2023-2024学年吉林省辽源市东辽县八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市东辽县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，从左至右分别代表广口瓶、圆底瓶、蒸馏烧瓶和锥形瓶，其中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. a3+a4=a7B. a3⋅a4=a12C. (ab)3=a3b3D. a6÷a3=a2
3.下列多项式中，能分解因式的是( )
A. −a2+b2B. −a2−b2C. a2−4a−4D. a2+ab+b2
4.如图，△CBE≌△DAE，点C与点D，点A与点B是对应顶点.连接AB，若∠ABE=65°，∠BAD=30°，则∠CBE的度数为( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 65°
5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点P，其中∠A=50°，则∠BPE的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=5cm，则BF=( )
A. 8cm2
B. 10cm
C. 12cm
D. 14cm
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.当x ______时，分式x+2x+1有意义．
8.若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形是正______边形．
9.若单项式−3x3ya与13xb−3y3是同类项，则这两个单项式的积是______．
10.已知x2n=5，则(3x3n)2−4(x2)2n的值为______．
11.如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD=______．
12.如图，△ABC≌△A′B′C，点A与点A′，点B与点B′为对应顶点，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，∠B′CB=35°，则∠A= ______°.
13.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是−4，4x−45x+1，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x=______．
14.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x，则可列方程为______．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(3−π)0−|−14|+ 36+2−2．
16.(本小题5分)
计算：(ab2)2⋅(−a3b)3÷(−3a2b3)
17.(本小题5分)
长春轨道交通5号线是长春市正在修建的一条地铁线路，其中末段线路的施工单位计划入冬前盾构施工1600米，为了尽快完成任务，实际工作效率是原计划工作效率的2倍，结果提前20天完成盾构施工任务.问原计划每天盾构施工多少米？
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65°.求∠BAC的度数．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(a+2b)(a−2b)+(a+2b)2+(2ab2−8a2b2)÷2ab，其中a=1，b=2．
20.(本小题7分)
如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图三个图中的三角形为格点三角形，在图中分别画出与已知三角形成轴对称(对称轴不相同)的格点三角形．
21.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE/​/BC，交BD的延长线于点E．
(1)求∠ADB的度数；
(2)求证：△ADE是等腰三角形．
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=BA，过点C作CE/​/AB，且CE=BC，连接DE并延长，分别交AC，AB于点F，G．
(1)求证：△ABC≌△DCE；
(2)若BD=12，AB=2CE，求BC的长度．
23.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB=∠ACD．
(1)求证：△DEC是等腰三角形．
(2)当∠BDC=5∠EDB，EC=8时，求△EDC的面积．
24.(本小题8分)
已知分式A=(a+1−3a−1)÷a2−4a+4a−1
(1)化简这个分式
(2)把分式A化简结果的分子与分母B同时加上3后得到分式，问：当a>2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
(3)若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值
25.(本小题10分)
先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：
①ax+by+bx+ay
=(ax+bx)+(ay+by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
②2xy+y2−1+x2
=x2+2xy+y2−1
=(x+y)2−1
=(x+y+1)(x+y−1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.如：
x2+2x−3
=x2+2x+1−4
=(x+1)2−22
=(x+1+2)(x+1−2)
=(x+3)(x−1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2−b2+a−b；
(2)分解因式：a2+4ab−5b2；
(3)多项式x2−6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=45°.MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
(1)求证：BD=AE．
(2)若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点G(如图2)，其他条件不变，求证：BD=AE．
(3)在(2)的情况下，若CE的延长线过AB的中点F(如图3)，连接GF，求证：∠1=∠2．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：a3与a4不是同类项，所以不能合并计算，故A选项计算错误；
a3⋅a4=a3+4=a7，所以B选项计算错误；
(ab)3=a3b3，所以C选项计算正确；
a6÷a3=a6−3=a3，所以D选项计算错误．
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式分别进行判断即可得出结果．
此题主要是考查了整式的运算，能够熟练运用合并同类项法则，同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，同底数幂的除法公式是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、−a2+b2=(b+a)(b−a)，故A符合题意；
