重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十一中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．计算的值是( )
A.252B.70C.56D.21
2．已知奇函数满足,则=( )
A.B.C.1D.−1
3．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.当或时,函数的值为0
C.函数在上是增函数
D.函数在上是增函数
4．若,则( )
A.27B.C.54D.
5．已知直线过定点,则点P到直线距离的最大值是( )
A.1B.2C.D.
6．已知函数,则正确的是( ).
A.的极大值2B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线
7．公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是:,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A.720B.1440C.2280D.4080
8．已知函数是定义在上的可导函数,,且,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10．我校111周年校庆将于2023年5.20进行,为了宣传需要,现在对我校3男3女共6名学生排队照相,则下列说法正确的是( )
A.6名学生排成两排,女生在第一排,男生在第二排,一共有720种不同的排法
B.6名学生排成一排,男生甲只能排在队伍的两端的共有120种排法
C.6名学生排成一排,男生甲,乙相邻的排法总数为240种
D.6名学生排成一排,男女生相间排法总数为72种
11．2022年卡塔尔世界杯会徽正视图近似伯努利双纽线.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,已知点是时的双纽线C上一点,下列说法正确的是( )
A.双纽线C是中心对称图形
B.
C.双纽线C上满足的点有2个
D.的最大值为
12．已知直线与曲线相交于A,B两点,与曲线相交于B,C两点,A,B,C的横坐标分别为,,,则( )
A.B.C.D.,,构成等比数列
三、填空题
13．的展开式中的系数是_____
14．已知一个底面半径为的圆锥,其侧面展开图为半圆,则该圆锥的体积为_____.
15．已知函数,对于任意不同的,,有,则实数a的取值范围为______.
16．杨辉是我国南宋伟大的数学家,“杨辉三角”是他的伟大成就之一.如果将杨辉三角从第一行开始的每一个数都换成,得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”,莱布尼茨由它得到很多定理,甚至影响到微积分的创立,则“莱布尼茨三角形”第2023行中最小的数是____________________(结果用组合数表示)
四、解答题
17．已知的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值;
（2）求展开式中x的系数.
18．设(),曲线在点处的切线与y轴相交于点.
（1）求a的值;
（2）函数在上的最大值.
19．已知函数,.
（1）若是函数的极值点,求k的值;
（2）若函数在上仅有个零点,求k的取值范围.
20．吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体,于是她仿照该模型设计了一个学探究题,如图:E,F,G分别是正方形的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉,再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起,连接AB,CG就得到一个“刍甍”.
（1）若是四边形EBCF对角线的交点,求证:平面GCF;
（2）若二面角的大小为,求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.
21．已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为D,且为等边三角形.经过焦点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,的周长为8.
（1）求椭圆C的方程;
（2）试探究:在x轴上是否存在定点T,使得为定值?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
22．已知函数.
（1）讨论函数的导数的单调性;
（2）若,为的极值点,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：
故选:C.
2．答案：B
解析：因为是奇函数,所以.
故选:B.
3．答案：D
解析：由函数的导函数图象可知,
当,时,,原函数为减函数;
当时,,原函数为增函数.
故D正确,C错误;
故不是函数的极值点,故A错误;
当或时,导函数的值为0,函数的值未知,故B错误;
故选:D.
4．答案：B
解析：,
令可得,
令可得,
两式相加可得,.
故选:B.
5．答案：D
解析：由题意知,直线恒过定点,
直线恒过定点,如图所示,
过作的垂线段PH,垂足为H,
那么必有,当且仅当Q与H重合时取等号,
从而PH的最大值为,
即点P到直线距离的最大值是.
故选:D.
6．答案：C
解析：因为,所以,
令,得或,令,得,
所以在,上单调递增,在上单调递减,
所以当时,取得极大值且,故A错误;
所以当时,取得极小值且,
当趋近于正无穷,趋近于正无穷,
当趋近于负无穷,趋近于负无穷,
则的图象如下图,
有2个零点,故B错误;
对任意的,,
所以,点是曲线的对称中心,C正确;
设是函数的一条切线,设切点坐标为,
,由题意可得,解得:,
所以切点为:或,
切点不在上,故D错误.
故选:C.
7．答案：C
解析：一共有7个数字,且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列,可以得到个不同的数字.
当前两位数字为11或12时,得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时,共可以得到个不同的数字,
则大于3.14的不同数字的个数为
故选:C
8．答案：A
解析：由可得,
设,则,
,在上为减函数,又由,可得,.
故选A.
9．答案：BD
解析：,故A不正确;
,故B正确;
,故C不正确;
,故D正确.
故选:BD.
10．答案：CD
解析：对于A,女生在第一排则,男生在第二排则,
所以共有种不同的排法,故A不正确.
