2023-2024学年广西柳州市柳南区、柳东区九年级（上）期末数学试卷（一模）-普通用卷

这是一份2023-2024学年广西柳州市柳南区、柳东区九年级（上）期末数学试卷（一模）-普通用卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中属于负数的是( )
A. −8B. 0C. 1D. 2
2.如图，直线AB，CD被直线DE所截，AB/​/CD，∠1=40°，则∠D的度数为( )
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 140°
3.杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，打造了首个“数实融合”的点火仪式.其中数据105800000用科学记数法表示为( )
A. 0.1058×109B. 1.058×109C. 1.058×108D. 10.58×107
4.中国航天事业起始于1956年，中国于1970年4月24日发射第一颗人造地球卫星，是继苏联、美国、法国、日本之后世界上第5个能独立发射人造卫星的国家.设计航天标识通常会融入数学元素.下列航天标识中，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 航天神州B. 中国火箭
C. 中国行星探测D. 中国探月
5.用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的( )
A. B.
C. D.
6.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. −9B. −94C. 94D. 9
7.如果将抛物线y=2x2−1向上平移一个单位，那么所得新抛物线的表达式为( )
A. y=2x2B. y=2x2−2
C. y=2(x+1)2−1D. y=2(x−1)2−1
8.如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC=60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A. 1cm
B. 2 cm
C. 3cm
D. 4cm
9.用频率估计概率，可以发现抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，那么掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( )
A. 每两次必有1次正面向上B. 可能有5次正面向上
C. 必有5次正面向上D. 不可能有10次正面
10.如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是( )
A. a2+2ab+b2=(a+b)2B. a2−2ab+b2=(a−b)2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. a2+ab=a(a+b)
11.某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程( )
A. x+(1+x)=36B. 2(1+x)=36
C. 1+x+x(1+x)=36D. 1+x+x2=36
12.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t−5t2，下列说法正确的是( )
A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C. 小球的飞行高度可以达到25m
D. 小球从飞出到落地要用4s
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.计算：3(a−1)= ______．
14.反比例函数y=kx的图象过点(2,1)，则k的值为______．
15.已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为______cm2．
16.某班体委用划记法统计本班40名同学投掷实心球的成绩，结果如表所示，则这40名同学投掷实心球的成绩的众数是______．
17.如图，将△ABC绕着点A顺时针旋转x°到△ADE的位置，使点E首次落在BC上.已知∠ABC=30°，∠BAE=35°，则x= ______．
18.如图，抛物线y=(x−2)2−1与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为12的圆上，当DE+EF取得最小值时，点E坐标是______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解方程：x2−2x−8=0．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
21.(本小题10分)
同学们都知道“石头、剪刀、布”的猜拳游戏吧！游戏规定：两人同时出手．“石头胜剪刀”，“剪刀胜布”，“布胜石头”；若手势相同，则不分胜负，小明和小丽正在做这种游戏．
(1)小明随机出手一次，出“石头”的概率为______；
(2)两人都随机出手一次，求小明获胜的概率．
22.(本小题10分)
某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
23.(本小题10分)
为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长为25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD.小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB边的长为x m，面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式并求出自变量取值范围；
(2)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
24.(本小题10分)
学校要举办运动会，九(1)班同学正在准备各种道具，小聪同学现有一块三角形的纸片，要在三角形纸片中截下一块圆形纸片做道具，要求截下的圆与三角形的三条边都相切.小聪用A，B，C表示三角形纸片的三个顶点(如图1).请你按要求完成：
(1)尺规作图：在图1中找出圆心点O(要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法)；
(2)若纸片三边长分别是：BC=8，AC=6，AB=10，⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F(如图2)，求小聪截得的圆形道具的面积．
25.(本小题10分)
【综合与实践】
在实验课上，小明做了一个试验.如图1，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(cm)(0把表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象(如图2)．

