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2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学八年级（上）期末数学试卷(含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市岳阳楼区弘毅新华中学八年级（上）期末数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子是分式的是( )
A. x2B. xx+1C. x+yD. xπ
2.已知aA. a−3>b−3B. ac3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 5− 5=2C. 2× 3= 6D. 6÷ 3=2
4.已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是( )
A. 6cmB. 5cmC. 3cmD. 1cm
5.若 x+1+1x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>−1且x≠3B. x≥−1且x≠3C. x≥1且x≠3D. x≠−1且x≠3
6.不等式组−x≤2x−2<1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B. 三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 任意多边形的外角和是360°
8.若关于x的分式方程2x−4=3−mx−4有增根，则m的值是( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
9.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB=12，AC=16，则MD等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
10.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )
A. 6
B. 8
C. 9.6
D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.27的立方根为______．
12.近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热.支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.00000025米，将0.00000025米用科学记数法表示为______米.
13.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如[0.6]=0，[3.14]=3，按此规定[ 10+2]的值为______．
14.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为______．
16.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，设AB为x尺，则可列方程为______．
17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若∠ABC=60°，∠C=45°，DE=3，则△ABD的面积为______．
18.如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为线段BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，F为DE中点，直线CF交射线BA于点G，下列说法，①若连接EC，则EC⊥BC；②∠BDA=∠EDC；③DE=CG；④若BD=2DC，则AD= 5AG.其中正确的序号有______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(13)−1+(−1)2024−(π−5)0+|− 4|；
(2)( 3+1)( 3−1)−( 2−1)2．
20.(本小题6分)
解不等式组：3(x+1)≥x−1x+152>3x，并写出它的所有正整数解．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：x−1x2+2x÷(1−3x+2)，从−2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
22.(本小题8分)
如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE=6，CD=8，求BD的长．
23.(本小题9分)
某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
25.(本小题10分)
【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2 3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1=2( 3−1)2= 3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10.这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2023+ 2021；
(2)m是正整数，a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，且a+b+3ab=2021，求m的值．
(3)已知 15+x2− 26−x2=1，求 15+x2+ 26−x2的值．
26.(本小题10分)
如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
(1)如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
(2)如图2，连接BF交AC于D点，若ADCD=3，求证：E点为BC中点；
(3)如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE=n+1n(其中n为正数)，则ADCD= ______.(用含n的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：x2分母中不含字母，
则A不符合题意；
xx+1符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
xπ分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
形如AB(A,B均为整式，B中含有字母且B≠0)的式子即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的定义，熟练掌握并理解分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不变，即a−3B、当c<0时，ac>bc，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以23，不等号方向不变，式子2a3<2b3成立，故这个选项不符合题意；
D、不等式两边同时除以负数−2，不等号方向改变，即−2a>−2b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3−2a>3−2b，故这个选项不符合题意．
故选：C．
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，不符合题意；
B、2 5− 5= 5，不符合题意；
C、 2× 3= 6，符合题意；
D 6÷ 3= 2，符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，
∴1<第三边的长<7，
故该三角形第三边的长不可能是1cm．
故选：D．
直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+1≥0且x−3≠0，
解得：x≥−1且x≠3，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不等于零是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：不等式组可化为：x≥−2x<3，
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