对于B,男生甲只能排在队伍的两端的共有,故B不正确;
对于C,男生甲,乙相邻,将男生甲,乙捆绑在一起有种不同的排法,
再与其他学生全排列,则种不同的排法,
所以共有种不同的排法,故C正确;
对于D,男女生相间,共有两种情况:男女男女男女,女男女男女男,
共有种不同的排法,故D正确.
故选:CD.
11．答案：ABD
解析：由到定点,的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线,
则双纽线C的方程为,
将替换方程中的,方程不变,
故双纽线C关于原点O成中心对称,故A正确;
由等面积法得,则,
所以,故B正确;
令,得,解得,
所以双曲线C上满足的点P有一个,故C错误;
因为,所以,
由余弦定理得,
所以,
所以的最大值为,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：ACD
解析：,,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,,
,,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,,
如图,作出函数,的大致图象,
则,则,故A对;
,在上单调递增,,,,
,B错;
,在单调递减,
,,,C对;
,
又,,,所以,,构成等比数列,D对.
故选:ACD.
13．答案：480
解析：展开式中含项为:,
含项的系数为:,
由于,
所以,
即展开式中含项的系数为480.
故答案为:480
14．答案：
解析：设圆锥的母线长为l,则,得,所以圆锥的高为,故圆锥的体积为.
故答案为:.
15．答案：
解析：对于任意,,有,
不妨设,则,即,
设,则,
又,所以单调递增,则恒成立,
因为,
所以,令,
要使在恒成立,只需恒成立,即恒成立,
又,所以,即,
故答案为:
16．答案：或
解析：因为从第一行开始的每一个数都换成,得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”,
所以“莱布尼茨三角形”第行从左向右分别为,,,…,.
所以“莱布尼茨三角形”第行从左向右的数分别为,,,,.
所以第行中最小的数是,,,,中最大的一项或两项,
根据组合数的性质得到在,,,,中和最大.
所以“莱布尼茨三角形”第行中最小的数是或.
故答案为:或.
17．答案：（1）14或23
（2）当时,的系数为364;当时,的系数为1012.
解析：（1）因为的展开式中,第9项,第10项,第11项的二项式系数成等差数列,所以,即,
化简可得,解得或.
（2）因为的展开式的通项公式为,
由（1）知,当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为364,
当时,,取,得到,此时展开式中x的系数为1012.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,故.
令,得,,
所以曲线在点处的切线方程为,
由点在切线上,可得,解得;
（2）由（1）知,,
.
令,解得,.
当或时,,故的递增区间是,;
当时,,故的递减区间是.
,,
因为,
所以在上的最大值为.
19．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题知,的定义域为R,,
,解得,
,
当时,;当或时,.
的单调增区间是和,单调减区间为.
所以是函数的极值点,所以.
（2）由（1）知,,
①当时,恒成立,
在上单调递增,最多只有1个零点,不符合条件,舍去.
②当时,当时,恒成立,
在上单调递减,最多只有1个零点,不符合条件,舍去.
③当时,令得,
在上递减,在上递增,
要使函数在区间上有且仅有2个零点,必有
即
解得:.
故答案为
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取线段CF中点H,连接OH,GH,
由图1可知,四边形EBCF是矩形,且,
是线段BF与CE的中点,
且,
在图1中且,且.
所以在图2中,且,
且
四边形AOHG是平行四边形,则
由于平面GCF,平面GCF
∥平面GCF
（2）由图1,,,折起后在图2中仍有,
即为二面角的平面角.
,
以E为坐标原点,,分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图,
且设,
则,,,
,
,,
设平面GCF的一个法向量,
由,得,取,则
于是平面GCF的一个法向量,
,
直线AB与平面GCF所成角的正弦值为
21．答案：（1）
（2）存在定点,使得为定值
解析：（1）等边三角形,,,;
的周长为8,,
解得:,,,
椭圆C的方程为:.
（2）假设在x轴上存在定点,使得为定值;
由（1）知:,直线l斜率不为零,
可设,,,
由得:,则,
,,
;
为定值,,解得:,此时定值为;
存在定点,使得为定值.
22．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）设,则,
注意到,则有:
①当时,则,故对恒成立,故的单调递减区间为;
②当时,令,解得,
当时,;当时,;
故的单调递增区间为,单调递减区间;
综上所述:①当时,的单调递减区间为;
②当时,的单调递增区间为,单调递减区间.
（2）若有两个极值点,则有两个变号的零点,
由（1）可得:
设,则在上递减,且
可得:,则,即,解得,
即,解得,
当时,则有:
先证:,
设,则
令,解得;令,解得,
所以在递减,在递增,所以,
故对恒成立,
,
当时,则,即,可得,
故在上存在唯一一个零点,即;
再证:,
当时,即,可得,
则,
当时,则,即,
可得,
故;
综上所述:.
.