(1)求出y1关于x的函数表达式；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①请在图2中作出y2关于x的函数图象，并直接写出y2关于x的函数表达式；
②当0(3)若在容器中加入水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围．
26.(本小题10分)
【探究与证明】
【问题背景】从小学到中学，一副小小的三角板几乎是每个人上学必备的最简单、实用的学习及探究数学问题的工具.在一次数学兴趣小组活动中，老师组织同学们用三角板工具开展数学探究活动．
【操作思考】彬彬和明明同学将两块一大一小的三角板按照如图1所示方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3.他们尝试着将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转，发现在三角板DEB旋转过程中，顶点D到BC边的距离是不断变化的，他们经过反复操作、分析、推理和运算，提出了以下的数学问题.请你来解答这些问题．
(1)两块三角板按照图1所示的方式摆放时.求点D到直线BC的距离；
(2)当△DBE的顶点E落在边AB上时(如图2)，延长DE交BC于点F，求点D到直线BC的距离；
(3)若点C，E，D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、∵−8<0，
∴−8是负数，
故A符合题意；
B、0既不是正数，也不是负数，故B不符合题意；
C、∵1>0，
∴1是正数，
故C不符合题意；
D、∵2>0，
∴2是正数，
故D不符合题意；
故选：A．
根据负数小于0，即可解答．
本题考查了正数和负数，熟练掌握负数的意义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=40°，
∴∠D=40°，
故选：B．
根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：105800000=1.058×108．
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】B
【解析】解：A、图案不是中心对称图形，不符合题意；
B、图案是中心对称图形，符合题意；
C、图案不是中心对称图形，不符合题意；
D、图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5.【答案】C
【解析】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；
故选：C．
根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．
本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4m=0，
解得m=94．
故选：C．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac，建立关于m的等式，即可求解．
此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
7.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=2x2−1向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=2x2，
故选：A．
根据“上加下减”的法则即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵菱形ABCD的周长是4cm，
∴AB=BC=AC=1cm．
故选：A．
由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC=60°，而AB=BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．
9.【答案】B
【解析】解：抛掷硬币“正面朝上”的概率为0.5，
那么掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，
故选：B．
概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．
此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
10.【答案】C
【解析】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，
右图，拼成长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
由两个图形中阴影部分的面积相等可得，a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：C．
分别用代数式表示两个图中阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由题意得：1+x+x(1+x)=36，
故选：C．
患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=36．
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：20t−5t2=15的两根t1=1与t2=3，即h=15时所用的时间，
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
h=20t−5t2=20−5(2−t)2，
∴对称轴直线为：t=2，最大值为20，故D错误；
∴t=3时，h=15，此时小球继续下降，故B错误；
∵当h=0时，t1=0，t2=4，
∴t2−t1=4，
∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确．
故选：D．
根据函数表达式，可以求出h=0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t−5t2=15的意义为h=15时所用的时间，据此解答．
本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键．
13.【答案】3a−3
【解析】解：原式=3a−3．
故答案为：3a−3．
根据去括号的法则计算即可．
本题考查的是去括号与添括号，熟知去括号的法则是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：∵反比例函数y=kx的图象过点(2,1)，
∴k=2×1=2，
故答案为：2．
把点的坐标代入函数表达式计算即可得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
15.【答案】6π
【解析】解：底面半径是2cm，则底面周长=4πcm，圆锥的侧面积=12×4π×3=6πcm2．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
16.【答案】9
【解析】解：这40名同学投掷实心球的成绩9出现此数最多，
所以众数是9．
故答案为：9．
根据众数的定义，结合图表信息解答．
本题考查了众数，确定众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个．
17.【答案】25
【解析】解：过点A作AF⊥EC于F，
根据旋转的性质得：旋转角为∠CAE，AE=AC，
∴∠CAE=x°，
∵∠ABC=30°，∠BAE=35°，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=65°，
∴∠EAF=90°−∠AEC=25°，
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴∠EAF=∠CAF=25°，
∴∠CAE=∠EAF+∠CAF=50°．
∴x°=25°．
故答案为：25．
过点A作AF⊥EC于F，先根据旋转的性质得∠CAE=x°，由三角形的外角定理得∠AEC=65°，进而可求出∠EAF=25°，然后根据等腰三角形的性质得∠EAF=∠CAF=25°，据此可求出旋转角的度数．
此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合(三线合一)．
18.【答案】(0,97)
【解析】解：对于y=(x−2)2−1，令x=0，则y=3，令y=0，解得x=1或3，
故点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(1,0)、(3,0)，
函数的对称轴为直线x=2，则点D(4,3)，
过点D作y轴的对称点H(−4,3)，连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，
理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH=ED，
则DE+EF=HE+EF=HF为最小，
过H作HM⊥x轴于点M，则：
OCCM=OEHM，即33+4=OE3，
解得：OE=97，
∴点E坐标是(0,97).
故答案为：(0,97).
过点D作y轴的对称点H(−12,15)，连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E即为所求点．利用平行线的性质列式解答即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
19.【答案】解：(x−4)(x+2)=0，
x−4=0或x+2=0，
∴x1=4，x2=−2．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，还可以使用公式法，配方法，等等．
20.【答案】解：证明：连接OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
又OC为圆O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
【解析】连接OC，由于OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据圆的切线的判定定理得到结论．
本题考查了圆的切线的判定，也考查了等腰三角形的性质．
21.【答案】13
【解析】解：(1)小明随机出手一次，出“石头”的概率为13；
故答案为：13；
(2)画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果数为3，
所以小明获胜的概率=39=13．
(1)直接利用概率公式计算；
(2)
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
22.【答案】解：(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，
根据题意得：2(x+25)+x=200，
解得：x=50，
可得x+25=50+25=75，
则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
(2)设商场可以购置A玩具y个，
根据题意得：50y+75×2y≤40000，
解得：y≤200，
则该商场最多可以购置200个A玩具．
【解析】(1)设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为(x+25)元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
(2)设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意得：y=x(40−2x)=−2x2+40x，
∵0<40−2x≤25，
∴152≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−2x2+40x(152≤x<20)；
(2)由(1)知，y=−2x2+40x=−2(x−10)2+200，
∵−2<0，152≤x<20，
∴当x=10时，y有最大值，最大值为200，
答：当x=10时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【解析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据函数的性质求最值．
(1)根据矩形的面积公式写出函数解析并求出自变量取值范围即可；
(2)根据二次函数的性质求最值即可．
24.【答案】解：(1)如图1中，点O即为所求；