7.【答案】D
【解析】解：A.等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，三角形三个内角的平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
选项A根据等腰三角形的性质判断即可；选项B根据角平分线的性质判断即可；选项C根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；选项D根据多边形的外角和的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形、中心对称图形、等腰三角形的性质，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：分式方程2x−4=3−mx−4两边同时乘x−4去分母，得
2=3(x−4)−m，
由分式方程的最简公分母是x−4，
∴分式方程的增根是x=4．
把x=4代入2=3(x−4)−m，
∴m=−2．
故选：D．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x−4=0，得到x=4．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.【答案】C
【解析】解：延长BD交AC于H，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴BD=DH，AH=AB=12，
∴HC=AC−AH=4，
∵M是BC中点，BD=DH，
∴MD=12CH=2，
故选：C．
延长BD交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD=DH，AH=AB=12，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=12×810=9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线的垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ的长是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是关键．
找到立方等于27的数即可．
【解答】
解：因为33=27，
所以27的立方根是3．
故答案为3．
12.【答案】2.5×10−7
【解析】解：0.00000025米=2.5×10−7米．
故答案为：2.5×10−7．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】5
【解析】解：∵ 9< 10< 16，
即3< 10<4，
∴5< 10+2<6，
∴[ 10+2]的值为5，
故答案为：5．
先估算 10的大小，进一步确定 10+2的大小，然后根据题意即可求解．
本题考查了新运算，无理数的估算，得出5< 10+2<6是解题的关键．
14.【答案】AE=CF
【解析】解：添加条件为：AE=CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．
证AE//CF，再由AE=CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
15.【答案】30″
【解析】解：由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴2∠B+30°=90°，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
由作图可知MN垂直平分线段AB，推出DA=DB，推出∠DAB=∠B，再根据三角形内角和定理构建方程求解．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】x2+32=(9−x)2
【解析】解：设AB=x尺，则AC=(9−x)尺，
根据勾股定理得x2+32=(9−x)2．
故答案为：x2+32=(9−x)2．
设AC=x尺，则AB=(9−x)尺，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可列出方程．
本题考查了勾股定理的应用，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE=3，∠ABC=60°，
∴DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=12∠ABC=30°，
在Rt△BDE中，∠DBC=30°，DE=3，
∴BD=2DE=2×3=6，
在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°−60°−45°=75°，
∴∠BDA=180°−30°−75°=75°，
∴∠A=∠BDA，
∴BA=BD=6，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×6×3=9，
故答案为：9．
过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得到DF=DE=3，根据直角三角形的性质求出BD，证明BA=BD=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】①③④
【解析】解：连接AF、EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，则∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABC=∠ACE，BD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴EC⊥BC，
故①正确；
当AD⊥BC时，∠ADB=90°，
∵∠ADE=45°，
∴∠EDC=45°，
∴∠BDA≠∠EDC，
故②错误；
∵∠BCE=90°，F为DE的中点，
∴CF=DF=EF=12DE，
∵∠DAE=90°，F为DE的中点，
∴AF=DF=EF=12DE，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
又∵∠GAC=90°，
∴∠GAF+∠FAC=∠AGF+∠FCA=90°，
∴∠GAF=∠AGF，
∴GF=AF，则AF=GF=FC=12CG，
∴DE=CG，
故③正确；
∵BD=2DC，
设DC=a，则BD=2a，
∴BC=3a，AB=AC=BC⋅sin45°=3 22a，
在Rt△DCE中，EC=BD=2a，DC=a，
∴DE= EC2+DC2= 5a，
在等腰直角三角形ADE中，AD= 22DE= 102a，
又∵∠GAC=90°，CG=DE= 5a，
∴AG= CG2−AC2= 5a2−92a2= 22a，
∴AD= 5AG，
故④正确，
故答案为：①③④．
连接AF、EC，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可判断①；利用直角三角形中线的性质证AF=GF=FC，即可判断③；设DC=a，则BD=2a，解直角三角形得到AD= 22DE= 102a，即可判断④；取AD⊥BC时，得到∠BDA≠∠EDC，即可判断②．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理以及特殊值法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3+1−1+2
=5；
(2)原式=3−1−(2−2 2+1)
=2−3+2 2
=2 2−1．
【解析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后进行乘方和开方运算，最后进行有理数的加减运算；
(2)先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
20.【答案】解：3(x+1)≥x−1①x+152>3x②，
由①得，x≥−2，
由②得，x<3，
∴不等式组的解集为−2≤x<3，
所有正整数解有：1、2．
【解析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式=x−1x(x+2)÷x+2−3x+2
=x−1x(x+2)⋅x+2x−1
=1x，
当x=−2，0时，原式没有意义；
当x=2时，原式=12．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE=6，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= 62+82=10，
