汉寿县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．圆心为且过原点的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
2．在数列中,若,且对任意的有,则数列前10项的和为( )
A.B.C.D.
3．设公比为-2的等比数列的前n项和为,若,则等于( )
A.8B.4C.-4D.-8
4．已知直线与直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5．已知正四棱柱中,,则CD与平面所成角的正弦值等于( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B.若直线AB的斜率为,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合,过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为,则椭圆E方程为( )
A.B.C.D.
8．对于函数,下列结论正确的一个是( )
A.有极小值,且极小值点
B.有极大值,且极大值点
C.有极小值,且极小值点
D.有极大值,且极大值点
二、多项选择题
9．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A.B.C.D.
10．已知O为坐标原点,抛物线E的方程为,E的焦点为F,直线l与E交于A,B两点,且AB的中点到x轴的距离为2,则下列结论正确的是( )
A.的最大值为6
B.E的焦点坐标为
C.若,则直线AB的方程为
D.若,则面积的最小值为16
11．如图,在三棱锥中,底面ABC.请添加一个条件,使该三棱锥的四个面均为直角三角形,则这个添加的条件可以是( )
A.B.C.D.
12．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,且满足条件,,,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.是数列中的最大项D.
三、填空题
13．已知直线,直线,若直线l与m的交点在第一象限,则实数k的取值范围为___________.
14．已知曲线在处的切线过点,那么实数____________.
15．锐二面角中,直线a在半平面内,通过探究可知：a与半平面所成角的最大值就是二面角的平面角的大小,请据此解决下面的问题：在三棱中,,二面角为直二面角,,M,N分别为侧棱PA,PC上的动点,设直线MN与平面PAB所成的角为,当的最大值为时,则三棱锥P-ABC的体积为__________.
16．设,函数,,若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点,则a的取值范围是____________.
四、解答题
17．已知函数为偶函数.
(1)求出a的值,并写出单调区间;
(2)若存在使得不等式成立,求实数b的取值范围.
18．设为数列的前n项和,已知,对任意,都有.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列的前n项和为,求证：.
19．已知点在椭圆上,且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为零,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求的面积.
20．如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为O,且平面.
(1)证明：;
(2)若,,,求三棱柱的高;
(3)在（2）的条件下,求三棱柱的表面积.
21．已知椭圆的左右两个焦点分别为,,以坐标原点为圆心,过,的圆的内接正三角形的面积为,以为焦点的抛物线的准线与椭圆C的一个公共点为P,且.
（1）求椭圆C和抛物线M的方程;
（2）过作相互垂直的两条直线,其中一条交椭圆C于A,B两点,另一条交抛物线M于G,H两点,求四边形AGBH面积的最小值.
22．已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)若,证明有且只有一个极小值点和一个零点,且
参考答案
1．答案：C
解析：圆心为且过原点的圆的半径为,
故圆心为且过原点的圆的圆的方程为,
故选：C.
2．答案：A
解析： ,
则.
,.
,
.
,
,则.
故选：A.
3．答案：C
解析：由得：,又
解得：,所以
故选：C.
4．答案：A
解析：由,得,解得或,
即的充要条件为或,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
5．答案：A
解析：建立如图所示空间直角坐标系,不妨设,
则,,
设平面的法向量为,
则,令,则,所以.
设CD与平面所成角为,
则.
故选：A.
6．答案：C
解析：双曲线C的渐近线方程为,则直线OB的斜率为（O为坐标原点）,
所以,直线BF的斜率为,易知点、,
所以,直线BF的方程为,
联立,解得,即点,
由题意可得,即,
所以,,则,故.
故选：C.
7．答案：A
解析： ,故右焦点,则,
设,,则,
且,,
两式相减得,
故,
故,故,,
故椭圆E方程为,
故选：A.
8．答案：C
解析：由题,又,故在区间上为增函数.
又..
故有极小值,且极小值点.
故选：C.
9．答案：BD
解析：A选项,为偶函数,当时,.其在上单调递减,故A错误;
B选项,为偶函数,其在上单调递增,故B正确;
C选项,为奇函数,故C错误;
D选项,为偶函数,其在上单调递增,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：对于A：如图：
设AB的中点为M,分别过A,B,M作准线的垂线,
垂足分别为C,D,M,因为M到x轴的距离为2,所以,
由抛物线的定义知,,
所以,
因为,
所以,所以的最大值为6.
故选项A正确;
对于B：由题知,抛物线E的标准方程为,
所以焦点坐标为.
故选项B错误;
对于C：由得直线AB过点,
直线的斜率存在,设直线AB的方程为,
联立方程得,化简得,
则有.
由于,所以,
可得,解得,所以,
所以,直线AB的方程为.
