2023-2024学年湖南省株洲市渌口区九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市渌口区九年级（上）期末数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x2−9=0，则x的值为( )
A. 3B. −3C. ±3D. 81
2.反比例函数y=1x的图象位于( )
A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
3.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )
A. (−2,−3)B. (2,3)C. (−2,3)D. (2,−3)
4.小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量(单位：度)，结果如下：9，11，7，10，8.根据这些数据，估计她家6月份的用电量为( )
A. 180度B. 210度C. 240度D. 270度
5.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1
6.某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比赛，则九年级班级的个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
7.如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为( )
A. 4
B. 9
C. 12
D. 13.5
8.如图，某游乐场一个跷跷板支撑柱OH垂直地面，OA=OB，当AB的一端A着地时，∠BAH=α，若OH=x，则AB长可表示为( )
A. 2xsinα
B. 2xcsα
C. 2x⋅sinα
D. 2x⋅csα
9.刘老师从全校2000名学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分学生的答卷，并将结果统计后绘制成如图所示的条形统计图，其中一部分被墨迹遮盖.已知每天锻炼时长为1小时的学生人数占样本总人数的36%，则下列说法正确的是( )
A. 抽取的学生人数小于200
B. 2000名学生是样本
C. 该校锻炼时长为2小时的学生约有200名
D. 被调查学生中，锻炼时长为1.5小时的人数最多
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴是直线x=1，下列结论正确的是( )
A. abc<0
B. 2a+b=0
C. 4ac>b2
D. 点(−2,0)在函数图象上
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：4sin30°= ______．
12.已知方程x2−3x+2=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值是______．
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinA=23，那么csB的值是______．
14.已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是______．
15.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC，S△ABDS△BCD=12，则ADBC= ______．
16.如图，已知AB=1，OB=2，把Rt△AOB绕原点逆时针旋转90°得到Rt△COD，点A的对应点为点C，若反比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 4+tan45°−(−12)．
18.(本小题6分)
一块四周镶在宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2.求花边的宽．
19.(本小题6分)
每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树(AB)8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2m，观测者目高CD=1.75m，则树高AB约是多少米？
20.(本小题8分)
已知A=(a+b)2−4abab(a−b)2(ab≠0且a≠b)．
(1)化简A；
(2)若点P(a,b)在反比例函数y=−6x的图象上，求A的值．
21.(本小题8分)
如图，点A在x轴的正半轴上，抛物线y=x2与直线y=4在第一象限内的交点为B，试求tan∠AOB的值．
22.(本小题9分)
某学校为了了解学生每天零花钱的情况，从该校学生中随机抽取部分学生对每天零花钱情况进行了问卷调查和统计，并绘制成如图所示的两个统计图.请你根据以上信息回答下列问题：

(1)在这次调查中，共抽取的学生有多少人？
(2)在这次调查中，每天零花钱为10元的学生有多少人？并补全条形统计图．
(3)该校共有学生1200人，请你估计这个学校学生每天零花钱的总数．
23.(本小题9分)
贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m.索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F.(图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上)