∵AB=AC=10，
∴BD=AB−AD=10−6=4．
【解析】(1)利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
(2)先利用全等三角形的性质得到AD=AE=6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB−AD即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，依题意有
480x+10=360x，
解得：x=30．
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
(2)设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×(1−10%)(50−y)+40y≤1500，
解得y≤11713，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
(2)可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
24.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，∵AB//CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
(2)解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=12AD=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF，
(2)根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，DH= AD2−AH2=3 3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2023+ 2021
= 3−1( 3+1)( 3−1)+ 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)+ 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)+... 2023− 2021( 2023+ 2021)( 2023− 2021)
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 2023− 20212
=12×( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+...+ 2023− 2021)
= 2023−12；
(2)∵a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，
∴a=( m+1− m)2( m+1+ m)( m+1− m)=( m+1− m)2，
b=( m+1+ m)2( m+1− m)( m+1+ m)=( m+1+ m)2，
∴a+b=( m+1− m)2+( m+1+ m)2=2(2m+1)=4m+2，
ab=( m+1− m)2( m+1+ m)2=[( m+1− m)( m+1+ m)]2=(m+1−m)2=1，
∵a+b+3ab=2021，
∴4m+2+3×1=2021，
∴4m=2016，
解得：m=504；
(3)∵ 15+x2− 26−x2=1，
∴( 15+x2− 26−x2)2=1，
∴15+x2−2 15+x2 26−x2+26−x2=1，
∴ 15+x2 26−x2=20，
∴( 15+x2+ 26−x2)2
=( 15+x2− 26−x2)2+4 15+x2 26−x2
=12+4×20
=1+80
=81，
∵ 15+x2≥0， 26−x2≥0，
∴ 15+x2+ 26−x2=9．
【解析】(1)先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
(2)先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b=4m+2，ab=1，然后根据已知可得4m=2016，解答即可得解；
(3)利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】3n+2n
【解析】证明：(1)∵∠FAG+∠CAE=90°，∠FAG+∠F=90°，
∴∠CAE=∠F，
在△AGF和△ECA中，
∠AGF=∠ECA∠F=∠CAEAF=AE，
∴△AGF≌△ECA(AAS)；
(2)过F点作FG⊥AC交AC于G点，如图2，
∵△AGF≌△ECA，
∴FG=AC=BC，
在△FGD和△BCD中，
∠FDG=∠CDB∠FGD=∠C=90°FG=BC，
∴△FGD≌△BCD(AAS)，
∴DG=CD，
∵ADCD=3，
∴AGCD=2，
∴AGAC=12，
∵AG=CE，AC=BC
∴CEBC=12，
∴E点为BC中点；
(3)过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵BCBE=n+1n，BC=AC，CE=CB+BE，
∴ACCE=n+12n+1，
由(1)(2)知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD=DG，AG=CE，
∴ACAG=n+12n+1，
∴ACCG=n+1n，
∴AC12CG=ACCD=2n+2n，
∴ADCD=3n+2n．
故答案为：3n+2n．
(1)易证∠CAE=∠F，即可证明△AGF≌△ECA，即可解题；
(2)过F点作FG⊥AC交AC于G点，根据(1)中结论可得FG=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CD，根据ADCD=3可证AGAC=12，根据AG=CE，AC=BC，即可解题；
(3)过F作FG⊥AD的延长线交于点G，易证ACCE=n+12n+1，由(1)(2)可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD=DG，AG=CE，即可求得ACCD的值，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AGF≌△ECA和△DGF≌△DCB是解题的关键．
1.下列式子是分式的是( )
A. x2B. xx+1C. x+yD. xπ
2.已知a
A. 2+ 3= 5B. 2 5− 5=2C. 2× 3= 6D. 6÷ 3=2
4.已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边的长不可能是( )
A. 6cmB. 5cmC. 3cmD. 1cm
5.若 x+1+1x−3有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>−1且x≠3B. x≥−1且x≠3C. x≥1且x≠3D. x≠−1且x≠3
6.不等式组−x≤2x−2<1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
B. 三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C. 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 任意多边形的外角和是360°
8.若关于x的分式方程2x−4=3−mx−4有增根，则m的值是( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
9.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB=12，AC=16，则MD等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
10.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC边上的高，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )
A. 6
B. 8
C. 9.6
D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.27的立方根为______．
12.近日，支原体肺炎备受关注，它是由肺炎支原体引起的下呼吸道感染，主要表现为咳嗽、发热.支原体是介于细菌和病毒之间的已知能独立生活的病原微生物中的最小者，大小约为0.00000025米，将0.00000025米用科学记数法表示为______米.
