2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高二（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市揭西县高二（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈Z||2x−3|0)所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
7.以下四个命题中，正确的是( )
A. 向量a=(1,−1,3)与向量b=(3,−3,6)平行
B. △ABC为直角三角形的充要条件是AB⋅AC=0
C. |(a⋅b)cc|=|a|⋅|b|⋅|c|
D. 若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
8.过点P(−1,−2)的直线l可表示为m(x+1)+n(y+2)=0，若直线l与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{an}是递增数列，q是其公比，下列说法正确的是( )
A. a1>0B. q>0C. a1q>0D. a1(q−1)>0
10.已知实数x，y满足圆C的方程x2+y2−2x=0，则下列说法正确的是( )
A. 圆心(−1,0)，半径为1
B. 过点(2,0)作圆C的切线，则切线方程为x=2
C. yx+1的最大值是 3
D. x2+y2的最大值是4
11.定义min{a,b}=a(a0的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=______．
16.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2−y2b2=1，F1、F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD=90°，tan∠ABC=−34，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2C= 3sinC．
(1)求C；
(2)若b=4，且△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为10，焦距为6．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为(14,15)，求l的方程．
19.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，E为BB1的中点，AB=CC1=2BC=2．
(1)证明：AC⊥C1E；
(2)求二面角A−EC1−B的余弦值．
20.(本小题12分)
已知各项均不为零的数列{an}满足a1=25，且2an−2an+1=3anan+1,n∈N*．
(1)证明：{2an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)令cn=2nan,Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
21.(本小题12分)
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
(3)采用分层抽样的方法从[1,1.5)，[1.5,2)这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率．
22.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过焦点的直线l与抛物线C交于两点A，B，当直线l的倾斜角为π6时，|AB|=16．
(1)求抛物线C的标准方程和准线方程；
(2)记O为坐标原点，直线x=−2分别与直线OA，OB交于点M，N，求证：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x∈Z||2x−3|0，
进而可得a1(q−1)>0．
故选：BD．
根据题意，由数列的函数特性可得an+1−an=a1qn−a1qn−1=a1qn−1(q−1)>0，由不等式的性质分析q的范围，进而分析可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及数列的函数特性，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对选项A：x2+y2−2x=0，即(x−1)2+y2=1，圆心为(1,0)，半径为r=1，错误；
对选项B：(2,0)在圆上，则(2,0)和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为x=2，
正确；
对选项C：yx+1表示圆上的点(x,y)到点A(−1,0)的斜率，如图所示：
当AB与圆相切时，斜率最大，此时|AC|=2，|BC|=1，故AB⊥BC，
故此时斜率最大为tan30°= 33，错误；
对选项D：x2+y2表示圆上的点(x,y)到原点距离的平方，故最大值为(1+r)2=4，
正确．
故选：BD．
确定圆心和半径得到A错误，计算切线得到B正确，将CD选项中的代数式转化为斜率和到原点的距离，计算得到C错误，D正确，得到答案．
本题考查直线圆的位置关系的应用，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意得f(x)=(x−1)2,x∈(0,3)x+1,x∈(−∞,0]∪[3,+∞)，作出函数f(x)的图象，如图所示：
根据图象，可得f(x)无最大值，无最小值，所以A错误；
根据图象得，当x≤0，f(x)的最大值为1，所以B正确；
由f(x)≤1，得(x−1)2≤1，解得：0≤x≤2，
结合图象得不等式f(x)≤1的解集为(−∞,2]，所以C正确；
由图象得，f(x)的单调递减区间为(0,1)，所以D正确．
故选：BCD．
由题意，写出f(x)不同区间的解析式，并作出函数f(x)图象，然后由图象逐一判断即可．
本题考查了二次函数、一次函数的性质，也考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：过点O的平面去截正方体，考虑从正方体的上底面A1B1C1D1开始截入，不妨设上底面A1B1C1D1与截面的交线为线段PQ，截取有两种情况，
第一种情况是：点P和Q分别分别在两对边上或相邻边上，如图，
直线PO与BC相交于点M，直线OQ与AD相交于点N，易知所得截面为平形四边形PQMN；
第二种情况是：如图：
直线PO与BC相交于点M，直线OQ与AD相交于点N，直线PQ与A1B1相交于点E，NE与AA1相交于点F，直线MN与CD相交于点G，GQ与CC1相交于点H，易知所得到的截面为六边形PQHMNF，故A错误，B正确；
当截面为平行四边形时，正六边形边长为 2，它的面积为6×12×( 2)2× 32=3 3，故C正确；
当截面为平行四边形时，由对称性可知：A1P=MC，PD1=MB，QC1=AN，QB1=DN，
若四边形PQMN为菱形时，则PN=MN，
可得： AA12+(AN−A1P)2= AB2+(BM−AN)2，可得(AN−MC)2=(BM−AN)2，
可得：AN−MC=BM−AN，或AN−MC=AN−BM，
所以2AN=AD或MC=BM，故D正确．
故选：BCD．
直接利用分类讨论思想和截面与正方体的关系，判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：正方体的性质，正方体和截面的关系，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
13.【答案】2
【解析】解：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径为r，
将C2化成标准方程为：(x−4)2+(y−3)2=9，
∴圆C2的圆心为C2(4,3)，半径为3，