故选项C正确;
对于D：设,,由,
得,又,
所以,
由题知,,所以,
又,
故直线AB的方程为,
又,所以,
则有直线AB恒过点,
所以,
所以面积的最小值为16.
故选项D正确;
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：若,设,,,
求得,,,
则,
则为锐角,同理可得,为锐角,则为锐角三角形,故A错误;
因为底面ABC,AB,BC,面ABC,所以,,
若,,所以平面PAB,
又平面PAB,所以,
所以该三棱锥的四个面均为直角三角形,故B正确;
若,,所以平面PAB,
又平面PAB,所以,
所以该三棱锥的四个面均为直角三角形,故C正确;
若,,所以平面PAC,
又平面PAC,所以,
所以该三棱锥的四个面均为直角三角形,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：ABD
解析：,
则或,
,,
和同号,且同为正,
且一个大于1,一个小于1,
,
,,即数列的前2022项大于1,
而从第2023项开始都小于1,
对于A,公比,故A正确,
对于B,,
,即,故B正确,
对于C,等比数列的前项积为,
且数列的前2022项大于1,而从第2023项开始都小于1,
故是数列中的最大项,故C错误,
对于D,,
,
,即,故D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：由题意得两直线不平行,即,得,
由得,
由于直线l与m的交点在第一象限,
所以,解得,则实数k的取值范围为,
故答案为：.
14．答案：1
解析：,
,则,
曲线在处的切线方程为：
,代入点,
得,解得,
故答案为：1.
15．答案：
解析：如图所示,当直线MN与平面PAB所成的角为二面角的大小时,
此时线面角达到最大,设N运动到C时,作于M,于D,
连结DM,二面角为直二面角,
面面PBC, ,面APB,面面
面APB,又,
面CDM,,,则,
设,
,
故答案为：.
16．答案：
解析：函数与的图象有且仅有两个不同的公共点,
即方程有两不同根,
也就是有两不同根,
因为,所以在上有两不同根.
因为,所以或,.
又且,所以,仅有两解时,应有,
则,所以a的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：(1);在上单调递减,在上单调递增
(2)
解析：（1）因为,所以,
由偶函数知,解得;
即,由对勾函数知,
当时,即时函数单调递减,
当时,即时函数递增,
所以函数在上单调递减,在上单调递增;
（2）由题意可得,即,
令,;
解一：,则在上有解,即.
若,即,此时,解得,∴;
若,即,此时,解得,此时无解;
综上,;
解二：由得,令,则.
,所以.
解三：由得,令,则,
,所以.
18．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为,所以.
两式相减,得,即
所以当时,,
所以,即
又因为,所以,又也符合该式,故.
（2）证明：由（1）有,令,,
则
所以
=
因为,所以
因为在N*上是递减函数,
所以在N*上是递增函数.
所以当时,取得最小值.所以
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）设椭圆的焦距为,
由题意可得,解得,
所以椭圆方程为;
（2）由题意作下图：
不妨设直线AP的倾斜角为锐角且为,
则直线AQ的倾斜角为,所以,
因,,解得,
又为锐角,所以,于是得直线,,
联立方程组消去y得：,
因为方程有一根为2,所以,,
同理可得,,
所以,,点A到直线PQ的距离,
所以的面积为;
综上,椭圆方程为;的面积为.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）证明：连接,则O为与的交点,
侧面为菱形, .
平面, .
,平面ABO, 平面ABO,平面ABO.
平面ABO, .
（2）作,垂足为D,连接AD,作,垂足为H,如图.
,,,平面AOD,平面AOD,
平面AOD, .
,,平面ABC,平面ABC,
平面ABC.
, 为等边三角形.
, ,
, ,
由,
且,可得,
O为的中点,到平面ABC的距离为,
三棱柱的高为.
（3）易知,,
,,
,
,,,.
表面积为.
21．答案：（1）;;
（2）.
解析：（1）圆O半径为c,故内接正三角形的面积为
,即
又,,故
,
椭圆.
（2）由已知得直线AB的斜率存在,记为k
（i）当时,,,故.
（ii）当时,设,代入,得：
.
此时,,代入得：
.
综上,.
22．答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：（1）.
①若,则,
当时,,当时,,
故在单调递减,在单调递增;
②若,则,
当或时,,当时,,
故在,单调递减,在单调递增;
③若,则,,当且仅当时,“=”成立,
故是R上的减函数;
④若,则,
当或时,,当时,,
故在,单调递减,在单调递增;
综上,当时,在单调递减,在单调递增;
当时,在,单调递减,在单调递增;
当时,是R上的减函数;
当时,在,单调递减,在单调递增.
（2）由（1）知：当时,在,单调递减,在单调递增,
所以有且仅有一个极小值点,且,,,
因为在单调递减,,,
所以有且仅有一个零点,且,即,则,
从而,
设,
则,在单调递增.
所以.