(1)求索道AB的长(结果精确到1m)；
(2)求水平距离AF的长(结果精确到1m)．
(参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26， 2≈1.41)
24.(本小题10分)
如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点A的坐标为A(4,0)，点B在点A的右侧，反比例函数y1=kx(k≠0)在第一象限内的图象与直线y2=34x交于点D，交BC于点E．
(1)求D点的坐标及反比例函数y1=kx的关系式；
(2)连接DE，若矩形ABCD的面积是27，求出△CDE的面积．
25.(本小题10分)
如图，二次函数y=ax2+bx+5的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形ACDB的面积；
(3)设P是在第一象限内抛物线上的一点，且∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：x2−9=0，
x2=9，
x=±3，
故选：C．
根据平方根的定义解方程即可．
本题考查了平方根，属于基础题，注意不要丟解．
2.【答案】A
【解析】解：由y=1x可知，反比例函数y=1x的图象位于第一、三象限．
故选：A．
根据反比例函数y=1x即可判断；
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是(−2,3)．
故选：C．
根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵这5天的日用电量的平均数为9+11+7+10+85=9(度)，
∴估计他家6月份用电量为270度．
故选：D．
先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份用电量．
本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．正确算出平均数是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4−4m>0，
解得：m<1．
故选：A．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设九年级共有x个班，
依题意得：12x(x−1)=15，
整理得：x2−x−30=0，
解得：x1=−5(不合题意，舍去)，x2=6．
故选：B．
设九年级共有x个班，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出九年级的班级数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC=2：3．
∴ABED=ACEC=BCDC=23，
∴当AB=6时，DE=9．
故选：B．
根据相似三角形的性质联立方程即可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得：OH⊥AH，
在Rt△AOH中，∠BAH=α，OH=x，
∴AO=OHsinα=xsinα，
∵OA=OB，
∴AB=2OA=2xsinα，
故选：A．
根据题意可得：OH⊥AH，然后在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，再根据OA=OB，可得AB=2OA=2xsinα，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A.72÷36%=200，所以样本容量是200，错误，不符合题意；
B.2000名学生每天体育锻炼时长是总体，错误，不符合题意；
C.该校锻炼用时为2小时的学生有2000×25200=250(人)，错误，不符合题意；
D.200−18−25−72=85，锻炼时长为1.5小时的人数最多，正确，符合题意；
故选：D．
根据每天锻炼时长为1小时的学生人数是72人，占样本总人数的36%可得样本容量；
根据总体的定义可判断B；
根据锻炼时长为1.5小时的人数可对C作出判断；
锻炼用时为2小时的学生人数算出百分比，可估计全校锻炼用时为2小时的学生人数．
本题考查条形统计图，用样本估计总体，熟知样本、样本容量、总体和个体的概念是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：A：由二次函数的图形可知：a>0，b<0，c<0，所以abc>0.故A错误．
B：因为二次函数的对称轴是直线x=1，则−b2a=1，即2a+b=0.故B正确．
C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2−4ac>0，即4acD：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，且对称轴为直线x=1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为(−1,0).故D错误．
故选：B．
利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x=1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)，再结合对称轴为直线x=1，可得出另一个交点坐标．
本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：4sin30°=4×12=2．
故答案为：2．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵方程x2−3x+2=0的两根分别是x1，x2，
∴x1+x2=−−31=3．
故答案为：3．
根据根与系数的关系即可得出答案．
此题考查根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
13.【答案】23
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴csB=BCAB=sinA=23，
故答案为：23．
根据锐角三角函数的定义得出csB=sinA即可．
本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系是正确解答的前提．
14.【答案】(−3,0)
【解析】解：∵二次函数y=x2+4x+c=(x+2)2−4+c，
∴该函数的对称轴是直线x=−2，
∵二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴该函数与x轴的另一个交点是(−3,0)，
故答案为：(−3,0)．
根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，再根据二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)和二次函数图象具有对称性，即可求得该函数与x轴的另一个交点坐标．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15.【答案】12
【解析】解：过A作AM⊥BC于M，
∵AD/​/BC，
∴AM⊥AD，
∵S△ABDS△BCD=12AD⋅AM12BC⋅AM=ADBC=12，
即ADBC=12，
故答案为：12．
过A作AM⊥BC于M，根据平行线的性质得到AM⊥AD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了梯形，三角形的面积公式，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：∵Rt△ABC的直角边AB=1，OB=2，
由旋转的性质可求CD=AB=1，OD=OB=2，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴C(−2,1)，
∴k=−2×1=−2．
故答案为：−2．
根据图形旋转的性质求出D点的坐标，再代入反比例函数函数的解析式即可得出结论．
本题考查的是旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式=2+1+12
=72．
【解析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
本题主要考查了实数运算，掌握实数运算法则是关键．
18.【答案】解：设花边的宽为xm，
根据题意得：(8−2x)(5−2x)=18
解得x1=1，x2=112，
经检验x2=112不合题意，舍去．
答：花边的宽为1m．
【解析】先设花边的宽为x米，再求出长方形图案的长为(8−2x)米，宽为(5−2x)米，则长方形图案的面积为：(8−2x)(5−2x)平方米，根据题意列出方程．
本题考查了一元二次方程的应用，关键是能表示出长方形图案的面积，然后根据等量关系列出方程．
19.【答案】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则BEDE=ABCD，即82=AB1.75，
解得：AB=7(m)，
答：树高AB约是7m．
【解析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
20.【答案】解：(1)A=(a+b)2−4abab(a−b)2=a2+2ab+b2−4abab(a−b)2=(a−b)2ab(a−b)2=1ab．
(2)∵点P(a,b)在反比例函数y=−6x的图象上，
∴ab=−6，
∴A=1ab=−16．
【解析】(1)分子用完全平方公式进行化简，因式分解，再与分母进行约分，化到最简；
(2)根据(1)中的化简结果，利用反比例函数的性质，求出ab的值，代入即可求出A的值．
本题考查分式的化简求值，反比函数的性质，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
21.【答案】解：当y=4时，x2=4，
解得x1=2，x2=−2(舍去)，
∴点B的坐标为(2,4)，
∴tan∠AOB=42=2．
【解析】把y=4代入二次函数解析式求出x的值，得到点B的坐标，然后根据正切值的定义列式计算即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，求出点B的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：1)从两个统计图中，可以得到每天零花钱为20元的学生有19人，占调查人数的38%，
∴19÷38%=50(人)
答：共抽取的学生有50人．
(2)从扇形统计图中，可以得到每天零花钱为10元的学生占调查人数的30%，
∴50×30%=15(人)，
∴每天零花钱为10元的学生有15人，
补全条形统计图为：

