2)OA+OB+OC的值．
23.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+4的对称轴是直线x=3，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式以及直线BC的解析式；
(2)在抛物线上找一点P，使得x轴平分∠CBP，求点P的坐标；
(3)E，F分别是直线BC和抛物线上的动点，当以C，O，E，F为顶点，OC为边的四边形是平行四边形时，请求出点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x=a是一元二次方程x2−2x−13=0的一个解，
∴a2−2a=13，
∴3a2−6a+3=3(a2−2a)+3=3×13+3=4，
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2−2a=13，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义．
2.【答案】D
【解析】解：∵二次函数解析式为y=x2−4x+5=(x−2)2+1，1>0，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线x=2，
∴顶点坐标为(2,1)，函数有最小值1，
∴方程x2−4x+5=0无解，
∴二次函数与x轴没有交点，
∴四个选项中只有D选项说法正确，符合题意，
故选：D．
先把解析式化为顶点式，进而得到顶点坐标和对称轴，再由函数开口向上，可得函数最小值为1，进而得到方程x2−4x+5=0无解，则二次函数与x轴没有交点，据此可得答案．
本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质以及圆周角的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．
【解答】
解：连接OC，
∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∵∠A=25°，
∴∠BOC=2∠A=50°，
∵CD是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°−∠BOC=40°．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
∴AC=CE，CD=BC，
设AC=CE=x，CD=BC=y，
∵BE=17，AD=7，
∴x+y=17.x−y=7，
∴x=12，y=5，
∴BC=5，
故选：C．
根据旋转的性质得AC=CE，CD=BC，设AC=CE=x，CD=BC=y，解方程组即可得到结论．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
5.【答案】B
【解析】解：列表法：
由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果，
所以指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为26=13，
故选：B．
先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出ba0是解题的关键．
根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的对称轴直线是x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】
解：观察函数图象可知：ba0，
∴二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象的对称轴直线是x=−b2a>0，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：A．
7.【答案】−5
【解析】解：∵点P(x,y)关于原点的对称点为(2,3)，
∴x=−2，y=−3；
∴x+y=−2−3=−5．
故答案是：−5．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8.【答案】4
【解析】解：在方程x2−2x=0中，Δ=(−2)2−4×1×0=4．
故答案为：4．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=4，此题得解．
本题考查了根的判别式，牢记一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac是解题的关键．
9.【答案】4
【解析】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×6=3，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC= OA2−AC2= 52−32=4，
即圆心O到AB的距离为4．
故答案为：4
作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10.【答案】35
【解析】【分析】
本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
二次函数图象开口向上得出a>0，从所列5个数中找到a>0的个数，再根据概率公式求解可得．
【解答】
解：∵从−3，−2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有5种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，
∴该二次函数图象开口向上的概率是35，
故答案为35．
11.【答案】−1或0
【解析】解：当a+1=0，即a=−1时，原函数为一次函数y=−2x+1，与x轴交于点(12,0)，
∴a=−1符合题意；
当a+1≠0，即a≠−1时，∵二次函数y=(a+1)x2−2x+1的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ=(−2)2−4×1×(a+1)=0，
解得：a=0．
综上所述：a的值为−1或0．
故答案为：−1或0．
分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑：当二次项系数为零时，由一次函数图象与x轴只有一个交点，可得出a=−1符合题意；当二次项系数非零时，由根的判别式Δ=0可求出a值．综上即可得出a的值．
本题考查了函数图象与x轴的交点，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况求出a值是解题的关键．
12.【答案】60
【解析】解：正三角形要想变成和正偶数边形有关的多边形，边数最少也应是6边形，而六边形的中心角是60°，
所以至少旋转60°角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
故答案为：60．
根据中心对称图形的概念并结合图形特征进行分析．