若圆C1与圆C2相外切，则|C1C2|= (4−0)2+(3−0)2=5，
即5=3+r，解得r=2．
故答案为：2．
根据圆心距等于两圆半径之和计算r即可．
本题考查圆和圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】12.5
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的基本量计算问题，主要考查了等差数列的应用，属于一般题．
由题意构造等差数列{an}，然后得到关于a1和d的关系，求出a1和d，然后利用等差数列的通项公式求解a4即可．
【解答】
解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{an}，设公差为d，
由已知可冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，
所以a1+a2+a3=3a1+3d=43.5a12=a1+11d=4.5，解得a1=15.5d=−1，
所以立春的日影子长为a4=a1+3d=12.5尺．
故答案为：12.5．
15.【答案】0
【解析】解：由函数f(x)=2sinωx的部分图象知，f(x)的周期为8，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(8)+f(9)+...+f(8×253)=0．
故答案为：0．
根据正弦型函数f(x)=2sinωx的部分图象知f(x)的周期为8，由此计算即可．
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16.【答案】 102
【解析】解：设|AF1|=n，
由tan∠ABC=sin∠ABCcs∠ABC=−34，sin2∠ABC+cs2∠ABC=1，
可得sin∠ABC=35，即sin∠ABF1=35，
在直角三角形ABF1中，可得|BF1|=53n，|AB|=43n，
由双曲线的定义可得|BF2|=53n−2a，
则|AF2|=43n−(53n−2a)=2a−13n，
由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a，
即n−(2a−13n)=2a，解得n=3a，
在直角三角形AF1F2中，|AF1|=3a，|AF2|=a，|F1F2|=2c，
则(3a)2+a2=(2c)2，
即c2=52a2，可得e=ca= 102，
故答案为： 102．
设|AF1|=n，由同角的基本关系式求得sin∠ABF1=35，可得|BF1|=53n，|AB|=43n，再由双曲线的定义，求得n=3a，结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由sin2C= 3sinC，得2sinCcsC= 3sinC，
在△ABC中，sinC≠0，∴csC= 32，
在△ABC中，C∈(0,π)，∴C=π6．
(2)S△ABC=12absinC=12×a×4×12=2 3，
∴a=2 3，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=12+16−2×2 3×4× 32=4，
∴c=2，∴a+b+c=2 3+4+2=6+2 3，
∴△ABC的周长为6+2 3．
【解析】(1)利用二倍角公式化简即可求得．
(2)利用面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)不妨设C的焦距为2c(c>0)，长轴长为2a，
此时2a=10，2c=6，
解得a=5，c=3，
所以b2=a2−c2=16，
则C的方程为x225+y216=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为A，B两点都在椭圆C上，
代入椭圆方程得x1225+y1216=1x2225+y2216=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)25=−(y1+y2)(y1−y2)16，
即(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=−1625，
线段AB的中点坐标为(14,15)，
所以x1+x2=12,y1+y2=25，
此时l的斜率k=y1−y2x1−x2=−1625×x1+x2y1+y2=−1625×54=−45，
则l的方程为y−15=−45(x−14)，
即4x+5y−2=0．
【解析】(1)由题意得a，c的值，由b2=a2−c2，即可得所求方程；
(2)先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程．
本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC，
CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC1B1，
∵C1E⊂平面BCC1B1，∴AC⊥C1E.
(2)以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由AC⊥BC，AB=2，得AC= 3，
∴A( 3,0,0)，E(0,1,1)，C1(0,0,2)，B(0,0,1)，
设平面AEC1的一个方向向量为m=(x,y,z)，
AE=(− 3,1,1)，AC1=(− 3,0,2)，
∴AC⋅m=− 3x+y+z=0AC1⋅m=− 3x+2z=0，令z= 3，得m=(2, 3, 3)，
∵AC⊥平面BCC1B1，∴CA=( 3,0,0)是平面EC1B的一个法向量，
∴cs=m⋅CA|m|⋅|CA|=2 3 10⋅ 3= 105，
∴二面角A−EC1−B的余弦值为 105．
【解析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明AC⊥C1E；
(2)建立空间直角坐标系，能求出二面角A−EC1−B的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)证明：∵2an−2an+1=3anan+1，
∴2an+1−2an=3,n∈N*，
又2a1=5，
∴数列{2an}是首项为5，公差为3的等差数列，
∴2an=5+3(n−1)=3n+2，
故an=23n+2,n∈N*；
(2)由(1)得an=23n+2，则cn=2nan=(3n+2)⋅2n−1，
∴Tn=5+8×2+11×22+⋯+(3n−1)⋅2n−2+(3n+2)⋅2n−1①，
2Tn=5×2+8×22+11×23+⋯+(3n−1)⋅2n−1+(3n+2)⋅2n②，
由①−②得−Tn=5+3×2+3×22+⋯+3×2n−1−(3n+2)⋅2n=5+6⋅(1−2n−1)1−2−(3n+2)⋅2n=(1−3n)⋅2n−1，
∴Tn=(3n−1)⋅2n+1．
【解析】(1)由题意变形得2an+1−2an=3，利用等差数列的定义，即可证明结论；
(2)由(1)得cn=2nan=(3n+2)⋅2n−1，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等差数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5)，[0.5,1)，⋯，[4,4.5]的频率分别为0.04，0.08，0.15，0.5a，0.25，0.15，0.07，0.04，0.02．
由1−(0.04+0.08+0.15+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02)=0.5a，得a=0.40．
(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时．
因为前5组频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，前4组频率和为0.47