(3)∵5×6+10×15+20×19+30×8+50×2=900(元)，
∴900÷50×1200=21600(元)
答：估计这个学校学生每天零花钱的总数21600元．
【解析】(1)从两个统计图中，可以得到每天零花钱为20元的学生有19人，占调查人数的38%，可求出调查人数；
(2)从扇形统计图中，可以得到每天零花钱为10元的学生占调查人数的30%，用30%乘以调查人数可求出人数，即可补全条形统计图；
(3)样本估计总体，先确定一个人每天的零花钱有多少再乘以1200即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和计算方法，通过两个统计图获取数量和数量之间的关系是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
23.【答案】解：(1)在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=15°，AE=576m，
∴AB=AEcsA=576cs15∘≈600(m)，
即AB的长约为600m；
(2)延长BC交DF于G，

∵BC/​/AE，
∴∠CBE=90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD=90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF=BG，∠CGD=∠BGF=90°，
∵CD=AB=600m，∠DCG=45°，
∴CG=CD⋅cs∠DCG=600×cs45°=600× 22=300 2，
∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC+CG=576+50+300 2≈1049(m)，
即AF的长为1049m．
【解析】(1)通过解Rt△ABE可求得AB的长；
(2)延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得EF=BG，∠CGD=∠BGF=90°，再解Rt△CDG可求解CG的长，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵A(4,0)，四边形ABCD是矩形，
∴可设D坐标为D(4,yD)，
把D(4,yD)代入直线y=34x得：yD=34×4=3，
∴点D的坐标为(4,3)，
∵y1=kx经过点D(4,3)，
∴3=k4，解得：k=12，
∴反比例函数的关系式为：y1=12x；
(2)设线段AB，线段CD的长度为m，
∵D(4,3)，
∴BC=AD=3，
∵矩形ABCD的面积是27，
∴3m=27，解得：m=9，
即点B，点C的横坐标为：4+9=13，
把x=13代入y=12x得：y=1213，
即点E的坐标为：(13,1213)，
∴线段CE的长度为2713，
∴△CDE的面积=12×9×2713=24326．
【解析】(1)根据矩形的性质，得到点D的横坐标为4，代入y=34x，可求得点D的坐标，再代入y1=kx，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式；
(2)设线段AB，线段CD的长度为m，根据“矩形ABCD的面积是24”，可求出m的值，从而得到点E的坐标为(13,1213)，进而得到线段CE的长度，再根据三角形的面积公式计算即可得到答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+5的图象与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，代入得：
0=a−b+50=25a+5b+5，
解得：a=−1b=4，
∴二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；
(2)过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，连接AC，如图1，

根据y=−x2+4x+5，则顶点的坐标为D(2,9)，
S四边形ACDB=S△AOC+S矩形OMDN−S△CDM+S△DNB
=12×1×5+2×9−12×2×(9−5)+12×(5−2)×9
=30；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO=∠PBC时，连接PB，AC，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，如图2．

∵OC=OB=5，则△OCB为等腰直角三角形，∠OCB=45°．
由勾股定理得：CB=5 2，
∵∠ACO=∠PBC．
∴tan∠ACO=tan∠PBC，即15=CECB=CE5 2，
∴CE= 2．
由CE⊥BC，得∠BCE=90°，
∴∠ECF=180°−∠BCE−∠OCB=180°−90°−45°=45°．
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴FC=FE=1，
∴E的坐标为(1,6)，
∴过B、E的直线的解析式为y=−32x+152，
令y=−32x+152y=−(x+1)(x−5)，
解得x=5y=0或x=12y=274，
∴BE直线与抛物线的两个交点为B(5,0),P(12,274)，
即所求P的坐标为P(12,274)．
【解析】(1)将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式；
(2)过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，根据第一问可得点D(2,9)，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案；
(3)连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，根据题意得△OCB为等腰直角三角形，得到CB，结合角度正切值求得CE，进一步得∠ECF=45°，判定△EFC是等腰直角三角形，即可求得点E，利用待定系数法求得直线BE直线的解析式，联立即可求得点P．
本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形．