13.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如[0.6]=0，[3.14]=3，按此规定[ 10+2]的值为______．
14.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠B的度数为______．
16.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC=9尺，BC=3尺，设AB为x尺，则可列方程为______．
17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若∠ABC=60°，∠C=45°，DE=3，则△ABD的面积为______．
18.如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为线段BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，F为DE中点，直线CF交射线BA于点G，下列说法，①若连接EC，则EC⊥BC；②∠BDA=∠EDC；③DE=CG；④若BD=2DC，则AD= 5AG.其中正确的序号有______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(13)−1+(−1)2024−(π−5)0+|− 4|；
(2)( 3+1)( 3−1)−( 2−1)2．
20.(本小题6分)
解不等式组：3(x+1)≥x−1x+152>3x，并写出它的所有正整数解．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：x−1x2+2x÷(1−3x+2)，从−2，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
22.(本小题8分)
如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE=6，CD=8，求BD的长．
23.(本小题9分)
某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
24.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
25.(本小题10分)
【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如2 3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−1=2( 3−1)2= 3−1，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10.这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2023+ 2021；
(2)m是正整数，a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，且a+b+3ab=2021，求m的值．
(3)已知 15+x2− 26−x2=1，求 15+x2+ 26−x2的值．
26.(本小题10分)
如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
(1)如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
(2)如图2，连接BF交AC于D点，若ADCD=3，求证：E点为BC中点；
(3)如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE=n+1n(其中n为正数)，则ADCD= ______.(用含n的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：x2分母中不含字母，
则A不符合题意；
xx+1符合分式的定义，
则B符合题意；
x+y是整式，
则C不符合题意；
xπ分母中不含字母，
则D不符合题意；
故选：B．
形如AB(A,B均为整式，B中含有字母且B≠0)的式子即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的定义，熟练掌握并理解分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不变，即a−3
C、不等式两边同时乘以23，不等号方向不变，式子2a3<2b3成立，故这个选项不符合题意；
D、不等式两边同时除以负数−2，不等号方向改变，即−2a>−2b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3−2a>3−2b，故这个选项不符合题意．
故选：C．
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，不符合题意；
B、2 5− 5= 5，不符合题意；
C、 2× 3= 6，符合题意；
D 6÷ 3= 2，符合题意．
故选：C．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵三角形的两边长分别为3cm和4cm，
∴1<第三边的长<7，
故该三角形第三边的长不可能是1cm．
故选：D．
直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边长的取值范围是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：x+1≥0且x−3≠0，
解得：x≥−1且x≠3，
故选：B．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不等于零是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：不等式组可化为：x≥−2x<3，
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
7.【答案】D
【解析】解：A.等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，三角形三个内角的平分线的交点到三边的距离相等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
选项A根据等腰三角形的性质判断即可；选项B根据角平分线的性质判断即可；选项C根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可；选项D根据多边形的外角和的定义判断即可．
本题考查了轴对称图形、中心对称图形、等腰三角形的性质，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：分式方程2x−4=3−mx−4两边同时乘x−4去分母，得
2=3(x−4)−m，
由分式方程的最简公分母是x−4，
∴分式方程的增根是x=4．
把x=4代入2=3(x−4)−m，
∴m=−2．
故选：D．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x−4=0，得到x=4．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9.【答案】C
【解析】解：延长BD交AC于H，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴BD=DH，AH=AB=12，