(2)连接OE，OF，OD，OA，OB，OC．
∵BC=8，AC=6，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵⊙O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，OD⊥AB，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅BC⋅OE+12⋅AC⋅OF+12⋅AB⋅OD，
∴OE=6×86+8+10=2，
∴小聪截得的圆形道具的面积为4π．
【解析】(1)作AF平分∠CAB，BE平分∠ABC，AF交BE于点O，点O即为所求；
(2)连接OE，OF，OD，OA，OB，OC.利用面积法求解．
本题考查作图−应用与设计作图，切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
25.【答案】解：(1)由题可知，y1是x的反比例函数，
设函数解析式为y1=kx，把x=30，y1=10代入，
解得k=300
∴y1关于x的函数表达式为y1=300x；
(2)①y2关于x的函数图象如下图所示，

由表格可知y2=y1−5，
∴y2关于x的函数表达式为y2=300x−5；
②由图象可知当0(3)由19≤y2≤45，
得300x−5≥19300x−5≤45，
解得6≤x≤12.5，
∴托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围为6≤x≤12.5．
【解析】(1)由题可知，y1是x的反比例函数，设函数解析式为y1=kx，把x=30，y1=10代入，求出k即可得到函数解析式；
(2)①通过表格发现y2=y1−5，即可得到函数解析式；
②根据反比例函数图象的性质即可得到结果；
(3)根据函数解析式列出不等式，从而解题．
本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象的性质，不等式的应用，本题的关键是理解图表及图象，求出函数解析式解题．
26.【答案】解：(1)由题意得，∠DEB=90°，
∵在Rt△DEB中，∠B=30°，
∴BD=2DE，
∵BE=3，
由勾股定理得：DE2+BE2=BD2，
∴DE2+32=(2DE)2，
解得DE= 3，BD=2 3，
∴.点D到BC的距离是 3；
(2)当△DBE的顶点E落在边AB上时，
过点D作DG⊥BC于G，

由旋转得，∠DBE=∠EBF=30°，
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=60°，
∵在Rt△DGB中，∠BDG=30°，BD=2 3，
∴BG= 3，
∴DG= BD2−BG2=3；
(3)若点C，E，D在同一条直线上，
①当点E在BC上方时，如图，

过点D作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6，
∴BC= AB2−AC2=3 3，
在Rt△BED中，∠EBD=∠ABC=30°，BE=3，
∴DE= 3，
在Rt△BCE中，BE=3，BC=3 3，
CE= BC2−BE2=3 2，
∴CD=CE+DE=3 2+ 3，
∵S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅CH．
∴DH=⋅BECD⋅BEBC= 6+1，
②如图，当点E在BC下方时，

过点D作DM⊥BC于M，
∴CD=CE−DE−3 2− 3，
∵S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=CD⋅BEBC= 6−1，
即点D到直线BC的距离为 6+1或 6−1．
【解析】(1)根据30°直角三角形的性质和勾股定理计算DE的长度即可；
(2)过点D作DG⊥BC于G，由旋转可得∠DBF=∠DBE+∠EBF=60°，再根据30°直角三角形的性质和勾股定理计算即可；
(3)准确的画出图形，根据30°直角三角形的性质和勾股定理，结合三角形面积计算即可．
本题考查旋转的性质，30°直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．成绩(分)
6
7
8
9
10
人数
正
正一
正正一
正正
正
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25