本题考查了利用旋转设计图案的知识，注意：在讨论正多边形的对称性的时候，所有的正多边形都是轴对称图形，只有偶数边的正多边形同时是中心对称图形．
13.【答案】4
【解析】(1)证明：如图1，连接ON，
∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，
∴CD=DA=DB=12AB，
∴∠BCD=∠B，
∵OC=ON，
∴∠BCD=∠ONC，
∴∠ONC=∠B，
∴ON/​/AB，
∵NE⊥AB，
∴ON⊥NE，
∴NE为⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接DN，ON
∵⊙O的半径为52，
∴CD=5
∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD=5，
∴AB=10，
∴BC= AB2−AC2=8，
∵CD为直径，
∴∠CND=90°，且BD=CD，
∴BN=NC=4，
故答案为：4．
(1)连接ON，证出ON/​/AB，证明ON⊥NE即可；
(2)由直角三角形的性质可求AB=10，由勾股定理可求BC=8，由等腰三角形的性质可得BN=4．
本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14.【答案】解：(1)x2−2 7x+7=0，
∴(x− 7)2=0，
解得：x1=x2= 7；
(2)2x(x−3)+x=3，
∴2x(x−3)+x−3=0，
∴(x−3)(2x+1)=0，
解得：x1=3，x2=−12．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．
15.【答案】解：∵方程x2+(a2−2a)x+a−1=0的两个实数根互为相反数，
∴−a2+2a=0，
解得a=0或a=2．
当a=2时，方程无实数根，舍去；
故a=0．
【解析】由两个实数根互为相反数知两根之和等于0，据此列出关于a的方程，解之求出a的值，再检验即可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】解：当c=3为底边，则b，a为腰长，则b=a，则△=0．
∴(2k+1)2−4×4(k−12)=0，
解得：k1=k2=32．
此时原方程化为：x2−4x+4=0
∴x1=x2=2，即b=a=2．
当c=3为腰长，则32−3(2k+1)+4(k−12)=0，
解得：k=2，
此时原方程化为：x2−5x+6=0
∴x1=2，x2=3，即a=2或3．
综上所述：a的值为2或3．
【解析】分c=3为腰和底两种情况，根据三角形三边关系定理及等腰三角形的特点，确定另两边的长即可．
此题主要考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
17.【答案】解：(1)12；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P(差的绝对值大于3)=616=38．
【解析】【分析】
本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两数之差绝对值大于3”的结果数，进而求出概率．
【解答】
解：(1)4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为24=12，
故答案为12；
(2)见答案．
18.【答案】解：(1)如图(1)中，点O即为所求；
(2)如图(2)中，直线OJ即为所求．

【解析】(1)延长AD交⊙O于点E，延长BC交⊙O于点F，连接BE，AF交于点O，点O即为所求；
(2)连接AC，BD交于点J，作直线OJ即可．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】(1)①(−2,0)；(1,0)；
②8；
③增大；
(2)依题意设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−1)，
由点(0,−4)在函数图象上，代入得−4=a(0+2)(0−1)，
解得：a=2．
∴y=2(x+2)(x−1)，
即所求抛物线解析式为y=2x2+2x−4．
【解析】此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为：设出函数解析式，把图象上点的坐标代入所设的解析式，得到方程组，求出方程组的解可得出系数的值，从而确定出函数解析式．
(1)①由表格可知：x=−2及1时，y的值为0，从而确定出抛物线与x轴的交点坐标；
②可得抛物线的对称轴为x=−0.5，由函数的对称性可得x=2及x=−3时的函数值相等，故由x=2对应的函数值可得出x=−3所对应的函数值，从而得出正确答案；
③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
(2)由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标(−2,0)，(1,0)，可设出抛物线的两根式方程为y=a(x+2)(x−1)，除去与x轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a的值，进而确定出函数解析式．
20.【答案】证明：(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
在△AQE和△AFE中
AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE，
∴△AQE≌△AFE(SAS)，
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴∠ABQ=∠ADF=45°，
∴∠QBE=∠ABQ+∠ABE=90°，
在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，
又∵QB=DF，
∴EF2=BE2+DF2．
【解析】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE(SAS)是解题关键．
(1)直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE(SAS)，进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
(2)利用(1)中所求，再结合勾股定理得出答案．
21.【答案】解：(1)当x=6时，y1=3，y2=1，
∵y1−y2=3−1=2，
∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．
(2)设y1=mx+n，y2=a(x−6)2+1．
将(3,5)、(6,3)代入y1=mx+n，
3m+n=56m+n=3，解得：m=−23n=7，
∴y1=−23x+7；
将(3,4)代入y2=a(x−6)2+1，
4=a×(3−6)2+1，解得：a=13，
∴y2=13(x−6)2+1=13x2−4x+13．
∴y1−y2=−23x+7−(13x2−4x+13)=−13x2+103x−6=−13(x−5)2+73．
∵−13