∴HC=AC−AH=4，
∵M是BC中点，BD=DH，
∴MD=12CH=2，
故选：C．
延长BD交AC于H，根据等腰三角形的性质得到BD=DH，AH=AB=12，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值．
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP，
此时PC+PQ最小值为BQ的长．
∵S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=12×810=9.6，
∴PC+PQ的最小值是9.6．
故选：C．
由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线的垂线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ的长是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是关键．
找到立方等于27的数即可．
【解答】
解：因为33=27，
所以27的立方根是3．
故答案为3．
12.【答案】2.5×10−7
【解析】解：0.00000025米=2.5×10−7米．
故答案为：2.5×10−7．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】5
【解析】解：∵ 9< 10< 16，
即3< 10<4，
∴5< 10+2<6，
∴[ 10+2]的值为5，
故答案为：5．
先估算 10的大小，进一步确定 10+2的大小，然后根据题意即可求解．
本题考查了新运算，无理数的估算，得出5< 10+2<6是解题的关键．
14.【答案】AE=CF
【解析】解：添加条件为：AE=CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE=CF．
证AE//CF，再由AE=CF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
15.【答案】30″
【解析】解：由作图可知MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴2∠B+30°=90°，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
由作图可知MN垂直平分线段AB，推出DA=DB，推出∠DAB=∠B，再根据三角形内角和定理构建方程求解．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16.【答案】x2+32=(9−x)2
【解析】解：设AB=x尺，则AC=(9−x)尺，
根据勾股定理得x2+32=(9−x)2．
故答案为：x2+32=(9−x)2．
设AC=x尺，则AB=(9−x)尺，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可列出方程．
本题考查了勾股定理的应用，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE=3，∠ABC=60°，
∴DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=12∠ABC=30°，
在Rt△BDE中，∠DBC=30°，DE=3，
∴BD=2DE=2×3=6，
在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°−60°−45°=75°，
∴∠BDA=180°−30°−75°=75°，
∴∠A=∠BDA，
∴BA=BD=6，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×6×3=9，
故答案为：9．
过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质得到DF=DE=3，根据直角三角形的性质求出BD，证明BA=BD=6，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】①③④
【解析】解：连接AF、EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，则∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABC=∠ACE，BD=EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴EC⊥BC，
故①正确；
当AD⊥BC时，∠ADB=90°，
∵∠ADE=45°，
∴∠EDC=45°，
∴∠BDA≠∠EDC，
故②错误；
∵∠BCE=90°，F为DE的中点，
∴CF=DF=EF=12DE，
∵∠DAE=90°，F为DE的中点，
∴AF=DF=EF=12DE，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠FCA，
又∵∠GAC=90°，
∴∠GAF+∠FAC=∠AGF+∠FCA=90°，
∴∠GAF=∠AGF，
∴GF=AF，则AF=GF=FC=12CG，
∴DE=CG，
故③正确；
∵BD=2DC，
设DC=a，则BD=2a，
∴BC=3a，AB=AC=BC⋅sin45°=3 22a，
在Rt△DCE中，EC=BD=2a，DC=a，
∴DE= EC2+DC2= 5a，
在等腰直角三角形ADE中，AD= 22DE= 102a，
又∵∠GAC=90°，CG=DE= 5a，
∴AG= CG2−AC2= 5a2−92a2= 22a，
∴AD= 5AG，
故④正确，
故答案为：①③④．
连接AF、EC，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可判断①；利用直角三角形中线的性质证AF=GF=FC，即可判断③；设DC=a，则BD=2a，解直角三角形得到AD= 22DE= 102a，即可判断④；取AD⊥BC时，得到∠BDA≠∠EDC，即可判断②．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理以及特殊值法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=3+1−1+2
=5；
(2)原式=3−1−(2−2 2+1)
=2−3+2 2
=2 2−1．
【解析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后进行乘方和开方运算，最后进行有理数的加减运算；
(2)先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
20.【答案】解：3(x+1)≥x−1①x+152>3x②，
由①得，x≥−2，
由②得，x<3，
∴不等式组的解集为−2≤x<3，
所有正整数解有：1、2．
【解析】求出一元一次不等式组的解集，再取符合条件的正整数即可．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式=x−1x(x+2)÷x+2−3x+2
=x−1x(x+2)⋅x+2x−1
=1x，
当x=−2，0时，原式没有意义；
当x=2时，原式=12．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠BAE=∠CADAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE=6，