B、−a2−b2=−(a2+b2)，没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、不能把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的意义求解即可．
本题考查了因式分解，把多项式转化成几个整式积的形式是因式分解．
4.【答案】C
【解析】解：∵△CBE≌△DAE，
∴BE=AE，∠CBE=∠DAE，
∴∠BAE=∠ABE=65°，
∵∠BAD=30°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=35°，
∴∠CBE=35°，
故选：C．
根据全等三角形的性质得出BE=AE，∠CBE=∠DAE，根据等腰三角形的性质求出∠BAE=∠ABE=65°，再根据角的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−50°=130°．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=12×130°=65°．
∵∠BPE是△PBC的外角，
∴∠BPE=∠PBC+∠PCB=65°．
故选：D．
在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠BPE的度数．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠PBC+∠PCB的度数是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=5AB，
∵S△ABC=12AC⋅BF，
∴12AC⋅BF=5AB，
∵AC=AB，
∴12BF=5，
∴BF=10(cm)，
故选：B．
先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC=2S△ABD=2×12AB⋅DE=AB⋅DE=5AB，又S△ABC=12AC⋅BF，将AC=AB代入即可求出BF．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．
7.【答案】≠−1
【解析】解：∵分式x+2x+1有意义，
∴x+1≠0，
解得x≠−1，
故答案为：≠−1．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时也要注意分式无意义的条件是分母等于零．
8.【答案】六
【解析】解：外角是180°−120°=60°，
360°÷60=6，则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
9.【答案】−x6y6
【解析】解：由题意得：a=3，b−3=3，
解得：b=6，
则−3x3y3⋅13x3y3=−x6y6，
故答案为：−x6y6．
根据同类项的概念分别求出a、b，根据单项式乘单项式的运算法则计算，得到答案．
本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
10.【答案】1025
【解析】解：∵x2n=5，
∴(3x3n)2−4(x2)2n
=9x6n−4x4n
=9(x2n)3−4(x2n)2
=9×53−4×52
=1125−100
=1025．
故答案为：1025．
先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．
本题考查了积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．掌握积的乘方，幂的乘方运算是关键．
11.【答案】58°
【解析】法一，设∠ABD=α，∠BAD=β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD=90°，
即α+β=90°
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴2α+β+38°+20°=180°，
∴联立可得α+β=90∘2α+β=122∘解得：α=32∘β=58∘
∴∠BAD=58°
故答案为：58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC=20°，∠C=38°，
∴∠AEB=20°+38°=58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠BEA=∠BAD=58°，
故答案为：58°
法一设∠ABD=α，∠BAD=β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值．
本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
12.【答案】55
【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A′CB′，∠A=∠A′，
∴∠B′CB=∠A′CA=35°，
∵∠A′DC=90°，
∴∠A′=90°−∠A′DAC=55°，
∴∠A=∠A′=55°．
故答案为：55．
根据全等三角形的性质及角的和差可得∠A=∠A′，∠B′CB=∠A′CA=35°，结合∠A′DC=90°，可求得∠A′，即可获得答案．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意得：4x−45x+1=2，
去分母得：4x−4=10x+2，
移项合并得：6x=−6，
解得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解，
故答案为：−1
根据题意确定出点B表示的数，求出x即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14.【答案】10x−6=40x
【解析】解：根据题意得，10x−6=40x，
故答案为：10x−6=40x．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
15.【答案】解：(3−π)0−|−14|+ 36+2−2
=1−14+6+14
=7．
【解析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
16.【答案】解：原式=(a2b4)⋅(−a9b3)÷(−3a2b3)
=13a9b4
【解析】根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】解：设实际每天盾构施工2m米，则原计划每天盾构施工m米，
由题意得：1600m−20=16002m，
解得：m=40，
经检验，m=40是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天盾构施工40米．
【解析】设实际每天盾构施工2m米，则原计划每天盾构施工m米，根据“末段线路的施工单位计划入冬前盾构施工1600米，实际工作效率是原计划工作效率的2倍，结果提前20天完成盾构施工任务”，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18.【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°−65°=25°，∠1=∠2=45°，
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°．
【解析】先根据AD⊥BC可知∠ADB=∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC=∠1+∠DAC即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，垂直的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