在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= 62+82=10，
∵AB=AC=10，
∴BD=AB−AD=10−6=4．
【解析】(1)利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
(2)先利用全等三角形的性质得到AD=AE=6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB−AD即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
23.【答案】解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，依题意有
480x+10=360x，
解得：x=30．
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
(2)设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×(1−10%)(50−y)+40y≤1500，
解得y≤11713，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【解析】(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
(2)可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
24.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，∵AB//CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
(2)解：∵AD=AF=6，AB=3，
∴BF=AF−AB=3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，
∵∠BAD=120°，
∴∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AH=12AD=3，
∴DH= AD2−AH2=3 3，
∴△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠CDE=∠F，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠F=∠ADF，根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF，
(2)根据线段的和差得到BF=AF−AB=3；过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AD=3，DH= AD2−AH2=3 3，根据三角形的面积公式即可得到△ADF的面积=12AF⋅DH=12×6×3 3=9 3．
本题考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2023+ 2021
= 3−1( 3+1)( 3−1)+ 5− 3( 5+ 3)( 5− 3)+ 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)+... 2023− 2021( 2023+ 2021)( 2023− 2021)
= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 2023− 20212
=12×( 3−1+ 5− 3+ 7− 5+...+ 2023− 2021)
= 2023−12；
(2)∵a= m+1− m m+1+ m，b= m+1+ m m+1− m，
∴a=( m+1− m)2( m+1+ m)( m+1− m)=( m+1− m)2，
b=( m+1+ m)2( m+1− m)( m+1+ m)=( m+1+ m)2，
∴a+b=( m+1− m)2+( m+1+ m)2=2(2m+1)=4m+2，
ab=( m+1− m)2( m+1+ m)2=[( m+1− m)( m+1+ m)]2=(m+1−m)2=1，
∵a+b+3ab=2021，
∴4m+2+3×1=2021，
∴4m=2016，
解得：m=504；
(3)∵ 15+x2− 26−x2=1，
∴( 15+x2− 26−x2)2=1，
∴15+x2−2 15+x2 26−x2+26−x2=1，
∴ 15+x2 26−x2=20，
∴( 15+x2+ 26−x2)2
=( 15+x2− 26−x2)2+4 15+x2 26−x2
=12+4×20
=1+80
=81，
∵ 15+x2≥0， 26−x2≥0，
∴ 15+x2+ 26−x2=9．
【解析】(1)先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
(2)先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b=4m+2，ab=1，然后根据已知可得4m=2016，解答即可得解；
(3)利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】3n+2n
【解析】证明：(1)∵∠FAG+∠CAE=90°，∠FAG+∠F=90°，
∴∠CAE=∠F，
在△AGF和△ECA中，
∠AGF=∠ECA∠F=∠CAEAF=AE，
∴△AGF≌△ECA(AAS)；
(2)过F点作FG⊥AC交AC于G点，如图2，
∵△AGF≌△ECA，
∴FG=AC=BC，
在△FGD和△BCD中，
∠FDG=∠CDB∠FGD=∠C=90°FG=BC，
∴△FGD≌△BCD(AAS)，
∴DG=CD，
∵ADCD=3，
∴AGCD=2，
∴AGAC=12，
∵AG=CE，AC=BC
∴CEBC=12，
∴E点为BC中点；
(3)过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵BCBE=n+1n，BC=AC，CE=CB+BE，
∴ACCE=n+12n+1，
由(1)(2)知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD=DG，AG=CE，
∴ACAG=n+12n+1，
∴ACCG=n+1n，
∴AC12CG=ACCD=2n+2n，
∴ADCD=3n+2n．
故答案为：3n+2n．
(1)易证∠CAE=∠F，即可证明△AGF≌△ECA，即可解题；
(2)过F点作FG⊥AC交AC于G点，根据(1)中结论可得FG=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CD，根据ADCD=3可证AGAC=12，根据AG=CE，AC=BC，即可解题；
(3)过F作FG⊥AD的延长线交于点G，易证ACCE=n+12n+1，由(1)(2)可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD=DG，AG=CE，即可求得ACCD的值，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AGF≌△ECA和△DGF≌△DCB是解题的关键．
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