19.【答案】解：原式=a2−4b2+a2+4ab+4b2−4ab+b
=2a2+b，
∵a=1，b=2，
∴原式=2a2+b=4．
【解析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知代入求出答案．
此题主要考查了整式的混合运算−化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键．
20.【答案】解：如图所示：
【解析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．
本题考查了作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)解：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠BAC)=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=36°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=72°+36°=108°；
(2)证明：∵AE//BC，
∴∠EAC=∠C=72°，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠ADE=∠CDB=180°−72°−36°=72°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
(2)由平行线的性质求得∠EAC=72°，由三角形内角和定理求得∠ADE=72，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵CE/​/AB，
∴∠B=∠ECD，
在△ABC与△DCE中，
AB=CD∠B=∠ECDBC=CE，
∴△ABC≌△DCE(SAS)；
(2)解：∵△ABC≌△DCE，
∴AB=CD=8，
∴BC=BD−CD=12−8=4．
【解析】(1)根据SAS证明△ABC与△DCE全等即可；
(2)根据全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠E+∠EDB=∠ABC=60°，∠ACD+∠DCB=60°，∠EDB=∠ACD，
∴∠E=∠DCE，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰三角形；
(2)解：设∠EDB=α，则∠BDC=5α，
∴∠E=∠DCE=60°−α，
∴6α+60°−α+60°−α=180°，
∴α=15°，
∴∠E=∠DCE=45°，
∴∠EDC=90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH=∠E=45°，
∴EH=HC=DH=12EC=12×8=4，
∴△EDC的面积=12×EC⋅DH=12×8×4=16．
【解析】(1)根据等边三角形的性质，即可证明结论；
(2)设∠EDB=α，则∠BDC=5α，得∠E=∠DCE=60°−α，根据三角形内角和定理可得α=15°，过D作DH⊥CE于H，根据等腰直角三角形的性质即可得DH的长，进而可得结论．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．
24.【答案】接：(1)A=a2−4a−1×a−1(a−2)2
=a+2a−2．
(2)A=a+2a−2，B=a+5a+1，
A−B=a+2a−2−a+5a+1
=(a+2)(a+1)−(a+5)(a−2)(a−2)(a+1)
=12(a−2)(a+1)．
∵a>2，
∴A−B>0，
∴A>B．
答：分式B的值较原来分式A的值是变小了．
(3)A=a+2a−2是整数，a也是整数且a≠±1，a≠2
∴a=0时，A=−1；
a=3时，A=5；
a=4时，A=3；
a=6时，A=2；
a=−2时，A=0．
答：所有符合条件的a的值为0、3、4、6、−2．
【解析】本题考查了分式的化简求值、分式的大小比较，解决本题的关键是根据题意列出分式B．
(1)根据分式的混合运算顺序进行计算即可；
(2)把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可；
(3)根据(1)的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可．
25.【答案】解：(1)a2−b2+a−b
=(a+b)(a−b)+(a−b)
=(a−b)(a+b+1)；
(2)a2+4ab−5b2=(a+5b)(a−b)；
(3)x2−6x+1
=x2−6x+9−8
=(x−3)2−8
∵(x−3)2≥0，
∴(x−3)2−8≥−8，
∴当x=3时，取最小值为−8．
【解析】(1)仿照题中的方法，利用分组分解法，分别将各项分解即可；
(2)仿照题中的方法，利用十字相乘法，分别将各项分解即可；
(3)仿照题中的方法，拆项法，得到多项式的最小值．
此题考查了因式分解−十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
26.【答案】证明：(1)如图1，∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC∠3=∠1AB=AC，
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD=AE；
(2)如图2，∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAD+∠CAE=90°，
∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，∠BDA=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴△ABD≌△ACE(AAS)，
∴BD=AE；
(3)如图3，过B作BP/​/AC交MN于P，
∵BP/​/AC，
∴∠PBA+∠BAC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠PBA=∠BAC=90°，
由(2)得：∠BAP=∠ACF，
∴在△ACF和△ABP中，∠PBA=∠FACAB=AC∠BAP=∠ACF，
∴△ACF≌△ABP(ASA)，
∴，1=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，
∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
又∵∠PBA=90°，
∴∠PBG=45°，
∴∠ABC=∠PBG，
在△BFG和△BPG中，BF=BP∠FBG=∠PBGBG=BG，
∴△BFG≌△BPG(SAS)，
∴∠BPG=∠2，
∵∠BPG=∠1，
∴∠1=∠2．
【解析】(1)首先证明∠1=∠2，再证明△ADB≌△CEA，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE；
(2)首先证明∠BAD=∠ACE，再证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE；
(3)首先证明△ACF≌△ABP，然后再证明△BFG≌△BPG，再根据全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BFG，再根据等量代换可得结论∠1=∠2．
此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．